初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料合輯(初中三年)

實(shí)數(shù)

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

2、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)

是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

3、有理數(shù)都可以表示為的形式（p、q為整數(shù)且p、q互質(zhì)）；任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可

以化成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù).

4、實(shí)數(shù)運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍③商值比較法：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a,b,當(dāng)時(shí)a>b；

當(dāng)時(shí)aVb；當(dāng)時(shí)，a=b.

6、近似數(shù)與有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精

確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)

字都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

7、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)記成axlOn的形式，叫做科學(xué)記數(shù)法，其中上間〈

10,n為整數(shù)，科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字以a的有效數(shù)字計(jì)算.

8、非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)數(shù)，象|a|,a2,形式的數(shù)都是表示非負(fù)數(shù).

9、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：①最小的非負(fù)數(shù)是零；②若n個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)

非負(fù)數(shù)都為零.

二、典例剖析

例1、實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)

解：

由數(shù)軸可知：a>O>b,|a|<|b|得b—aVO,a+b<0,所以：

點(diǎn)評(píng)：

數(shù)形結(jié)合的思想是本題的解題關(guān)鍵，應(yīng)學(xué)會(huì)從數(shù)軸上讀出足夠多的信息為自己

所用，同時(shí)要熟記各種法則及應(yīng)用.

例3、(1)如果，求2x—y+z的值.

(2)若|x+2y+3|+x2+y2=2xy,求xy的值.

點(diǎn)評(píng)：

蜃術(shù)平方根、絕對(duì)值、平方等具有非負(fù)性，在解題時(shí)應(yīng)注意運(yùn)用，同時(shí)注意幾

個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，可得絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式為0,算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)為0,

平方的底數(shù)為0.

例4、填空題:

(1)近似數(shù)3.20x107精確到位，有個(gè)有效數(shù)字.

(2)將908070萬(wàn)保留兩個(gè)有效數(shù)字，用科學(xué)記數(shù)法表示為.

(3)光的速度約為3x105千米/秒，太陽(yáng)光射到地球上需要的時(shí)間約為5x102秒,

則地球與太陽(yáng)的距離是千米.

解：⑴十萬(wàn)，3

(2)9.1x109

(3)3x105x5x102=1.5x108千米

點(diǎn)評(píng)：

科學(xué)記數(shù)法是中考中?？嫉念}目.應(yīng)根據(jù)指定的精確度或有效數(shù)字的個(gè)數(shù)用四

舍五入法求實(shí)數(shù)的近似值，并會(huì)用科學(xué)記數(shù)法.

例5、已知a、b是有理數(shù)，且，求a、b的值.

點(diǎn)評(píng)：

把原等式整理成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方

程組.

例6、函數(shù)y=|x+l|+|x+2|+|x+3],當(dāng)x取何值時(shí)，y有最小值且最小值是多

少？

分析：

先確定三個(gè)絕值的零點(diǎn)值，把X的取值范圍分為四個(gè)部分，然后逐一討論所求

代數(shù)式的取值情況從而確定其最小值.

解：

當(dāng)xN—1時(shí)，y=x+1+x+2+x+3=3x+6>3；

當(dāng)一2SxV—1時(shí)，y=-x—1+x+2+x+3=x+4>2；

當(dāng)一3gxV—2時(shí)，y=-x—1—x—2+x+3=—x,此時(shí)無(wú)最小值；

當(dāng)xV—3時(shí)，y=-X—1—X—2—X—3=—3x—6,此時(shí)無(wú)最小值.

所以當(dāng)x=-2時(shí)，y的值最小，最小值是2.

點(diǎn)評(píng)：

解答此類(lèi)題目的一般步驟是：①求零點(diǎn)，劃分區(qū)間；②按區(qū)間分別去掉絕對(duì)值

的符號(hào).

整式一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1

、代數(shù)式的分類(lèi)

2、同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng).合

并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，只把同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變.

3、整式的運(yùn)算

(1)整式的加減——先去括號(hào)或添括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng).

(2)整式的乘除

a.嘉的運(yùn)算性質(zhì)

+①am?an=amn(arO,m,n為整數(shù))

②(am)n=amn(arO,m,n為整數(shù))

③(ab)n=anbn(n為整數(shù)，a/0,b,0)

b.零指數(shù)幕與負(fù)整數(shù)指數(shù)塞

(3)乘法公式

a.平方差公式(a+b)(a—b尸a2—b2b.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b

2

4、基本規(guī)律

(1)代數(shù)式的分類(lèi)遵循按所給的代數(shù)式的形式分類(lèi).

(2)同類(lèi)項(xiàng)的尋找是遵循兩同兩無(wú)關(guān)法則(字母相同，相同字母的指數(shù)相同；與

系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母的排列順序無(wú)關(guān).)(3)整式的運(yùn)算法則與有理數(shù)運(yùn)算法則類(lèi)

似.

5、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式叫多項(xiàng)式的因式分解.

6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分組分解法；④十

字相乘法.

7、因式分解常用的公式如下：

①a2—b2=(a+b)(a—b)

②a2±2ab+b2=(a±b)2.

二、典例剖析

例1、填空題

(1)如果單項(xiàng)式與一2x3ya+b是同類(lèi)項(xiàng)，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是.

(2)m,n滿(mǎn)足|m—2|+(n—4)2=0

.分解因式：(x2+y2)—(mxy+n).

例2、若3x—x=l,求9x+12x—3x—7x+2008的值.

分析：

此類(lèi)代數(shù)式求值問(wèn)題，一般采用整體代入法，即將要求的代數(shù)式經(jīng)過(guò)變形，使

之含有3x3—x—1的乘積的代數(shù)和的形式，再求其值.

解：由3x3—x=l得3x3—x—l=0

所以9x4+12x3-3x2-7x+2008

=3x(3x3-x-l)+4(3x3-x-1)+2012

=20123432

例3^已知多項(xiàng)式2x2+3xy—2y2—x+8y—6可分解為(x+2y+m)(2x—y+n)

的形式，求的值.

分析：

由題設(shè)可知，兩個(gè)一次三項(xiàng)式的積等于2x2+3xy—2y2—x+8y—6,根據(jù)多項(xiàng)

式恒等的條件可列出關(guān)于m,n的二元一次方程組，進(jìn)而求出m、n.

解：由題意得：

(x+2y+m)(2x—y+n)=2x2+3xy—2y2—x+8y-6

又因?yàn)?x+2y+m)(2x—y+n)=2x2+3xy—2y2+(2m+n)x+(2n—m)y+mn

根據(jù)多項(xiàng)式恒等的條件，得：

點(diǎn)評(píng)：解此類(lèi)題的關(guān)鍵是利用多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等得到相關(guān)方程組,

求待定系數(shù).

