專題37 等時(shí)圓模型理解及應(yīng)用 高一物理新教材物理40個(gè)經(jīng)典專題精講精練（人教版必修第一冊(cè)）（解析版）

專題37等時(shí)圓模型及應(yīng)用拓展1、等時(shí)圓規(guī)律（1）小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間相等。如圖1所示（2）小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相等。如圖2所示（3）沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（d）自由落體的時(shí)間，滿足：（R為圓的半徑）圖1圖22、規(guī)律的證明設(shè)有一條光滑弦與水平方向的夾角為α，圓的直徑為d，如下圖所示。根據(jù)物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a＝，位移為s＝，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0＝＝eq\r(\f(2dsinα,gsinα))＝eq\r(\f(2d,g))。即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。如果質(zhì)點(diǎn)不是從圓的最高點(diǎn)下滑或不是到達(dá)圓的最低點(diǎn)時(shí)，我們應(yīng)怎樣處理此類問題呢？圖3圖4[例題]如圖3所示，AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，O點(diǎn)為圓周的圓心，A點(diǎn)不是圓的最高點(diǎn)，每根桿上都套著一個(gè)光滑小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從A處從靜止開始釋放，用依次表示滑環(huán)到達(dá)B、C、D所用的時(shí)間，則三個(gè)時(shí)間的關(guān)系？解析：A不在圓的最高點(diǎn)，前面的結(jié)論直接用是不行的?？梢圆捎萌缦碌姆椒ń鉀Q：如圖4所示，過點(diǎn)A作豎直線交AB的垂直平分線于點(diǎn)O，以O(shè)1為圓心、O1A為半徑畫圓交AB于B、分別交AC、AD的延長(zhǎng)線于C1、D1。r.在圓ABC1D1中用前面的結(jié)論可知，所以t1>t2。不可以根據(jù)CC1<DD1，得到t2<t3，因?yàn)樾…h(huán)進(jìn)入虛線部分時(shí)初速度不一樣，以后運(yùn)動(dòng)的加速度也不一樣。要判定t2與t3的關(guān)系，可以模仿前面方法再次構(gòu)造新圓用結(jié)論可知t2>t3。一、單選題1.（2019·泉州第十六中學(xué)高三月考）如右圖所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于A點(diǎn).豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓環(huán)軌道的圓心.已知在同一時(shí)刻a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道AM、BM運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn).則（）A.a球最先到達(dá)M點(diǎn) B.b球最后到達(dá)M點(diǎn)C.c球最后到達(dá)M點(diǎn) D.b球和c球都可能最先到達(dá)M點(diǎn)【答案】B【解析】設(shè)圓軌道半徑為R，a小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度設(shè)為a1=gsin45°=，設(shè)時(shí)間為t1，由運(yùn)動(dòng)學(xué)分式可得聯(lián)立可得t1=同理可求得B的加速度大小，設(shè)滑到低端時(shí)間為t2，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得聯(lián)立可得:t2=C球做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得比較以上數(shù)據(jù)可知C最先落到M點(diǎn)，A次之，B最后落在M點(diǎn)。2.（2017·江西高安中學(xué)高三月考）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中A、C兩點(diǎn)處于同一個(gè)圓上，C是圓上任意一點(diǎn)，A、M分別為此圓與y、x軸的切點(diǎn)。B點(diǎn)在y軸上且∠BMO=60°，O′為圓心?