第05講空間直角坐標系（三大題型歸納易錯分層練）

第05講空間直角坐標系【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01空間直角坐標系及點的坐標 3題型02空間點的對稱問題 6題型03空間向量的坐標 9易錯歸納 12分層練習(xí) 13夯實基礎(chǔ) 13能力提升 19創(chuàng)新拓展 24一、空間直角坐標系及點的坐標1．空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.2．相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分．3．在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．4．空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標的特點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)注意點：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標系一般為右手直角坐標系．二、空間向量的坐標向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a＝(x，y，z)．題型01空間直角坐標系及點的坐標【解題策略】(1)建立空間直角坐標系的原則①讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內(nèi)．②充分利用幾何圖形的對稱性．③一般用右手直角坐標系．(2)求某點M的坐標的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即為點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為點M的豎坐標z，于是得到點M的坐標(x，y，z)．【典例分析】【例1】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N為棱CC1的中點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．(1)求點A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐標；(2)求點N的坐標．[思路探究]將各個點在坐標上的射影求出，即可寫出空間各點的坐標．[詳解](1)顯然D(0,0,0)，因為點A在x軸的正半軸上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．因為點B在坐標平面xOy內(nèi)，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，與B的坐標相比，點B1的坐標中只有豎坐標不同，|BB1|＝|AA1|＝5，則B1(3,4,5)．(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，則C1C的中點N為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(4＋4,2)，\f(0＋5,2)))，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(5,2))).【變式演練】【變式1】(1)畫一個正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標系，則①頂點A，D1的坐標分別為______________；②棱C1C中點的坐標為________；③正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為________．【答案】①(0,0,0)，(0,1,1)②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))(2)已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，寫出各頂點的坐標．【詳解】∵正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，∴正四棱錐的高為2eq\r(23).以正四棱錐的底面中心為原點，平行于BC，AB所在的直線分別為x軸、y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2eq\r(23))．答案不唯一．【變式2】已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，所有的棱長都是1，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，并寫出各頂點的坐標．【詳解】如圖所示，取AC的中點O和A1C1的中點O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分別以O(shè)B，OC，OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．∵三棱柱各棱長均為1，∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(\r(3),2).∵A，B，C均在坐標軸上，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∵點A1與C1在Oyz平面內(nèi)，∴A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).∵點B1在Oxy平面內(nèi)的射影為B，且BB1＝1，∴B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，即該三棱錐各頂點的坐標為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).【變式3】（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，建立空間直角坐標系，若，是的中點，求點的坐標.

【答案】【分析】法一：分別求得在坐標軸上的投影可得；法二：設(shè)的單位向量分別為，利用空間的線性運算可得，即可求解.【詳解】法一：設(shè)點在軸、軸、軸上的射影分別為，它們在坐標軸上的坐標分別為，所以點的坐標是.