分析：

本題若直接計(jì)算是很復(fù)雜的，因每個(gè)括號(hào)內(nèi)都是兩個(gè)數(shù)的平方差，故可利用平

方差公式使計(jì)算簡(jiǎn)化.

點(diǎn)評(píng)：涉及與乘法有關(guān)的復(fù)雜計(jì)算，要?jiǎng)?chuàng)造條件運(yùn)用公式簡(jiǎn)化計(jì)算.

例5、已知a、b^c,滿(mǎn)足，求(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2的最大值.

分析：

條件等式和待求代數(shù)式都涉及數(shù)的平方關(guān)系，由此聯(lián)想到利用完全平方公式求

其最大值.

例6、若2x—kx+3被2x+l除后余2,求k的值.分析：

要求k的值，需找到關(guān)于k的方程，由2x3—kx2+3被2x+l除后余2,可知

2x3—kx2+l能被2x+l整除，由此可得關(guān)于k的一次方程.32

點(diǎn)評(píng):關(guān)鍵是利用余數(shù)定理找出關(guān)于k的方程，當(dāng)f(x)能被x-a整除時(shí),f(a)=O.

例7、分解因式

解：(1)a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)點(diǎn)

評(píng)：

本題不可分組，又無(wú)法直接運(yùn)用公式，但這兩項(xiàng)都是完全平方數(shù)，因此可通過(guò)

添項(xiàng)利用公式去分解.

(2)解法一：x3—3x2+4=x3+x2—4x2+4

=x2(x+l)-4(x+l)(x-l)

=(x+l)(x—2)2

解法2：x3—3x2+4=x3+1—3x2+3

=(x+1)(x2—x+1)—3(x+l)(x—1)

=(x+1)(x2—4x+4尸(x+l)(x—2)2

解法3：x3—3x2+4=x3+x2—4x2—4x+4x+4

=x2(x+l)—4x(x+l)+4(x+1)

=(x+l)(x2-4x+4)

=(x+l)(x-2)2

點(diǎn)評(píng)：

這是一個(gè)關(guān)于x的三次式，直接運(yùn)用分組分解法是難以完成的，可以先將二次

項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)，再進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸M分解.

比較左、右兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得：

，x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y—2)(x—2y+3).點(diǎn)評(píng)：

這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，運(yùn)用分組分解法有困難，根據(jù)整式乘法可知，這個(gè)二次

六項(xiàng)式可分解為兩個(gè)一次三項(xiàng)式，且前三項(xiàng)二次式x2+xy—6y2=(x+3y)(x—2y),

由此可知，這兩個(gè)一次式的常數(shù)項(xiàng)待定，因此可用待定系數(shù)法分解.

(4)設(shè)x+y=a,xy=b

則原式=a(a+2b)+(b+l)(b-1尸a2+2ab+b2—1

=(a+b)2—l=(a+b+l)(a+b—1)

=(x+y+xy+l)(x+y+xy—1)

=(x+l)(y+l)(x+y+xy-1)

點(diǎn)評(píng)：

整體思想，換元思想是常用的數(shù)學(xué)思想方法，此題設(shè)x+y=a,xy/進(jìn)行代換

后，再運(yùn)用公式法和提公因式法來(lái)分解.

分式一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、分式的概念和性質(zhì)

(1)定義：若用A、B表示兩個(gè)整式，A+B可以寫(xiě)成的形式，若B中含有字母,

式子叫做分式.

說(shuō)明：

1。分式的值為0的條件是：分子為零且分母不為0；2。當(dāng)分母為零時(shí)，分式無(wú)

意義；3。分式的基本性質(zhì)是分式運(yùn)算的重要依據(jù)，分式的運(yùn)算方法和順序與分?jǐn)?shù)

的運(yùn)算類(lèi)似.

2

、分式的運(yùn)算法則

說(shuō)明：分式的符號(hào)變化法則是指整個(gè)分子分母和分?jǐn)?shù)線前的符號(hào)，切忌只變分

子或分母中第一項(xiàng)符號(hào).3、約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式的分子和分母

中的公因式約去，叫做約分.

4、通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化成和原來(lái)的分式分別相等

的同分母分式，叫做通分.

二、典例剖析例1、若分式的值是絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù).則*=.

分析：

絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是0,從而得出分式的值為0,則分子為零且分母不為0,故

可求出X.解：

說(shuō)明：

分式的值為0,分子為零都知道，但往往忽略分母不為0,這是此類(lèi)題目的考

察重點(diǎn).

例2、如果n為正整數(shù)，

分析：是既約分?jǐn)?shù)，那么

n2+3n—10=(n+5)(n—2),n2+6n—16=(n+8)(n—2)分式，分母有公因式n—2,

但此分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)，從而有n—2=1,易可求n,進(jìn)而求出此分式值.

說(shuō)明：

解答此題的關(guān)鍵在于：巧妙運(yùn)用既約分?jǐn)?shù)的概念確定n的取值，注意化簡(jiǎn)分式

時(shí)先要分別將分子、分母分解因式，再約分.

分析：

先找出原式中的最簡(jiǎn)公分母，再對(duì)原式進(jìn)行通分，然后將原式進(jìn)行因式分解,

以便約分化簡(jiǎn).

例4、若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x有()

A.3個(gè)B.4個(gè)

C.6個(gè)D.8個(gè)

分析：

將分式進(jìn)行分析，即將它變形為一個(gè)整數(shù)部分與一個(gè)分子為整數(shù)的分式之和的

形式，然后再討論其整數(shù)的個(gè)數(shù).

解：

.?.當(dāng)2x-l=±l或±3時(shí)，x為整數(shù)，0,1,2,-1；

當(dāng)2x-l=±6或±2時(shí)，x都不是整數(shù).

所以符合題意的x的取值只有4個(gè)，應(yīng)選B項(xiàng).

說(shuō)明：將分式進(jìn)行分拆，關(guān)鍵是在于把分子中含字母的部分湊成與分母相同的

公因式.

分析：由已知可得到關(guān)于a、b、c的值，然后代入求值.

解：由3a+2b—5=2(a—b+2)得a+4b—9=0①

由2b+c—l=2(3b+2c—8)得4b+3c—17=0②

由c—3a+2=2(2c+a—b)得3c+5a—14=0③

解聯(lián)立①②③組成的方程組得a=l,b=2,c=3.

說(shuō)明：對(duì)于含條件等式的分式求值問(wèn)題，除考慮對(duì)欲求的分式化簡(jiǎn)外，還要對(duì)

條件進(jìn)行分析適當(dāng)變形，并根據(jù)需要加以轉(zhuǎn)化.

說(shuō)明：添項(xiàng)、拆項(xiàng)是分式計(jì)算與證明的常用方法.此題可抓住左邊分式的分子

與分母的特點(diǎn)進(jìn)行突破，如b—c=(a—c)—(a—b)就可以進(jìn)行分拆.