，F(xiàn)將a、b、c三個(gè)小球分別從A、B、C點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，所用時(shí)間分別為tA、tB、tC，則tA、tB、tC大小關(guān)系是（）A.tB＞tC＞tAB.tB=tC＞tAC.tA=tB=tCD.tB＞tA=tC【答案】D【解析】設(shè)⊙O′的半徑為R，根據(jù)幾何知識(shí)可知：OA=OM=R由勾股定理得：即小球沿AM運(yùn)動(dòng)的位移為：由牛頓第二定律得：解得：由:得小球沿AM運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：根據(jù)幾何知識(shí)可知：即小球沿BM運(yùn)動(dòng)的位移為：由牛頓第二定律得：解得：小球沿BM運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：設(shè)CM與x軸正向的夾角為θ，由幾何關(guān)系可知：即小球沿CM運(yùn)動(dòng)的位移為：由牛頓第二定律得：解得：小球沿CM運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：則tA、tB、tC大小關(guān)系是：tB＞tA=tC，D正確，ABC錯(cuò)誤。3.（2018·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）如圖，光滑細(xì)桿BC、DC和AC構(gòu)成矩形ABCD的兩鄰邊和對(duì)角線，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC桿豎直，各桿上分別套有一質(zhì)點(diǎn)小球a、b、d，a、b、d三小球的質(zhì)量比為1∶2∶3，現(xiàn)讓三小球同時(shí)從各桿的頂點(diǎn)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，則a、b、d三小球在各桿上滑行的時(shí)間之比為（）A.1∶1∶1B.5∶4∶3C.5∶8∶9D.1∶2∶3【答案】A【解析】設(shè)AC=5L，BC=4L，DC=3L,a、b、d三小球在各桿上滑行的時(shí)間分別為t1、t由幾何知識(shí)得，BC的傾角為α=53°，DC的傾角為β=37°，如圖所示：a球?yàn)樽杂上逻^程，a1由5L=12g根據(jù)牛頓第二定律得：沿BC下滑的小球，加速度為a由位移時(shí)間公式得：4L=12a2沿DC下滑的小球，加速度為a由位移時(shí)間公式得：3L=12a3t32，得t4.（2019·普寧市第二中學(xué)高三月考）如圖所示，在傾角為=30o的斜面上方的A點(diǎn)處懸掛一光滑的木板AB，B端剛好在斜面上.木板與豎直方向AC所成角度為α，一小物塊自A端沿木板由靜止滑下，要使物塊滑到斜面的時(shí)間最短，則α角的大小為（）A.α=10oB.α=15oC.α=30oD.α=60o【答案】B【解析】如圖所示：在豎直線AC上取一點(diǎn)O，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫圓，使該圓過A點(diǎn)，且與斜面相切與D點(diǎn)，根據(jù)等時(shí)圓的結(jié)論可知：A點(diǎn)滑到圓上任一點(diǎn)的時(shí)間都相等，所以由A點(diǎn)滑到D點(diǎn)所用時(shí)間比由A到達(dá)斜面上其他各點(diǎn)時(shí)間都短，將木板下端B點(diǎn)與D點(diǎn)重合即可，而角COD為θ，所以，故選B。5.（2019·全國(guó)高一專題練習(xí)）如圖所示，Oa、Ob和ad是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點(diǎn)，a為最低點(diǎn)，O′為圓心.每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)，兩個(gè)滑環(huán)從O點(diǎn)無(wú)初速釋放，一個(gè)滑環(huán)從d點(diǎn)無(wú)初速釋放，用t1、t2、t3分別表示滑環(huán)沿Oa、Ob、ad到達(dá)a、b所用的時(shí)間，則下列關(guān)系不正確的是（）A.t1＝t2 B.t2＞t3C.t1＜t2 D.t1＝t3【答案】A【解析】設(shè)ob與豎直方向的夾角為θ，由幾何關(guān)系得oa與豎直方向的夾角為，環(huán)沿oa下滑時(shí)的加速度大小為，沿ob下滑時(shí)的加速度大小為a2=gcosθ，設(shè)ob長(zhǎng)為L(zhǎng)，由幾何關(guān)系得oa長(zhǎng)為，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有，，得，，由此得到t1＜t2；由于，同理可得到

