第05講空間直角坐標(biāo)系（三大題型歸納易錯(cuò)分層練）

第05講空間直角坐標(biāo)系【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo) 3題型02空間點(diǎn)的對稱問題 6題型03空間向量的坐標(biāo) 9易錯(cuò)歸納 12分層練習(xí) 13夯實(shí)基礎(chǔ) 13能力提升 19創(chuàng)新拓展 24一、空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)1．空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.2．相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．3．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．4．空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點(diǎn)的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)注意點(diǎn)：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標(biāo)系一般為右手直角坐標(biāo)系．二、空間向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝(x，y，z)．題型01空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)【解題策略】(1)建立空間直角坐標(biāo)系的原則①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．②充分利用幾何圖形的對稱性．③一般用右手直角坐標(biāo)系．(2)求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為點(diǎn)M的豎坐標(biāo)z，于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y，z)．【典例分析】【例1】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N為棱CC1的中點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求點(diǎn)A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)N的坐標(biāo)．[思路探究]將各個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)上的射影求出，即可寫出空間各點(diǎn)的坐標(biāo)．[詳解](1)顯然D(0,0,0)，因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的正半軸上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．因?yàn)辄c(diǎn)B在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，與B的坐標(biāo)相比，點(diǎn)B1的坐標(biāo)中只有豎坐標(biāo)不同，|BB1|＝|AA1|＝5，則B1(3,4,5)．(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，則C1C的中點(diǎn)N為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(4＋4,2)，\f(0＋5,2)))，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(5,2))).【變式演練】【變式1】(1)畫一個(gè)正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則①頂點(diǎn)A，D1的坐標(biāo)分別為______________；②棱C1C中點(diǎn)的坐標(biāo)為________；③正方形AA1B1B對角線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】①(0,0,0)，(0,1,1)②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))(2)已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】∵正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，∴正四棱錐的高為2eq\r(23).以正四棱錐的底面中心為原點(diǎn)，平行于BC，AB所在的直線分別為x軸、y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2eq\r(23))．答案不唯一．【變式2】已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，所有的棱長都是1，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)O和A1C1的中點(diǎn)O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分別以O(shè)B，OC，OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵三棱柱各棱長均為1，∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(\r(3),2).∵A，B，C均在坐標(biāo)軸上，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∵點(diǎn)A1與C1在Oyz平面內(nèi)，∴A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).∵點(diǎn)B1在Oxy平面內(nèi)的射影為B，且BB1＝1，∴B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，即該三棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).【變式3】（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，建立空間直角坐標(biāo)系，若，是的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】【分析】法一：分別求得在坐標(biāo)軸上的投影可得；法二：設(shè)的單位向量分別為，利用空間的線性運(yùn)算可得，即可求解.【詳解】法一：設(shè)點(diǎn)在軸、軸、軸上的射影分別為，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.