二次根式

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、二次根式：式子叫做二次根式.

2、最簡(jiǎn)二次根式：滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.

(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式.

(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

3、同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同,

這幾個(gè)二次根式就叫同類(lèi)二次根式.

4、二次根式的主要性質(zhì)

5、二次根式的運(yùn)算

(1)因式的外移和內(nèi)移

如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移

到根號(hào)外；如果被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，

再移因式到根號(hào)外.反之，也可以將根號(hào)外的正因式平方后移到根號(hào)里面去.

(2)有理化因式與分母有理化

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)

式互為有理化因式，將分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.

（3）二次根式的加減法：

先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式.

（4）二次根式的乘除法

二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除）所得的積（商）仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)，

并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

（5）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律,

以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

二、典例剖析

分析：

因一個(gè)等式中含有兩個(gè)未知量，初看似乎條件不足，仔細(xì)觀察兩被開(kāi)方數(shù)互為

相反數(shù)，不妨從二次根式定義入手.

例3、已知xy>0,化簡(jiǎn)二次根式

A.B.一的正確結(jié)果是（）C.D.-

分析：

解題的關(guān)鍵是首先確定被開(kāi)方式中字母的符號(hào)，既可以化簡(jiǎn)被開(kāi)方式，又可把

根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi).

說(shuō)明：

運(yùn)用二次根式性質(zhì)解題時(shí)，既要注意每一性質(zhì)成立的條件，又要學(xué)會(huì)性質(zhì)的“正

用，，與，，逆用，，特別地字母因式由根號(hào)內(nèi)（外）移到根號(hào)（外）內(nèi)時(shí)必須考慮字母因式

隱含的符號(hào).

例6、已知，求a+b+c的值.

分析：已知條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式怎樣才能

確定未知量的值呢？考慮從配方的角度試一試.

點(diǎn)評(píng)：

而用非負(fù)數(shù)概念和性質(zhì)是初中代數(shù)解題的常用方法之一，|a|,a2n,是三種重要

的非負(fù)數(shù)表現(xiàn)形式.判斷一個(gè)數(shù)是否為非負(fù)數(shù)，最關(guān)鍵的是看它能否通過(guò)配方

得到完全平方式，如：

在解多變?cè)胃?，?fù)合二次根式等問(wèn)題時(shí)，常用到配方法，如化簡(jiǎn)

不等式與不等式組

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、不等式的基本性質(zhì)

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式不等號(hào)的方向不變.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.（3）不等式

的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

2、不等式（組）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相類(lèi)似，但要特別注意不等式的兩邊都

乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變.

（2）解不等式組一般先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，再求出它們的公

共部分，就得到不等式組的解集.

（3）設(shè)aV<那么：

①不等式組的解集是x>b（大大取大）；

②不等式組的解集是xVa（小小取?。?/p>

③不等式組的解集是a<x〈b（大小、小大中間找）；④不等式組的解集是空集

（大大、小小題無(wú)解）.

3、不等式（組）的應(yīng)用

會(huì)列一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題，其步驟是：

（1）找出實(shí)際問(wèn)題的不等關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)，列出不等式（組）；

（2）解不等式（組）；

（3）從不等式（組）的解集中求出符合題意的答案.

二、典例剖析

例1、（1）已知不等式3x-a<0的正整數(shù)解恰是1,2,3,則a的取值范圍是

（2）已知關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是.

分析：

對(duì)于（1）,由題意知不等式的解在x<4的范圍內(nèi)；對(duì)于（2）,從數(shù)軸上看，原不

等式組中兩個(gè)不等式的解集無(wú)公共部分.

解：

（1）由題意得，，9WaV12.

（2）由（1）得x>a,由⑵得x03,因不等式組無(wú)解，...a盤(pán).

說(shuō)明：確定不等式（組）中參數(shù)的取值或范圍常用的方法有：（1）逆用不等式（組）

解集確定；（2）分類(lèi)討論確定；（3）借助數(shù)軸確定.

例2、解下列關(guān)于x的不等式（組）.

（l）|x—2|<2x—10；

（2）（2mx+3）—n<3x.

分析：

對(duì)于（1）確定“零界點(diǎn)”x=2（令x-2=0得x=2）分x>2和x<2,去掉絕對(duì)值后求出

不等式的解集；對(duì)于（2）,化為axVb的形式，再就a的正負(fù)性討論.

說(shuō)明：涉及未知系數(shù)或絕對(duì)值式子的題目，均可用零點(diǎn)分段討論法解答.

例3、已知3a+2b—6=ac+4b—8=0且a>b>0求c的取值范圍.

分析：消去a,b得到關(guān)于c的不等式組，解不等式組得c的取值范圍.

分析：

已知不等式組的解集，求某些字母的值(或范圍)是不等式組解集確定方法的逆

向應(yīng)用，處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可先求出原不等式組含有字母的解集，然后對(duì)照已知

“對(duì)號(hào)入座”，應(yīng)取有針對(duì)性的方法.

例6、東風(fēng)商場(chǎng)文具部的某種毛筆每枝售價(jià)25元，書(shū)法練習(xí)本每本售價(jià)5元，

該商場(chǎng)為促銷(xiāo)制定了兩種優(yōu)惠方法：

甲：買(mǎi)一支毛筆就贈(zèng)送一本書(shū)法練習(xí)本；

乙：按購(gòu)買(mǎi)金額打九折付款.

某校欲為校書(shū)法興趣小組購(gòu)買(mǎi)這種毛筆10支，書(shū)法練習(xí)本x(xN10)本.

(1)寫(xiě)出每種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲(元卜y乙(元)與x(本)之間的關(guān)系式；

(2)比較購(gòu)買(mǎi)同樣多的書(shū)法練習(xí)本時(shí)，按哪種優(yōu)惠辦法付款更省錢(qián)；

(3)如果商場(chǎng)允許可以任意選擇一種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)，也可以同時(shí)用兩種優(yōu)惠辦法

購(gòu)買(mǎi),請(qǐng)你就購(gòu)買(mǎi)這種毛筆10支和書(shū)法練習(xí)本60本設(shè)計(jì)一種更省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案.

分析：

(2)中比較哪種優(yōu)惠辦法更省錢(qián)與購(gòu)買(mǎi)練習(xí)本的數(shù)量有關(guān)，因此應(yīng)分類(lèi)討論；(3)

中因?yàn)榭赏瑫r(shí)用兩種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)，所以需要重新建立關(guān)于毛筆枝數(shù)的關(guān)系式求

解.

解：

(1)依題意，可得y甲=25X10+5(X—10)=5X+200(XN10)；

y乙=(25xl0+5x)x90%=4.5x+225(xN10)

(2)由⑴有y甲一y乙=0.5x—25

當(dāng)y甲一y乙=0時(shí)，解得x=50；

當(dāng)y甲一y乙>0時(shí)，解得x>50；

當(dāng)y甲一y乙V0時(shí)，解得x<50.