法二：設(shè)的單位向量分別為，則為空間的一個基底，.所以點的坐標是題型02空間點的對稱問題【解題策略】空間點對稱問題的解題策略(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．(2)對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論【典例分析】【例2】在空間直角坐標系中，點P(－2,1,4)．(1)求點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標；(2)求點P關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標．[思路探究]求對稱點的坐標，可以過該點向?qū)ΨQ平面或?qū)ΨQ軸作垂線并延長，使得垂足為所作線段的中點，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫出對稱點坐標．[詳解](1)由于點P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P1(－2，－1，－4)．(2)由于點P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點．由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．【變式演練】【變式1】在空間直角坐標系中，已知點P(－2,1,4)．(1)求點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標；(2)求點P關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標．【詳解】(1)由于點P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P1(－2，－1，－4)．(2)由點P關(guān)于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，【變式2】（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）點關(guān)于軸的對稱點的坐標是，關(guān)于坐標平面的對稱點的坐標是.【答案】【分析】根據(jù)空間直角坐標系的中對稱的性質(zhì)直接求解.【詳解】在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點的橫坐標不變，縱坐標與豎坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即；點關(guān)于坐標平面的對稱點的橫、縱坐標不變，豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即.故答案為：；【變式3】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，求：(1)點關(guān)于各坐標平面對稱的點的坐標；(2)點關(guān)于各坐標軸對稱的點的坐標；(3)點關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于面對稱性質(zhì)求解；（2）根據(jù)點關(guān)于線對稱性質(zhì)求解；（3）根據(jù)點關(guān)于點對稱性質(zhì)求解；【詳解】（1）設(shè)點關(guān)于坐標平面的對稱點為，則點在軸上的坐標及在軸上的坐標與點的坐標相同，而點在軸上的坐標與點在軸上的坐標互為相反數(shù)．所以，點關(guān)于坐標平面的對稱點的坐標為．同理，點關(guān)于，坐標平面的對稱點的坐標分別為，．（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，則點在軸上的坐標與點的坐標相同，而點在軸上的坐標及在軸上的坐標與點在軸上的坐標及在軸上的坐標互為相反數(shù)．所以，點關(guān)于軸的對稱點的坐標為．同理，點關(guān)于軸、軸的對稱點的坐標分別為，．（3）點關(guān)于坐標原點的對稱點的坐標為．題型03空間向量的坐標【解題策略】向量坐標的求法(1)點A的坐標和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標形式完全相同，其中O為坐標原點；(2)起點不在原點的向量，其坐標可以通過向量的運算求得．【典例分析】【例3】課本例1如圖，在長方體OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OA,\s\up6(→))，\f(1,4)\o(OC,\s\up6(→))，\f(1,2)\o(OD′,\s\up6(→))))為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.(1)寫出D′，C，A′，B′四點的坐標；(2)寫出向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(A′C′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))的坐標．【詳解】解(1)點D′在z軸上，且OD′＝2，所以eq\o(OD′,\s\up6(→))＝0i＋0j＋2k.所以點D′的坐標是(0,0,2)．同理，點C的坐標是(0,4,0)．點A′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，D′，它們在坐標軸上的坐標分別為3,0,2，所以點A′的坐標是(3,0,2)．點B′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，D′，它們在坐標軸上的坐標分別為3,4,2，所以點B′的坐標是(3,4,2)．(2)eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋0k＝(0,4,0)；eq\o(B′B,\s\up6(→))＝－eq\o(OD′,\s\up6(→))＝0i＋0j－2k＝(0,0，－2)；eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝eq\o(A′D′,\s\up6(→))＋eq\o(D′C′,\s\up6(→))＝－3i＋4j＋0k＝(－3,4,0)；eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝－3i＋4j＋2k＝(－3,4,2)．【變式演練】【變式1】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐標．【詳解】解建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)．eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)．eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．【變式2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼登笙蛄縠q\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標．