法二：設(shè)的單位向量分別為，則為空間的一個(gè)基底，.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是題型02空間點(diǎn)的對稱問題【解題策略】空間點(diǎn)對稱問題的解題策略(1)空間點(diǎn)的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．(2)對稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論【典例分析】【例2】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．[思路探究]求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可以過該點(diǎn)向?qū)ΨQ平面或?qū)ΨQ軸作垂線并延長，使得垂足為所作線段的中點(diǎn)，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫出對稱點(diǎn)坐標(biāo)．[詳解](1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P1(－2，－1，－4)．(2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．【變式演練】【變式1】在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2，－1，－4)．(2)由點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，【變式2】（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的中對稱的性質(zhì)直接求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即.故答案為：；【變式3】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，求：(1)點(diǎn)關(guān)于各坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)關(guān)于各坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于面對稱性質(zhì)求解；（2）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對稱性質(zhì)求解；（3）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱性質(zhì)求解；【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)及在軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)相同，而點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)互為相反數(shù)．所以，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理，點(diǎn)關(guān)于，坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)相同，而點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)及在軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)及在軸上的坐標(biāo)互為相反數(shù)．所以，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理，點(diǎn)關(guān)于軸、軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．（3）點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．題型03空間向量的坐標(biāo)【解題策略】向量坐標(biāo)的求法(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)形式完全相同，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，其坐標(biāo)可以通過向量的運(yùn)算求得．【典例分析】【例3】課本例1如圖，在長方體OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OA,\s\up6(→))，\f(1,4)\o(OC,\s\up6(→))，\f(1,2)\o(OD′,\s\up6(→))))為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)寫出D′，C，A′，B′四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(A′C′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))的坐標(biāo)．【詳解】解(1)點(diǎn)D′在z軸上，且OD′＝2，所以eq\o(OD′,\s\up6(→))＝0i＋0j＋2k.所以點(diǎn)D′的坐標(biāo)是(0,0,2)．同理，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,4,0)．點(diǎn)A′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，D′，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3,0,2，所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(3,0,2)．點(diǎn)B′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，D′，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3,4,2，所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(3,4,2)．(2)eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋0k＝(0,4,0)；eq\o(B′B,\s\up6(→))＝－eq\o(OD′,\s\up6(→))＝0i＋0j－2k＝(0,0，－2)；eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝eq\o(A′D′,\s\up6(→))＋eq\o(D′C′,\s\up6(→))＝－3i＋4j＋0k＝(－3,4,0)；eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝－3i＋4j＋2k＝(－3,4,2)．【變式演練】【變式1】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐標(biāo)．【詳解】解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)．eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)．eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．【變式2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標(biāo)．[思路探究]以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，然后，把BN，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))分別用eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))表示出來，再寫出它們的坐標(biāo)．[詳解]法一：由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示．∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BN,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(1，－1,1)，而eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(CA1,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(1，－1,2)．又∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝－eq\o(BA1,\s\up8(→))，∴eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(－1,1，－2)．法二：建系同法一，則B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝(－1,1，－2)．【變式3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．(1)寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(B1F,\s\up8(→))，eq\o(A1E,\s\up8(→))的坐標(biāo)．[詳解](1)由題圖知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)．所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up8(→))＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝(0,2，－1)．易錯(cuò)點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的建系問題四棱錐V－ABCD中，底面是邊長為4且∠ABC＝60°的菱形，頂點(diǎn)V在底面的射影是底面對角線的交點(diǎn)O，VO＝3，建立正確的坐標(biāo)系求各點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，下列建系方式正確的是()A．(2)(3)B．(2)(4)C．(1)(4)D．(1)(2)(4)錯(cuò)解：選D．在空間直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(3)中的x軸和y軸不垂直，(1)(3)(4)中三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩互相垂直．錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的根本原因是忽略了坐標(biāo)軸應(yīng)兩兩互相垂直而錯(cuò)選．正解：選B．在空間直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(1)中的x軸和y軸不垂直，(3)中三個(gè)坐標(biāo)軸都不垂直，(2)(4)中三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩互相垂直．防范措施：1．準(zhǔn)確把握建系原則空間直角坐標(biāo)系是右手直角坐標(biāo)系，故三個(gè)坐標(biāo)軸應(yīng)兩兩互相垂直，如本題(1)(3)中x軸和y軸不垂直，故不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系．