2024屆河北省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)模擬試題（三模）含解析

2024屆河北省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)模擬試題（三模）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．3．已知非零向量，的夾角為，，，則（

）A．1 B． C． D．4．某高校決定從甲、乙等7支隊(duì)伍中選出4支隊(duì)伍參加全國(guó)的數(shù)學(xué)建模大賽，已知甲隊(duì)被選出，則乙隊(duì)也被選出的概率為（

）A． B． C． D．5．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)，與其漸近線(xiàn)交于A，兩點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．26．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則周期的最小值是（

）A． B． C． D．7．已知三棱錐，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．根據(jù)中國(guó)報(bào)告大廳對(duì)2023年3月～10月全國(guó)太陽(yáng)能發(fā)電量進(jìn)行監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)，太陽(yáng)能發(fā)電量（單位：億千瓦時(shí)）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：月份3456發(fā)電量/億千瓦時(shí)242.94230.87240.59259.33月份78910發(fā)電量/億千瓦時(shí)258.9269.19246.06244.31關(guān)于2023年3月～10月全國(guó)太陽(yáng)能發(fā)電量，下列四種說(shuō)法正確的是（

）A．中位數(shù)是259.115 B．極差是38.32C．第85百分位數(shù)是259.33 D．第25百分位數(shù)是240.5910．已知一個(gè)裝有半瓶水的圓柱形玻璃杯，其底面半徑為，玻璃杯高為（玻璃厚度忽略不計(jì)），其傾斜狀態(tài)的正視圖如圖所示，表示水平桌面．當(dāng)玻璃杯傾斜時(shí)，瓶?jī)?nèi)水面為橢圓形，陰影部分為瓶?jī)?nèi)水的正視圖．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為B．當(dāng)橢圓的離心率最大時(shí)，C．當(dāng)橢圓的焦距為4時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，橢圓的焦距為611．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知一個(gè)基因由若干個(gè)堿基對(duì)組成，而一個(gè)堿基對(duì)由，，，四種堿基中任取兩個(gè)堿基配對(duì)排列而成，其中只能與配對(duì)，只能與配對(duì)．如果個(gè)堿基對(duì)組成一個(gè)基因，那么個(gè)堿基對(duì)組成的基因個(gè)數(shù)為．13．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，是的中線(xiàn)．若，且，則面積的最大值為．14．已知對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知橢圓：的離心率為，是橢圓的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)．(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)圓：，過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，．設(shè)兩切線(xiàn)的斜率均存在，分別為，，問(wèn)：是否為定值？若不是，說(shuō)明理由；若是，求出定值．16．某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校學(xué)生的冰雪運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的學(xué)生喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)．從這些被調(diào)研的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，假設(shè)每個(gè)學(xué)生被選到的可能性相等．(1)記表示喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．(2)若該數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃在全校學(xué)生中抽選一名喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生進(jìn)行訪(fǎng)談．抽選規(guī)則如下：在全校學(xué)生中隨機(jī)抽選一名學(xué)生，如果該學(xué)生喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)，就不再抽選其他學(xué)生，結(jié)束抽選活動(dòng)；如果該學(xué)生不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)，則繼續(xù)隨機(jī)抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生為止，結(jié)束抽選活動(dòng)．并且規(guī)定抽取的次數(shù)不超過(guò)次，其中小于當(dāng)次調(diào)查的總?cè)藬?shù)．設(shè)在抽選活動(dòng)結(jié)束時(shí)，抽到不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為，求抽到名學(xué)生不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的概率．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若函數(shù)，試問(wèn)：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣.芻，草也.甍，窟蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍的字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個(gè)“芻甍”如圖所示，四邊形為矩形，四邊形、為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，P是線(xiàn)段AD上一點(diǎn).(1)若點(diǎn)P是線(xiàn)段AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，Q為線(xiàn)段CF上一點(diǎn)，且，證明：平面；(2)若E到平面的距離為，與平面所成角的正弦值為，求AP的長(zhǎng).19．已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)數(shù)表由生成.①任意中有三個(gè)，一個(gè)3；②存在，使中恰有三個(gè)數(shù)相等.(1)判斷數(shù)表是否由生成；（結(jié)論無(wú)需證明）(2)是否存在數(shù)表由生成？說(shuō)明理由；(3)若存在數(shù)表由生成，寫(xiě)出所有可能的值.1．A【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，求定義域化簡(jiǎn)集合B，然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，則,所以，故選：A.2．B【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，則，所以.故選：B3．D【分析】分析可知，向量，的夾角為，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，且非零向量，的夾角為，，可知向量，的夾角為，則，所以.故選：D.4．A【分析】記甲隊(duì)被選出為事件，乙隊(duì)被選出為事件，利用條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】記甲隊(duì)被選出為事件，乙隊(duì)被選出為事件，則，，所以.故選：A5．C【詳解】不妨設(shè)是雙曲線(xiàn)在第一象限的一點(diǎn)，不妨設(shè)，得，得，所以，則在的切線(xiàn)斜率，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，又由，可得切線(xiàn)方程為，所以與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為不妨設(shè)是切線(xiàn)與漸近線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)，是切線(xiàn)與漸近線(xiàn)在第四象限的交點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，解得，所以，所以,故選：C.6．