所以，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)法練習(xí)本時(shí)，兩種優(yōu)惠辦法的實(shí)際付款一樣，即可任選

一種辦法付款，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)本數(shù)在10?50之間時(shí)，選擇優(yōu)惠辦法甲付款更省錢(qián)；當(dāng)

購(gòu)買(mǎi)本數(shù)大于50本時(shí)，選擇優(yōu)惠辦法乙更省錢(qián).

(3)①因?yàn)?0>50,由(2)知不考慮單獨(dú)選用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi).

若只用優(yōu)惠辦性乙購(gòu)買(mǎi)10支毛筆和60本書(shū)法練習(xí)本需付款(25x10+

5x60)x90%=495(元)

②若用優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)m支毛筆，則須用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi)(10—m)支毛筆，用

優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)60—(10—m尸m+50本書(shū)法練習(xí)本，設(shè)付款總金額為P,則：

P=25(10-m)+[25m+5(m+50)]x90%=2m+475(0<m<10)

所以，當(dāng)m=0即用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi)10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)

法練習(xí)本時(shí)，P取得最小值為：2x0+475=475(元)

故選用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi)10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)法練習(xí)本的方

案最省錢(qián).

例7、我市某化工廠現(xiàn)有甲種原料290kg,乙種原料212kg,計(jì)劃利用這兩種原

料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共80件，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲種原料5kg,乙種原料

1.5kg,生產(chǎn)成本是120元；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品，需要甲種原料2.5kg,乙種原料

3.5kg,生產(chǎn)成本是200元.

(1)該化工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)？若能的話，有幾種生產(chǎn)方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)

出來(lái).

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總成本為y元，其中一種生產(chǎn)的件數(shù)為x,試寫(xiě)出

y與x之間的關(guān)系式，并利用關(guān)系式說(shuō)明(1)中哪種生產(chǎn)方案總成本最低？最低生

產(chǎn)總成本是多少？

分析：

若設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，根據(jù)題意可建立關(guān)于x的不等式組，解出不等式

組得x的取值范圍.由x為整數(shù)在取值范圍內(nèi)確定x的取值，從而得出生產(chǎn)方案,

然后由成本的已知條件求出x與y之間的關(guān)系式，根據(jù)此關(guān)系式求出最低生產(chǎn)總

成本.

解：

(1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意，可得：

解得：34<x<36

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x只能取34或35或36.

所以該工廠現(xiàn)有的原料能保證生產(chǎn)，有三種生產(chǎn)方案:

第一種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件；

第二種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品35件，B種產(chǎn)品45件；

第三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件.

(2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意，可得：

y=120x+200(80—x)即y=-80x+16000(x取34或35或36)

由式子可知，當(dāng)x取最大值36時(shí)，y取最小值為-80x36+16000=13120元，

即第三種方案；生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件，總成本最低，最低生產(chǎn)

成本是13120元.

說(shuō)明：

利用列不等式組然后求出不等式組的集，在其解集內(nèi)求出符合條件(一般是整

數(shù))的值，是解方案設(shè)計(jì)型應(yīng)用題的常用方法.

方程與方程組

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、等式和方程的有關(guān)概念、等式的基本性質(zhì).

2、一元一次方程的解法及最簡(jiǎn)方程2*刈解的三種情況.

(1)解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)和將未知

數(shù)的系數(shù)化為1.

(2)最簡(jiǎn)方程ax=b的解有以下三種情況：

①當(dāng)時(shí)0時(shí)，方程有唯一解；

&當(dāng)a=0,b#)時(shí)，方程無(wú)解.

③當(dāng)a=0,b=0時(shí)，方程有無(wú)窮多解.

3、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a#0)

其解法主要有：直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式是：

注意：求根公式成立的條件為：①a#0；②b2-4acN0.

5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a，0)的根的判別式是4=62—4ac.當(dāng)△>()時(shí),

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即

當(dāng)AV0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根，反之成立.；

6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a，0)的兩根為xl,x2,則

7、以?xún)蓴?shù)a、B為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(a+p)x+ap=0.

8、解一次方程組的基本思想是消元，常用的消元方法是加減消元法和代入消

元法.

9、解簡(jiǎn)單的二元二次方程組的基本思想是“消元”與“降次”.①若方程組中有一

個(gè)是一次方程，則一般用代入消元法求解；②若方程組中有能分解成兩個(gè)一次方

程的方程，則一般用“分解降次”的方法將原方程組化為兩個(gè)或四個(gè)方程組求解.

10、簡(jiǎn)單的分式方程組的解法，一般是用去分母或換元法將其轉(zhuǎn)化為整式方程

組求解，并要驗(yàn)解.

11、方程組的解的存在性問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為方程的解的存在性問(wèn)題來(lái)研究.

二、典例剖析

點(diǎn)評(píng)：靈活解一元一次方程時(shí)常用到以下方法技巧.

(1)若括號(hào)內(nèi)有分?jǐn)?shù)時(shí)，則由外向內(nèi)先去括號(hào)，再去分母;

(2)若有多重括號(hào)，則去括號(hào)與合并同類(lèi)項(xiàng)交替進(jìn)行；

(3)恰當(dāng)用整體思想.

例2、解下列關(guān)于x的方程.

(l)4x+b=ax-8(a^4)

(2)mx—l=nx(3)

分析：把方程化為一般形式后，再對(duì)每個(gè)方程中字母系數(shù)可能取值的情況進(jìn)行

討論.

例4、已知m是整數(shù)，方程組有整數(shù)解，求m的值.

分析：先求出y,運(yùn)用整除的性質(zhì)求出m的值，需注意所求的整數(shù)m要使得x

也為整數(shù).

解：由原方程組解得，

若y有整數(shù)解，則2m+9=±1或±2或±17或±34,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)2m+9=士1或士17

時(shí)，m為整數(shù)且x也為整數(shù)，得m=4或一4或一5或一13.

例5、已知關(guān)于x的一元二次方程

(1)求m的取值范圍；

有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

例7、解下列方程

(2)3x+x—7=0

分析：

對(duì)于(1)首先應(yīng)回避復(fù)雜的小數(shù)運(yùn)算，注意此時(shí)只運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)而未用到

等式有關(guān)性質(zhì).對(duì)于(2)此方程用分解因式法難以行通，故考慮用求根公式.2

解：(1)原方程化簡(jiǎn)得

方程兩邊都乘以12(即去分母)得3(35x-5)=4(5-x)-6(25x+5)去括號(hào)得:

105x-15=20-4x-150X-30移項(xiàng)及合并同獎(jiǎng)項(xiàng)得：259x=5

例8^如果關(guān)于x的一元二次方程kx2—2(k+2)x+k+5=0沒(méi)有實(shí)根，試說(shuō)明

關(guān)于x的方程(k—5)x2—2(k+

2)x+k=0必有實(shí)數(shù)根.