，因此t1=t3，t2＞t3，故A錯(cuò)誤，B、C、D正確.本題選不正確的是，故選A.6.（2019·安徽高三）如圖所示，相同質(zhì)量的物塊從底邊長(zhǎng)相同、傾角不同的固定斜面最高處同時(shí)由靜止釋放且下滑到底端，下面說法正確的是（）A.若物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，傾角大的斜面上的物塊損失的機(jī)械能大B.若斜面光滑，兩物塊一定同時(shí)運(yùn)動(dòng)到斜面底端C.若斜面光滑，傾角大的斜面上的物塊一定后運(yùn)動(dòng)到斜面底端D.若物塊到達(dá)底面時(shí)的動(dòng)能相同，物塊與傾角大的斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)大【答案】D【解析】設(shè)斜面傾角為θ，底邊長(zhǎng)為s，則有：物體損失的機(jī)械能等于摩擦力所做的功，摩擦力做功W=μmgcosθ×scosθ=μmgs；損失的機(jī)械能與夾角無(wú)關(guān)；所以兩物體損失的機(jī)械能相同；故A錯(cuò)誤；若斜面光滑，則物體下滑的加速度a=gsinθ，根據(jù)scosθ=12at2可得t=4sgsin2θ可知，θ角不同，t不同，當(dāng)θ=457.（2019·河北辛集中學(xué)高三）如圖所示，斜面AD和BD與水平方向的夾角分別為60°和30°，兩斜面的A端和B端在同一豎直面上，現(xiàn)讓兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊分別從兩斜面的頂端同時(shí)由靜止下滑，結(jié)果兩物塊同時(shí)滑到斜面底端D，設(shè)兩物塊與AD、BD面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1和μ2，則μ1：μ2為（）A.1:3 B.3:1 C.:1 D.1:【答案】B【解析】設(shè)斜面底部長(zhǎng)為L(zhǎng)，AD與水平面的夾角為，BD與水平面的夾角為，物體在AD面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為物體在BD面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為物體在AD面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間物體在BD面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由題意可知聯(lián)立以上各式解得故選B.8.（2019·石家莊市復(fù)興中學(xué)高三專題練習(xí)）如圖所示，O點(diǎn)是豎直圓環(huán)的頂點(diǎn)，Oc是圓環(huán)直徑，Oa和Ob是兩條不同傾角的弦.在Oc、Oa、Ob線上置三個(gè)光滑的斜面，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從O自由釋放，先后分別沿Oc、Oa、Ob下滑，到達(dá)a、b、c三點(diǎn)的時(shí)間（）A.最短的是a點(diǎn)B.最短的是b點(diǎn)C.最長(zhǎng)的是c點(diǎn)D.時(shí)間都相同【答案】D【解析】設(shè)半徑為R，斜面與豎直方向夾角為θ，則物體運(yùn)動(dòng)的位移為x=2Rcosθ，物體運(yùn)動(dòng)的加速度a=F合m=mgcosθm=gcosθ，根據(jù)x=12at2，則t=4Rg，與θ9.（2020·河北衡水中學(xué)高三專題練習(xí)）如圖所示，AB和CD為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個(gè)端點(diǎn)均分別位于半徑為R和r的兩個(gè)相切的圓上，且斜槽都通過切點(diǎn)P.設(shè)有一重物先后沿兩個(gè)斜槽從靜止出發(fā)，由A滑到B和由C滑到D，所用的時(shí)間分別為t1和t2，則t1與t2之比為（）A.2∶1 B.1∶1C.∶1 D.1∶【答案】B【解析】對(duì)物體受力分析可知當(dāng)重物從點(diǎn)下落時(shí)，重物受重力，支持力，在沿斜面方向的加速度大小是，則有，解得，由于，根據(jù)公式可得；當(dāng)重物從點(diǎn)下滑時(shí)，在沿斜面方向的加速度大小是是，則有，解得，由于，根據(jù)公式可得，所以，故選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤。10.（2017·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校高二期末）傾角為30°的長(zhǎng)斜坡上有C、O、B三點(diǎn)，CO=OB=10m，在O點(diǎn)豎直的固定一長(zhǎng)10m的直桿AO。A端與C點(diǎn)、坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)），將兩球從A點(diǎn)由靜止開始、同時(shí)分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如右圖所示，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間tAC和tAB分別為（取g=10m/s2）（）A.2s和2sB.