C【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)求出零點(diǎn)的表達(dá)式，結(jié)合已知條件，求出的最大值，從而可求周期的最小值．【詳解】，令得，所以，，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以，只需且，解得，令得，得，因?yàn)椋缘娜≈捣秶?，所以周期的最小值是，故選：．7．B【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，解得（負(fù)值已舍去）；因?yàn)槠矫?，所以，即，解得（?fù)值已舍去）；所以.故選：B8．B【分析】等價(jià)變形已知條件，，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，，所以即，，，在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.9．BC【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個(gè)數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是，故A錯(cuò)誤；極差是，故B正確；因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)，即，故C正確；因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是，故D錯(cuò)誤；故選:BC10．AD【分析】根據(jù)，橢圓長(zhǎng)軸為，短軸長(zhǎng)為，求離心率判斷A，由離心率最大知長(zhǎng)軸最長(zhǎng)可得求解判斷B，由離心率求出即可判斷C，由求出，再得出焦距判斷D.【詳解】過(guò)作于，如圖，由，當(dāng)時(shí)，在中，，所以橢圓中，，故A正確；因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為定值6，，所以當(dāng)橢圓的長(zhǎng)軸最長(zhǎng)時(shí)，橢圓的離心率最大，由圖可知，橢圓長(zhǎng)軸為時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸最長(zhǎng)，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)橢圓的焦距為4時(shí)，，即，所以，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，由勾股定理可得，即，，所以，所以焦距，故D正確.故選：AD11．BD【分析】對(duì)于A，直接得到即可判斷；對(duì)于B，由為偶函數(shù)，所以，求導(dǎo)可得即可判斷；對(duì)于D，求出的周期為，再根據(jù)即可判斷；對(duì)于C，由題意舉出反例即可淘汰.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由為偶函數(shù)，所以，所以，即，即，則，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以為周期是的函數(shù)，即，故D正確.對(duì)于C，由題意及上述分析知是以為周期的函數(shù)，且，不妨設(shè)，所以，周期均為且，所以，所以C錯(cuò)誤；故選：BD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)C，通過(guò)舉反例的形式淘汰答案，不妨設(shè)，所以，所以周期為，且，所以.12．【分析】因?yàn)橐粋€(gè)堿基對(duì)是由，，，四種堿基中任取兩個(gè)堿基配對(duì)排列而成，其中只能與配對(duì)，只能與配對(duì)，依題意解出堿基對(duì)個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)堿基對(duì)是由，，，四種堿基中任取兩個(gè)堿基配對(duì)排列而成，其中只能與配對(duì)，只能與配對(duì)，所以堿基對(duì)有共有個(gè)，若個(gè)堿基對(duì)組成一個(gè)基因，那么個(gè)堿基對(duì)組成的基因個(gè)數(shù)為.故答案為.13．【分析】利用正弦定理將邊化角，由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理求出，最后根據(jù)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及基本不等式求出的最大值，即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，由正弦定理可得，由余弦定理，所以，又，所以，因?yàn)槭侵羞吷现芯€(xiàn)，則，即，所以，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即面積的最大值為．故14．【分析】將原不等式變形為，設(shè)，通過(guò)求導(dǎo)求的最小值，然后解不等式即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，設(shè)，，令，，即在上單調(diào)遞增，令，，即在上單調(diào)遞減，則，所以，解得.故答案為.15．(1)；(2)是，．【分析】（1）根據(jù)離心率和得到方程，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，先得到，，設(shè)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線(xiàn)為，聯(lián)立橢圓方程，由得到，由兩根之積得到【詳解】（1）由題意得，又，解得，故橢圓方程為；（2）是，，理由如下：設(shè)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩切線(xiàn)中的一條切線(xiàn)斜率不存在，舍去，故，，設(shè)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線(xiàn)為，與聯(lián)立得，由得，，整理得，過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的兩直線(xiàn)斜率分別為，，所以定值問(wèn)題常見(jiàn)方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.16．(1)．(2)【分析】（1）由題意服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布期望公式直接可得解；（2）由題意可知，時(shí)，前次取到是不愛(ài)好滑雪的人，第次取到愛(ài)好滑雪得的人，利用獨(dú)立事件的乘法公式求解，當(dāng)時(shí)，取到的所以人都不愛(ài)好滑雪，活動(dòng)結(jié)束.【詳解】（1）由題意，，，.（2）由題意，的可能取值為，，，，，，，綜上，.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；極小值為0．【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得證；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）證明：函數(shù)定義域?yàn)?令，則，當(dāng)時(shí)，，且，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故得證，.（2）由題意，則，令，則當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，又，故，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為.故存在，極小值為0.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)，或.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，通過(guò)比例線(xiàn)段證明，可得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知線(xiàn)面角的正弦值，求出點(diǎn)的位置即可.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）分別取的中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形為全等的等腰梯形，所以，四邊形為等腰梯形，且，，，，又，所以，因?yàn)槠矫?，且為兩條相交直線(xiàn)，所以平面，平面，所以平面平面.平面平面,過(guò)在平面內(nèi)作的垂線(xiàn)，垂足為，則平面，，.過(guò)作，易得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，設(shè)（），所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則