[思路探究]以點C為原點，分別以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，然后，把BN，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))分別用eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))表示出來，再寫出它們的坐標．[詳解]法一：由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點C為原點，分別以CA，CB，CC1的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，如圖所示．∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BN,\s\up8(→))的坐標為(1，－1,1)，而eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(CA1,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))的坐標為(1，－1,2)．又∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝－eq\o(BA1,\s\up8(→))，∴eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標為(－1,1，－2)．法二：建系同法一，則B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝(－1,1，－2)．【變式3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點，如圖所示建立空間直角坐標系．(1)寫出各頂點的坐標；(2)寫出向量eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(B1F,\s\up8(→))，eq\o(A1E,\s\up8(→))的坐標．[詳解](1)由題圖知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因為E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點，由中點坐標公式，得E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)．所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up8(→))＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝(0,2，－1)．易錯點求空間中點的坐標的建系問題四棱錐V－ABCD中，底面是邊長為4且∠ABC＝60°的菱形，頂點V在底面的射影是底面對角線的交點O，VO＝3，建立正確的坐標系求各點的坐標時，下列建系方式正確的是()A．(2)(3)B．(2)(4)C．(1)(4)D．(1)(2)(4)錯解：選D．在空間直角坐標系中，三個坐標軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(3)中的x軸和y軸不垂直，(1)(3)(4)中三個坐標軸兩兩互相垂直．錯解分析：錯誤的根本原因是忽略了坐標軸應(yīng)兩兩互相垂直而錯選．正解：選B．在空間直角坐標系中，三個坐標軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(1)中的x軸和y軸不垂直，(3)中三個坐標軸都不垂直，(2)(4)中三個坐標軸兩兩互相垂直．防范措施：1．準確把握建系原則空間直角坐標系是右手直角坐標系，故三個坐標軸應(yīng)兩兩互相垂直，如本題(1)(3)中x軸和y軸不垂直，故不能構(gòu)成空間直角坐標系．2．正確使用幾何圖形的性質(zhì)建立合理的空間直角坐標系要尋找互相垂直的坐標軸，垂直關(guān)系往往用到平面和立體圖形的性質(zhì)，尋找垂直關(guān)系的關(guān)鍵是正確使用幾何圖形的性質(zhì)．如本題(2)(4)利用了菱形的對角線互相垂直這一性質(zhì)，從而確定出x軸與y軸互相垂直.【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二下·甘肅天水·階段練習(xí)）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合空間直角坐標系中點的對稱性計算即可得.【詳解】設(shè)所求點的坐標為，根據(jù)關(guān)于平面對稱的兩個點的橫縱坐標不變，豎坐標互為相反數(shù)，則有，故該點為.故選：B.2．（2324高二上·陜西西安·階段練習(xí)）在空間直角坐標系中，點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可得出點的坐標.【詳解】在空間直角坐標系中，點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則點的坐標為.故選：A.3．（2122高二·全國·課后作業(yè)）在空間直角坐標系中，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點，利用兩點的坐標即可表示出，再由兩向量相等的坐標表示列出方程組，即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，所以，解得：，，．所以點的坐標為．故選：D4．（2324高二上·河南南陽·階段練習(xí)）正四棱柱（底面為正方形的直棱柱）中，，點在上，且.建立如圖所示的坐標系，則點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知求出的長，然后即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，點的坐標為，點的坐標為.故選：C.二、多選題5．（2324高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）在空間直角坐標系中，若四點可以構(gòu)成一個平行四邊形，則的坐標可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分類考慮平行四邊形頂點的位置，結(jié)合向量的相等，即可求得D點坐標，即得答案.【詳解】由題意得.設(shè)的坐標為，若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為，故選：ABC6．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）在空間直角坐標系中，已知某平行四邊形三個頂點的坐標分別為，，，則第四個頂點的坐標可能為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分列式計算即可.【詳解】設(shè)第四個頂點的坐標為，①，與，的中點重合，則，解得，②，與，的中點重合，則，解得，②，與，的中點重合，則，解得，所以第四個頂點的坐標為或或.