和2sC.和4sD.4s和【答案】A【解析】由幾何知識(shí)確定出AC與AB的傾角和位移，由牛頓第二定律求出兩球的加速度a，由位移公式求解時(shí)間.由幾何知識(shí)得，AC的傾角為，位移，AC的傾角為，位移，沿AC下滑的小球，加速度為，由得，沿AB下滑的小球，加速度為，由得，故A正確.11.（2019·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）如圖所示，一個(gè)固定在水平面上的光滑物塊，其左側(cè)面是斜面AB，右側(cè)面是曲面AC，已知AB和AC的長(zhǎng)度相同.兩個(gè)小球p、q同時(shí)從A點(diǎn)分別沿AB和AC由靜止開始下滑，比較它們到達(dá)水平面所用的時(shí)間（）A.p小球先到 B.q小球先到C.兩小球同時(shí)到 D.無(wú)法確定【答案】B【解析】由于物塊在斜面AB上是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度的大小不變，在曲面AC上的加速度是先大后小，它們的速度與時(shí)間圖像如圖所示，欲使兩線與時(shí)間軸所圍成的面積相等，曲面AC所對(duì)應(yīng)的時(shí)間要短一些，故B是正確的。12.（2017·山東高三）游樂場(chǎng)中，從離水面一定高度的A處到水面B處有兩條長(zhǎng)度相同的光滑軌道，如圖所示。甲、乙兩名小孩沿不同軌道同時(shí)從A處自由滑向B處，則兩名小孩在全部滑行過程中的速率v隨時(shí)間t變化的下列圖象，正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)牛頓第二定律可知甲的加速度逐漸減小，乙的加速度逐漸增加，而v-t圖線的斜率等于加速度；兩物體的位移相同，圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積相等，故選項(xiàng)B正確.13.（2020·河北匯文二中高一期末）如圖所示，有一內(nèi)壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內(nèi)，MN是通過橢圓中心O的水平線已知一小球從M點(diǎn)出發(fā)，以初速沿管道MPN運(yùn)動(dòng)，到N點(diǎn)的速率為，所需的時(shí)間為；若該小球仍由M點(diǎn)以相同初速出發(fā)，而沿管道MQN運(yùn)動(dòng)，到N點(diǎn)的速率為，所需時(shí)間為則（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】由于小球在運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速率相等，即有v1=v2.小球沿管道MPN運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知在運(yùn)動(dòng)過程中小球的速率小于初速率v0，而小球沿管道MQN運(yùn)動(dòng)，小球的速率大于初速率v0，所以小球沿管道MPN運(yùn)動(dòng)的平均速率小于沿管道MQN運(yùn)動(dòng)的平均速率，而兩個(gè)過程的路程相等，所以有t1＞t2.故A正確.二、多選題14.（2018·曲靖市第二中學(xué)高一期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長(zhǎng)，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出)，四個(gè)環(huán)分別從O點(diǎn)由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的時(shí)間依次為t1、t2、t3、t4.下列關(guān)系正確的是（）A.t1>t2 B.t1＝t3 C.t2＝t4 D.t2<t4【答案】ABD【解析】以O(shè)A為直徑畫圓若設(shè)桿與豎直方向的夾角為θ，對(duì)小滑環(huán)受力分析，由牛頓第二定律可得，解得，由幾何關(guān)系，小滑環(huán)沿弦下滑的位移；據(jù)，解得，即從圓上最高點(diǎn)沿任一條光滑弦滑到底所用的時(shí)間相同.則沿OA和OC滑到斜面的時(shí)間相同，；OB不是一條完整的弦，時(shí)間最短；OD的長(zhǎng)度超過一條弦，時(shí)間最長(zhǎng)；綜上.故ABD三項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤.15.（2017·浙江高三月考）如圖所示，圓柱形倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的木板ao、bo、co，其下端都固定于底部圓心o，上端擱在倉(cāng)庫(kù)