，令，解得，，所以，設(shè)PF與平面所成角的大小為，則，解得，且滿(mǎn)足題意，所以，或.19．(1)是(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3)3，7，11.【分析】（1）根據(jù)數(shù)表滿(mǎn)足的兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得結(jié)論；（2）采用反證的方法，即若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①推出對(duì)任意的，中均有2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，則推出不滿(mǎn)足性質(zhì)②，即得結(jié)論；（3）判斷出的所有可能的值為3，7，11，一方面說(shuō)明取這些值時(shí)可以由生成數(shù)表A，另一方面，分類(lèi)證明的取值只能為3，7，11，由此可得所有可能的值.【詳解】（1）數(shù)表是由生成；檢驗(yàn)性質(zhì)①：當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；任意中有三個(gè)，一個(gè)3；檢驗(yàn)性質(zhì)②：當(dāng)時(shí)，，恰有3個(gè)數(shù)相等.（2）不存在數(shù)表由生成,理由如下:若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①任意中有三個(gè)，一個(gè)3，則或-1，總有與的奇偶性相反，類(lèi)似的，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反；因?yàn)橹星∮?個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，所以對(duì)任意的，中均有2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，此時(shí)中至多有2個(gè)數(shù)相等，不滿(mǎn)足性質(zhì)②；綜上，不存在數(shù)表由生成；（3）的所有可能的值為3，7，11.一方面，當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；另一方面，若存在數(shù)表A由生成，首先證明：除以4余3；證明：對(duì)任意的，令，則，分三種情況：（i）若，且，則；（ii）若，且，則；（iii）若，且，則；均有與除以4的余數(shù)相同.特別的，“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；類(lèi)似的，“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一