分析：

由一元二次方程kx2—2(k+2)x+k+5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可以得出原0,b2-4ac

<0,從而求出k的取值范圍，再由k的取值范圍來(lái)說(shuō)明(k—5)x2—2(k+2)x+k=0

必有實(shí)數(shù)根.

解：,關(guān)于kx2—2(k+2)x+k+5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,

解得k>4

當(dāng)k=5時(shí)，方程(k—5)x2—2(k+2)x+k=0為一元一次方程，—14x+5=0,此時(shí)

方程的根為.當(dāng)k=5時(shí)，方程(k—5)x2—2(k+2)x+k=0為一元二次方程

A△=[-2(k+2)]2-4(k-5)-k=4(9k+4)

?.?k>4且k，5,/.△=4(9k+4)>0

...此時(shí)方程必有兩不等實(shí)數(shù)根，

綜上可知方程(k—5)x2—2(k+2)x+k=0必有實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)：

(1)方程“有實(shí)數(shù)根”與“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根''有著質(zhì)的區(qū)別.方程“有實(shí)數(shù)根”表示方程

可能為一元一次方程，此時(shí)方程有一實(shí)數(shù)根，方程也可能為一元二次方程，此時(shí)

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，而方程“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”，則表示此時(shí)方程一定為一元二次方

程.

點(diǎn)評(píng)：

構(gòu)造一元二次方程是解題的常用技巧，構(gòu)造的主要方法有：(1)當(dāng)已知等式具有

相同的結(jié)構(gòu)，就可以把兩個(gè)變?cè)闯申P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程；(2)對(duì)于含

有多個(gè)變?cè)牡仁?，可以將等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程.

分式方程

一知識(shí)要點(diǎn)概述

1、分式去箱；分母中含有未知數(shù)的有理方程叫分式方程.

2、解分式方程的基本思想方法是：

3、解分式方程必須驗(yàn)根.

二、典型例題剖析

例1、解方程.

分析：根據(jù)解分式方程的一般步驟來(lái)解此題.

解：方程兩邊同乘以(x+3)(x—2)得：

10+2(x-2)=(x+3)(x-2)

化簡(jiǎn)，整理得：x2—X—12=0

解之得xl=-3或x2=4

經(jīng)檢驗(yàn)可知：xl=-3是原方程的增根，x2=4是原方程的根.

，原方程的根是x=4.

分析：用換元法解這些分式方程.

解：⑴設(shè)x2—x=y,則原方程變?yōu)?/p>

解這個(gè)方程得yl=-2,y2=6,當(dāng)yl=-2時(shí)，x2—x=-2,此方程無(wú)解；當(dāng)

y2=6時(shí)，x2—x=6,.*.xl=-2,x2=3.經(jīng)檢驗(yàn)可知：xl=-2,x2=3都是原方

程的根.，原方程的解為xl=-2,x2=3.

例3、當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程

分析：無(wú)實(shí)根？

先將分式方程化為整式方程，如果整式方程有實(shí)根，那么這些根均是原方程的

增根，這樣x=0或x=l是所得整式方程的根，如果整式方程無(wú)實(shí)根，那么原方

程也無(wú)實(shí)根.

解：原方程去分母，整理得：x2—x+2—m=0①

(1)若方程①有實(shí)根，根據(jù)題意知，方程①的根為x=0或x=l.

把x=0或x=l代入方程①得m=2.

而x=0或x=l是原方程的增根.

，當(dāng)m=2時(shí)原方程無(wú)實(shí)根.

(2)若方程(1)無(wú)實(shí)根，則△=(—1)2—4(2—m)VO

解之得

，當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)實(shí)根.

綜合之，當(dāng)m=2或時(shí)，原方程無(wú)實(shí)根.

例4、若方程有增根，試求m的值.

分析：

分式方程將會(huì)產(chǎn)生增根，即最簡(jiǎn)公分母x2—4=0,故方程產(chǎn)生增根有兩種可能:

xl=2,x2=-2.由增根的定義知：xl=2,x2=-2是原分式方程去分母化成整式

方程的根，由根的定義即可求出m的值.解：將原方程去分母得：2(x+2)+

mx=3(x-2)

整理得：(m-l)x=-10(1)

???原方程有增根，，x2—4=0

...xl=2,x2=-2.

將xl=2代入(1)得2(m-1)=-10

m=-4

將x2=—2代入⑴得一2(m—1)=-10

/.m=6

所以m的值為-4或6.

點(diǎn)評(píng)：

(1)增根的求法：令最簡(jiǎn)公分母為0；

(2)求有增根的方程中參數(shù)的值，應(yīng)先求出可能的增根，再將其代入化簡(jiǎn)后的整

式方程即可.例5、已知a2—a—1=0且

分析：求x的值.

為求x的值，須將x與a2分離，聯(lián)想到分式的基本性質(zhì)，從而原等式含

件出發(fā)構(gòu)造倒數(shù)關(guān)系.

解：，這樣應(yīng)從條

列方程解應(yīng)用題

、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟.

審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，布列方程（組），解方程（組），檢驗(yàn)作答，其

中找出相等關(guān)系，布列方程（組）是關(guān)鍵，而如何設(shè)未知數(shù)又是至關(guān)重要的開(kāi)端.

2、幾種常見(jiàn)應(yīng)用題型的基本等量關(guān)系及解題策略.

（1）和、差、倍、分的有關(guān)問(wèn)題.

涉及和、差、倍、分問(wèn)題，一般可直接列出方程.但需要抓住關(guān)鍵詞：大、小、

多、少、增加、減小、幾倍、幾分之幾、幾折優(yōu)惠等.

如：將若干支鉛筆分給幾個(gè)同學(xué)，若每人5支，還剩3支，若每人7支，還差

5支，問(wèn)有學(xué)生幾人？鉛筆幾支？

若設(shè)學(xué)生有x人，依題意得方程5x+3=7x—5

，x=4,則鉛筆支數(shù)5x+3=23支.

（2）等積（面積、體積）問(wèn)題

涉及等積問(wèn)題，應(yīng)依變形前后體（面）積不變建立等式關(guān)系，但需注意單位的統(tǒng)

如要用截面積為48mm2的圓鋼條鍛造成長(zhǎng)、寬、高分別為25mm、8mm、15mm

的長(zhǎng)方體鋼坯，需要這種圓鋼條多少米？

解:設(shè)需要這種圓鋼條xmm,則48x=25*要15

解得x=62.5mm=0.0625米

答:需要這種圓鋼條0.0625米.