故選：ABD.7．（2324高二下·河南·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點為B．若向量，且，則C．若向量，則在上的投影向量的模為D．為空間中任意一點，若，且，則四點共面【答案】BC【分析】選項A，直接求出點關(guān)于平面的對稱點，即可判斷出選項A的正誤；選項B，利用空間向量垂直的坐標表示，即可得出，從而可判斷出選項B的正誤；選項C，根據(jù)投影向量的定義，即可求出結(jié)果，從而判斷出選項C的正誤；選項D，根據(jù)空間向量共面的結(jié)論可判斷出選項D的正誤.【詳解】對于選項A，點關(guān)于平面的對稱點為，所以選項A錯誤，對于選項B，因為，且，所以，得到，所以選項B正確，對于選項C，因為，所以在上的投影向量的模為，故選項C正確，對于選項D，由空間向量基本定理的推論可知：，且時，四點共面，所以選項D錯誤，故選：BC.三、填空題8．（2223高二上·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標是【答案】【分析】根據(jù)已知先求坐標，然后結(jié)合圖形可得坐標，然后可得答案.【詳解】因為，為坐標原點，所以，又因為為正方體，所以所以.故答案為：9．（2324高二上·山東聊城·期末）在空間直角坐標系中，若點關(guān)于平面對稱的點為，則點P的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于平面對稱點的兩個點的縱坐標互為相反數(shù)，由此列式求解即可.【詳解】由題意知，在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點為，又，所以，解得，所以點P的坐標為.故答案為：.四、解答題10．（2122高二上·全國·課后作業(yè)）（1）寫出點關(guān)于原點對稱的點的坐標；（2）寫出點關(guān)于軸對稱點的坐標.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱時兩點的坐標關(guān)系可得出答案；（2）根據(jù)關(guān)于軸對稱時兩點的坐標關(guān)系可得出答案；【詳解】（1）點關(guān)于原點對稱的點的坐標為；（2）點關(guān)于x軸對稱點的坐標為.11．（2122高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在空間直角坐標系中有一長方體，且，，(1)寫出點的坐標，并將用標準正交基表示；(2)求的坐標．【答案】(1)點的坐標為，．(2)【分析】（1）直接利用空間向量的坐標表示即可得到點坐標，由向量加法的坐標表示即可將用標準正交基表示；（2）直接利用空間向量的坐標表示即可得到坐標.【詳解】（1）因為，，，所以點的坐標為，從而．（2）同理因為，，，易得點的坐標為，所以【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·河北保定·期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點的對稱性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.【詳解】在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標為，故選：A2．（2324高二下·四川綿陽·開學(xué)考試）在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間點關(guān)于原點對稱點的特征可得正確的選項.【詳解】點關(guān)于原點對稱的點的坐標為，故選：D.3．（2324高二上·河南省直轄縣級單位·期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點的對稱性可得結(jié)果.【詳解】在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點為.故選：B.4．（2223高二上·北京房山·期中）已知，則向量的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標運算直接求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B5．（2324高二上·北京西城·期中）在如圖所示的空間直角坐標系中，是單位正方體，其中點A的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間直角坐標系的定義求出點的坐標.【詳解】點A的坐標為.故選：D二、多選題6．（1920高二上·福建三明·期末）如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則（

）A．點的坐標為，5，B．點關(guān)于點對稱的點為，8，C．點關(guān)于直線對稱的點為，5，D．點關(guān)于平面對稱的點為，5，【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)圖示分析即可；對B，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為，再根據(jù)為的中點列式求解即可；對C，根據(jù)四邊形為正方形判斷即可；對D，根據(jù)平面求解即可【詳解】對A，由圖可得，的坐標為，5，，故A正確；對B，由圖，，，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為則，解得，故，故B錯誤；對C，在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點關(guān)于直線對稱的點為，選項C正確；對D，因為平面，故點關(guān)于平面對稱的點為，即，選項D正確；故選：ACD.7．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，，點E在線段AO的延長線上，且，下列向量坐標表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】求出向量坐標，逐項判斷可得答案.【詳解】在空間直角坐標系中，，，，，，對于A，因為，，所以，故A不正確；對于B，因為，，所以，故B正確；對于C，因為，，所以，故C正確；對于D，因為，，所以，故D不正確.故選：BC.三、填空題8．（2324高二上·上?！るA段練習(xí)）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)空間直角坐標系中，點關(guān)于坐標平面對稱的點的坐標寫出即可．【詳解】在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標為.故答案為：.9．（2324高二上·河南鄭州·期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是．【答案】【分析】利用點關(guān)于面對稱的結(jié)論求解即可.【詳解】點關(guān)于平面對稱的點的坐標是.故答案為：.四、解答題10．（2122高二·全國·課后作業(yè)）