2．正確使用幾何圖形的性質(zhì)建立合理的空間直角坐標(biāo)系要尋找互相垂直的坐標(biāo)軸，垂直關(guān)系往往用到平面和立體圖形的性質(zhì)，尋找垂直關(guān)系的關(guān)鍵是正確使用幾何圖形的性質(zhì)．如本題(2)(4)利用了菱形的對角線互相垂直這一性質(zhì)，從而確定出x軸與y軸互相垂直.【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二下·甘肅天水·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)關(guān)于平面對稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，則有，故該點(diǎn)為.故選：B.2．（2324高二上·陜西西安·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.3．（2122高二·全國·課后作業(yè)）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)，利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可表示出，再由兩向量相等的坐標(biāo)表示列出方程組，即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，所以，解得：，，．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D4．（2324高二上·河南南陽·階段練習(xí)）正四棱柱（底面為正方形的直棱柱）中，，點(diǎn)在上，且.建立如圖所示的坐標(biāo)系，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知求出的長，然后即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.二、多選題5．（2324高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若四點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，則的坐標(biāo)可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分類考慮平行四邊形頂點(diǎn)的位置，結(jié)合向量的相等，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，即得答案.【詳解】由題意得.設(shè)的坐標(biāo)為，若四邊形為平行四邊形，則，則，此時(shí)的坐標(biāo)為.若四邊形為平行四邊形，則，則，，此時(shí)的坐標(biāo)為.若四邊形為平行四邊形，則，則，此時(shí)的坐標(biāo)為，故選：ABC6．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知某平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分列式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，①，與，的中點(diǎn)重合，則，解得，②，與，的中點(diǎn)重合，則，解得，②，與，的中點(diǎn)重合，則，解得，所以第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.故選：ABD.7．（2324高二下·河南·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為B．若向量，且，則C．若向量，則在上的投影向量的模為D．為空間中任意一點(diǎn)，若，且，則四點(diǎn)共面【答案】BC【分析】選項(xiàng)A，直接求出點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示，即可得出，從而可判斷出選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)投影向量的定義，即可求出結(jié)果，從而判斷出選項(xiàng)C的正誤；選項(xiàng)D，根據(jù)空間向量共面的結(jié)論可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，且，所以，得到，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以在上的投影向量的模為，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，由空間向量基本定理的推論可知：，且時(shí)，四點(diǎn)共面，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題8．（2223高二上·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)是【答案】【分析】根據(jù)已知先求坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形可得坐標(biāo)，然后可得答案.【詳解】因?yàn)椋瑸樽鴺?biāo)原點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉檎襟w，所以所以.故答案為：9．（2324高二上·山東聊城·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此列式求解即可.【詳解】由題意知，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，又，所以，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：.四、解答題10．（2122高二上·全國·課后作業(yè)）（1）寫出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）寫出點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可得出答案；（2）根據(jù)關(guān)于軸對稱時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可得出答案；【詳解】（1）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.11．（2122高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有一長方體，且，，(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并將用標(biāo)準(zhǔn)正交基表示；(2)求的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．(2)【分析】（1）直接利用空間向量的坐標(biāo)表示即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，由向量加法的坐標(biāo)表示即可將用標(biāo)準(zhǔn)正交基表示；（2）直接利用空間向量的坐標(biāo)表示即可得到坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而．（2）同理因?yàn)椋?，，易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·河北保定·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A2．（2324高二下·四川綿陽·開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的特征可得正確的選項(xiàng).【詳解】點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D.3．（2324高二上·河南省直轄縣級單位·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性可得結(jié)果.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為.故選：B.4．（2223高二上·北京房山·期中）已知，則向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B5．（2324高二上·北京西城·期中）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是單位正方體，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)A的坐標(biāo)為.故選：D二、多選題6．（1920高二上·福建三明·期末）如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為，5，B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，8，C．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，5，D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，5，【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)圖示分析即可；對B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，再根據(jù)為的中點(diǎn)列式求解即可；對C，根據(jù)四邊形為正方形判斷即可；對D，根據(jù)平面求解即可【詳解】對A，由圖可得，的坐標(biāo)為，5，，故A正確；對B，由圖，，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為則，解得，故，故B錯(cuò)誤；對C，在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確；對D，因?yàn)槠矫妫庶c(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，即，選項(xiàng)D正確；故選：ACD.7．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，，點(diǎn)E在線段AO的延長線上，且，下列向量坐標(biāo)表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】求出向量坐標(biāo)，逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，對于A，因?yàn)?，，所以，故A不正確；對于B，因?yàn)?，，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，，所以，故D不正確.故選：BC.三、填空題8．（2324高二上·上海·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出即可．【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.9．（2324高二上·河南鄭州·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于面對稱的結(jié)論求解即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.四、解答題10．（2122高二·全國·課后作業(yè)）