（3）商品利潤(rùn)問(wèn)題：

商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)

（4）濃度問(wèn)題:

溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量

（5）工程問(wèn)題：

工程問(wèn)題中通常把工作量看做“1”

工作效率x工作時(shí)間=工作量

（6）行程問(wèn)題（又分三類(lèi)）

a.相遇（包括環(huán)形相遇）問(wèn)題：兩運(yùn)動(dòng)物體所走過(guò)的路程等于全程（或圈長(zhǎng)）.

b.追及問(wèn)題：分路程相同、時(shí)間不同的追及問(wèn)題和時(shí)間相同、路程不同的追

及問(wèn)題，?？僧?huà)行程示意圖幫助分析題意，若甲為快者，則被追路程=甲走的路

程一乙走的路程.

C.時(shí)針問(wèn)題：注意一圈為60分格則分針?biāo)俣葹?分格/分鐘：時(shí)針?biāo)俣葹?/p>

路程.

(7)航行(或飛行)問(wèn)題

這類(lèi)問(wèn)題要注意航行速度與水(風(fēng))速的關(guān)系

順?biāo)俣?靜水速度+水速

逆水速度=靜水速度一水速

分格/分鐘.時(shí)間x速度=

(8)數(shù)字問(wèn)題

n位數(shù)

(9)增長(zhǎng)率問(wèn)題：

(10)投資利潤(rùn)問(wèn)題：

投資總額x投資利率=投資利潤(rùn)

二、典型例題剖析

例1、某市為了進(jìn)一步緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條從市中心到飛機(jī)場(chǎng)的

輕軌鐵路，為使工程能提前3個(gè)月完成，需要將原定的工作效率提高12%,問(wèn)原

計(jì)劃完成這項(xiàng)工程用多少個(gè)月？

解：

設(shè)原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程用x個(gè)月，則實(shí)際完成這項(xiàng)工程用(x—3)個(gè)月.

根據(jù)題意得

解得x=28.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=28是原方程的解且合題意.

答：原計(jì)劃這項(xiàng)工程用28個(gè)月.

點(diǎn)評(píng)：分式應(yīng)用題一定不能忽視兩個(gè)檢驗(yàn).

(1)驗(yàn)根；(2)驗(yàn)題意.

例2、有濃度為60%和30%的兩種硫酸若干，現(xiàn)在要配制成濃度為50%的硫酸

3000千克，問(wèn)兩種硫酸各取多少千克？

分析：

設(shè)取濃度為60%的硫酸x千克，.則取濃度為30%的硫酸為(3000—x)千克.

利用列表法來(lái)分析其數(shù)量關(guān)系：

根據(jù)混合前后溶質(zhì)(純硫酸)的重量不變列出方程得

x-60%+(3000-x)-30%=3000x50%

解：設(shè)取濃度為60%的硫酸x千克，則取濃度為30%的硫酸(3000—x)千克.

根據(jù)題意得：x-60%+(3000-x)-30%=3000x50%

解之得x=2000，,3000-x=l000

答：取濃度為60%的硫酸2000千克，取濃度為30%的硫酸1000千克.

點(diǎn)評(píng)：濃度問(wèn)題一般抓住配制前后溶質(zhì)不變的關(guān)系來(lái)列方程，一般用列表法來(lái)

分析數(shù)量關(guān)系.

例3、某商店將彩電按原價(jià)提40%進(jìn)行標(biāo)價(jià)，然后在廣告中寫(xiě)上“八折優(yōu)惠銷(xiāo)售”

結(jié)果每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺了270元，彩電原價(jià)是多少？

分析：

設(shè)原價(jià)為x元/臺(tái)，則提價(jià)后的標(biāo)價(jià)為(1+40%>X,出售價(jià)(優(yōu)惠價(jià))為x(l+

40%)-80%

解：

設(shè)原價(jià)為每x元/臺(tái)，根據(jù)題意得：

x-(l+40%)-80%-x=270

解之得x=2250元.

答：原價(jià)每臺(tái)2250元.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)這種明優(yōu)惠、暗提價(jià)的經(jīng)銷(xiāo)問(wèn)題關(guān)鍵是區(qū)分清楚標(biāo)價(jià)、優(yōu)惠價(jià)及原價(jià)

之間的關(guān)系.

例4、某公司存入銀行甲、乙兩種不同年利率的存款共20萬(wàn)元，甲種存款的年

利率為1.4%,乙種存款的年利率為3.7%,該公司一年共得利息6250元，求甲、

乙兩種存款各為多少萬(wàn)元？

解：設(shè)甲、乙兩種存款分別為x、y萬(wàn)元，

答：甲、乙兩種存款分別為5萬(wàn)元，15萬(wàn)元.

點(diǎn)評(píng)：

利率問(wèn)題是中考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)弄清存款本金、利率、存期及利息之間的

關(guān)系：利息=本金x利率x期數(shù).

例5、A、B兩汽車(chē)站，每隔相同的時(shí)間相向發(fā)出一輛汽車(chē)，A、B之間有一騎

自行車(chē)的人，發(fā)現(xiàn)每隔4分鐘迎面開(kāi)過(guò)來(lái)一輛汽車(chē)，而每隔12分鐘有一輛汽車(chē)

從后面開(kāi)來(lái)并超過(guò)他，若人與汽車(chē)的速度始終是勻速的，問(wèn)A、B兩站每隔幾分

鐘各發(fā)一次車(chē)？

分析：

行程問(wèn)題也是一類(lèi)重要的應(yīng)用題，解題時(shí)，一定要透徹理解題意，本題中“每

隔4分鐘迎面開(kāi)過(guò)來(lái)一輛汽車(chē)”相當(dāng)于“騎車(chē)人和汽車(chē)相向而行4分鐘相遇”，而

“每隔12分鐘有一輛汽車(chē)從后面開(kāi)過(guò)來(lái)并超過(guò)他“相當(dāng)于汽車(chē)與自行車(chē)同向而

行，12分鐘汽車(chē)追上自行車(chē)”.

解：

設(shè)汽車(chē)速度為X,騎車(chē)人速度為y,先后兩輛汽車(chē)的間距為S,欲求，依題意得:

答：兩車(chē)站每隔6分鐘發(fā)一次車(chē).

例6、某三位數(shù)除以它各數(shù)位上數(shù)字的和的9倍得到的商為3,已知百位上的

數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和比十位上的數(shù)字大1,如果把數(shù)位上的數(shù)字順序顛倒，則所

得的新數(shù)比原數(shù)大99,試求這個(gè)三位數(shù).

函數(shù)與圖形

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

（一）函數(shù)有關(guān)概念

1、常量：在某一變化過(guò)程中保持不變的量.

2、變量：在某一變化過(guò)程中可取不同數(shù)值的量.

3、函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x,y,對(duì)于x的每一個(gè)取值,

y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)，x叫自變量.

4、函數(shù)的表示方法

5、畫(huà)函數(shù)圖象的步驟：①列表；②描點(diǎn)；③連線，通常稱(chēng)為描點(diǎn)法.

6、函數(shù)自變量的取值范圍

（二）平面直角坐標(biāo)中點(diǎn)的坐標(biāo)特征

3、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)

(1)平行于x軸的直線上任意兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；

(2)平行于y軸的直線上任意兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.

4、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)：

(1)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是Pl(a,—b)即橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為

相反數(shù).

(2)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是P2(—a,b)即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐

標(biāo)相同.

(3)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是P3(—a,—b)即橫、縱坐標(biāo)都互為相反

數(shù).

5、各象限角平分線上的點(diǎn)

(1)第一、三象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等.

(2)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

6、點(diǎn)與原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的距離

(1)點(diǎn)P(a,b)與原點(diǎn)的距離是.

(2)點(diǎn)P(a,b)與x軸的距離是|b|(即其縱坐標(biāo)的絕對(duì)值).

(3)點(diǎn)P(a,b)與y軸的距離是|a|(即其橫坐標(biāo)的絕對(duì)值)

二、典型例題剖析

例1、現(xiàn)有點(diǎn)M(l+a,2b—1)在第二象限，則點(diǎn)N(a—1,1—2b)在第

象限.

分析：

本題主要考查各象限B.(-3,-2)

C.(—2,—2)D.(—2,—3)

分析：

根據(jù)第三象限點(diǎn)的符號(hào)特征，建立不等式組求出字母m的取值范圍，再確定m

的值，從而可得P點(diǎn)坐標(biāo).

解：選A.

例3、點(diǎn)A(l,m)在函數(shù)y=2x圖象上，則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是

(,)分析：

把A(l,m)代入函數(shù)式y(tǒng)=2x中，求m=2,則A(l,2),再根據(jù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的符號(hào)規(guī)

律求A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).

解：(T,2)

例4、已知P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Pl的坐標(biāo)是(2,3),那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是()

A.(-3,-2)B.(2,-3)

C.(—2,—3)D.(—2,3)

分析：

由點(diǎn)P與Pl(2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故求P(2,—3),.?.點(diǎn)P(2,—3)關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)易求.解：選D.

例5、已知兩圓的圓心都在x軸上，A、B為兩圓的交點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,

-1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.(-1,1)D.無(wú)法求出

分析：由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

解：選A.

例6、下列各組的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)嗎？為什么？

(l)y=x和

(2)y=7tx2和S=7tr2(其中x>0,r>0)

(3)y=x+2和

分析：

判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)：①要判斷兩個(gè)函數(shù)的自變量取值范圍是否相

同；②要判斷自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律是否完全相同.

解：

(1)不是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊淖宰兞咳≈捣秶煌?，前者是全體實(shí)數(shù)，后者是

xr0的實(shí)數(shù)；

(2)是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊淖宰兞康娜≈捣秶嗤?，而且自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)

規(guī)律完全相同；

(3)不是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊淖宰兞咳≈捣秶煌罢呤侨w實(shí)數(shù)，后者是

x>—2.

例7、在函數(shù)中自變量x的取值范圍是.

分析：

求函數(shù)式中自變量的取值范圍的一般思路是：

①函數(shù)解析式中的分母不能為0；

②偶次根式的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；

③零指塞和負(fù)整指數(shù)事的底數(shù)不能為0.

此題中，自變量x應(yīng)滿(mǎn)足

解：瘡一1且xr2.

例8、等腰AABC周長(zhǎng)為10cm,底邊BC長(zhǎng)為ycm,腰長(zhǎng)AB為xcm.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求x的取值范圍；

(3)求y的取值范圍；

(4)畫(huà)出此函數(shù)的圖象.

分析：

要求y與x的函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是找出y與x之間的等量關(guān)系，確定x的取值范

圍應(yīng)從邊長(zhǎng)為正數(shù)和三角形三邊關(guān)系方面入手.

畫(huà)函數(shù)的圖象應(yīng)按列表、描點(diǎn)、連線的步驟進(jìn)行，同時(shí)應(yīng)注意自變量的取值范

圍對(duì)圖象的影響.解：

(〈;△ABC的周長(zhǎng)為10,；.2x+y=10,.*.y=10-2x.

(3)由解之得0<yV5.

(4)函數(shù)的圖象如圖所示.

點(diǎn)評(píng)：

條實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)標(biāo)明自變量的取值范圍，畫(huà)有自變量取值范圍的

函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心圓圈.

一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

(-)一次函數(shù)

1、一次函數(shù)的定義：形如尸kx+b(k,b為常數(shù)且k，0)的函數(shù)叫一次函數(shù).

2、正比例函數(shù)的定義：y=kx(kr0)叫正比例函數(shù).正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特

例.

3、一次函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過(guò)及(0,b)的一條直線.

4、一次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)y隨x的增大而增大.

當(dāng)kVO時(shí)y隨x的增大而減小.

1、反比例函數(shù)定義：形如

2、反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.叫做反比例函數(shù).自變量的取值范圍是xWO.

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

(1)當(dāng)k>0時(shí)，圖象的兩分支分別在第一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增

大而減小.

(2)當(dāng)k<0時(shí)，圖象的兩分支分別在第二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增

大而增大.

(三)基本規(guī)律

1、確定一次函數(shù)的解析式，通常采用待定系數(shù)法，由題目已知條件得到關(guān)于k,

b的二元一次方程組，再求出k,b.

1：y=k,與12；y=k22.

3、畫(huà)一次函數(shù)的圖象時(shí)通常只需描出圖象上任兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再過(guò)這兩點(diǎn)畫(huà)一

條直線，一般畫(huà)出直線產(chǎn)kx+b與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和(0,b),正比例函數(shù)圖象過(guò)

(0,0)和點(diǎn)(1,k).

4、反比例函數(shù)的圖象是斷開(kāi)的，產(chǎn)生的原因是自變量的取值范圍是x#)

,這兩條曲線可以無(wú)限地接近x軸、y軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸、y軸相交.雙

曲線是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的，也是軸對(duì)稱(chēng)的.

三角形的面積與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，是一個(gè)定值為

二、典型例題剖析

例1、(1)若函數(shù).這一結(jié)論常常用至U，應(yīng)特別記住.是一次函數(shù)，則m=.

(2)已知m是整數(shù)且一次函數(shù)y=(m+4)x+m+2的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則

點(diǎn)評(píng)：

(1)一次函數(shù)y=kx+b中*0這一條件不能忽視.

(2)直線y=kx+b不過(guò)第二象限的條件要特別注意，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)第一、三象限

是正比例函數(shù).

例2、已知y=yl+y2,yl與x—1成正比例，y2與x+1成反比例.當(dāng)x=0時(shí)

y=-5,當(dāng)x=2時(shí)y=l,那么當(dāng)y=-3時(shí)*=.

分析：

根據(jù)題意，分別設(shè)出yl與y2的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)y=yl+y2,把x、y代入求

出比例系數(shù)，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，再求x的值.

注：

這里必須注意，其中的兩個(gè)比例函數(shù)要用兩個(gè)不同字母kl,k2,千萬(wàn)不要用同

一個(gè)字母k,這是同學(xué)們易錯(cuò)的地方.

例3、已知一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1,1)和B(l,—5)求直線AB的解析式.

分析：

直線的解析式可設(shè)為y=kx+b,因?yàn)閗,b待定，由直線過(guò)A(—1,1)和B(l,

一5)可以確定.解：

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b(k/O)

?.?點(diǎn)A(—1,1)和B(l,一5)在直線y=kx+b上,

二直線AB的解析式為y=-3x—2

點(diǎn)評(píng)：

條函數(shù)的解析式可采用待定系數(shù)法，這樣把求函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解二元一次方

程組的問(wèn)題來(lái)解決，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式的一般步驟為：

(1)設(shè)函數(shù)的解析式為y=kx+b(k/O).

(2)將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得出方程組.

(3)求k,b的值，得函數(shù)的解析式.

例4、如圖，RQABO的頂點(diǎn)A是雙曲線與直線y=—x+(k+l)在第四象限的

交點(diǎn)，AB_Lx軸于B且.

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;

(2)求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)及AAOC的面積.

點(diǎn)評(píng):

與點(diǎn)A在雙曲線上位置無(wú)關(guān)，把AAOC分割為aCOE與AAOE,是因?yàn)檫@兩個(gè)

三角形的面積均可求，其OE邊上的高分別是C、A兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，應(yīng)注

意數(shù)形結(jié)合.

例5、如圖，已知直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于A和點(diǎn)B,另一直線

y=kx+b(k六))經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,0),且把ZkAOB分成兩部分.

(1)若AAOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值.

(2)若AAOB被分成的兩部分面積比為1：5,求k和b的值.

解：

(1)由直線產(chǎn)kx+b(k女))經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(l,0)且把AAOB分成面積相等的兩部分，則

該直線應(yīng)為aABO的中線BC所在的直線，由題意知B點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,2),

，y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,2),C(l,0),易求得k=—2,b=2.

(2)如果直線y=kx+b分AAOB兩部分的面積比為1：5,則有兩種情形:

①過(guò)點(diǎn)C作直線y=kx+b交y軸于點(diǎn)E(0,yO),

例6、已知關(guān)于x的函數(shù)y=k(x—l)和它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系的圖象大致是()

A.B.C.D.解：選B.

按比例系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論.當(dāng)k>0時(shí)雙曲線

一、三、四象限，故只有選B.在第二、四象限，而直線y=k(x—1)在第

例7、已知(一1,yl),(2,y2),(兀，y3)在反比例系數(shù)

A.yl>y2>y3B.yl>y3>y2

C.y3>yl>y2D.y2>y3>yl

解：選B.的圖象上，則下列結(jié)論正確的是()

無(wú)論k為何值，反比例系數(shù)一k2—lV0,所以雙曲線

當(dāng)xVO時(shí)y>0,當(dāng)x>0,y<0.

Ayl>y2,yl>y3.

又?：2<R,Ay3>y2.

.-.yl>y3>y2,選B.的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限.故

例8、已知反比例函數(shù)

的取值范圍是()

的圖象上兩點(diǎn)A(xl,yl),B(x2,y2),且當(dāng)xlV0Vx2時(shí)有ylVy2,則m

解：選C.由xlV0Vx2時(shí)有ylVy2知l—2m>0,

例9、某批發(fā)商欲將一批海產(chǎn)品由A地運(yùn)往B地，汽車(chē)貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公

司均開(kāi)辦海產(chǎn)品運(yùn)輸業(yè)務(wù)，已知運(yùn)輸路程為120千米，汽車(chē)和火車(chē)的速度分別為

60千米/時(shí)和100千米/時(shí)，兩貨運(yùn)公司的收費(fèi)項(xiàng)目及

注：“元/噸?千米”表示每噸貨物每千米運(yùn)費(fèi)；“元/噸?小時(shí)”表示每噸貨物每小時(shí)

冷藏費(fèi).

(1)設(shè)該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品有x(噸)，汽車(chē)貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司所要收取

的費(fèi)用分別為yl(元)和y2(元)，試求yl和y2與x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)若該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品不少于30噸，為節(jié)省運(yùn)費(fèi)，他應(yīng)選哪個(gè)貨運(yùn)公司

承擔(dān)運(yùn)輸業(yè)務(wù)？分析：這是一道圖表信息題，決策題型，讀懂題意，列出兩個(gè)

函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵.

解：(1)根據(jù)題意有

(2)當(dāng)yl=y2即222x+1600=250x+200,解得:x=50；

當(dāng)yl>y2即250x+200>222x+1600,解得：x>50；

當(dāng)ylVy2BP250x+200<222x+1600,解得xV50.

當(dāng)所運(yùn)產(chǎn)品剛好50噸時(shí)，選汽車(chē)公司或鐵路貨運(yùn)公司中的任意一家均可；當(dāng)

所運(yùn)產(chǎn)品不少于30噸且不足50噸時(shí)，選擇汽運(yùn)公司，當(dāng)所運(yùn)海產(chǎn)品多于50噸

時(shí)，應(yīng)選擇鐵路貨運(yùn)公司.

例10、十堰市廣電局與長(zhǎng)江證券公司聯(lián)合推出寬帶網(wǎng)業(yè)務(wù)，用戶(hù)通過(guò)寬帶網(wǎng)可

以享受新聞點(diǎn)播、點(diǎn)擊武當(dāng)、影視欣賞、股市大戶(hù)室等項(xiàng)服務(wù).其上網(wǎng)費(fèi)用的方

式有：方式一，每月80元包干；方式二，每月上網(wǎng)時(shí)間(x小時(shí))與上網(wǎng)費(fèi)(y元)

的函數(shù)關(guān)系如圖所示；方式三，以0小時(shí)為起點(diǎn)，每小時(shí)收費(fèi)1.6元，月收費(fèi)不

超過(guò)120元，若設(shè)一用戶(hù)每月上網(wǎng)x小時(shí)，月上網(wǎng)總費(fèi)用y元.

(1)根據(jù)圖象求出方式二中y與x的函數(shù)關(guān)系式(OWxglOO)；

(2)試寫(xiě)出方式三中，y與x的函數(shù)關(guān)系式(0SxS75)

(3)試問(wèn)此用戶(hù)每月上網(wǎng)60小時(shí)，選用哪種方式