高考數學 1-2-1距離問題課后強化作業(yè) 新人教A版必修5

【成才之路】-學年高考數學1-2-1距離問題課后強化作業(yè)新人教A版必修5基礎鞏固一、選擇題1．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm[答案]B[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝eq\r(3)a(km)．2．一船向正北航行，看見正西方向有相距10nmlie的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是每小時()A．5nmlie B．5eq\r(3)nmlieC．10nmlie D．10eq\r(3)nmlie[答案]C[解析]如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴這艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(nmlie/h)．3．某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300m和500m，測得燈塔A在觀察站C北偏東30°，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔A、B間的距離為()A．500m B．600mC．700m D．800m[答案]C[解析]根據題意畫出圖形如圖．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝3002＋5002－2×300×500×(－eq\f(1,2))＝490000，∴AB＝700(m)．4．已知A、B兩地的距離為10km，B、C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A、C兩地的距離為()A．10km B.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km[答案]D[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，則由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－eq\f(1,2))＝700，∴AC＝10eq\r(7)，即A、C兩地的距離為10eq\r(7)km.5．要直接測量河岸之間的距離(河的兩岸可視為平行)，由于受地理條件和測量工具的限制，可采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選取A、B兩點，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m由此可得河寬為(精確到1m)()A．170m B．98mC．95m D．86m[答案]C[解析]在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，則∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝eq\f(120sin45°,sin60°)＝40eq\r(6).設△ABC中，AB邊上的高為h，則h即為河寬，∴h＝BC·sin∠CBA＝40eq\r(6)×sin75°≈95(m)6．某次測量中，A在B的北偏東55°，則B在A的()A．北偏西35° B．北偏東55°C．南偏西35° D．南偏西55°[答案]D[解析]根據題意和方向角的概念畫出草圖，如圖所示．α＝55°，則β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故應選D.二、填空題7．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上，15min后到點B處望見燈塔在船的北偏東65°方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是______km.(精確到0.1km)[答案]5.2[解析]作出示意圖如圖．由題意知，則AB＝24×eq\f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理eq\f(6,sin35°)＝eq\f(BS,sin30°)，可得BS≈5.2(km)．8．已知船在A處測得它的南偏東30°的海面上有一燈塔C，船以每小時30nmile的速度向東南方向航行半小時后到達B點，在B處看到燈塔在船的正西方向，問這時船和燈塔相距________nmile.[答案]eq\f(5\r(6)\r(3)－1,2)[解析]如圖，∠CAB＝45°－30°＝15°，∠ACB＝180°－60°＝120°，AB＝30×eq\f(1,2)＝15，∴BC＝eq\f(AB×sin∠CAB,sin∠ACB)＝eq\f(15×sin15°,sin120°)，∵sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，∴BC＝eq\f(5\r(6),2)(eq\r(3)－1)(nmile)．三、解答題9．如圖，為了測量河對岸A、B兩點間的距離，在河的這邊測得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B兩點間的距離．[解析]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，∴eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(DC,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)，∴AB＝eq\f(\r(6),4).∴A、B兩點間距離為eq\f(\r(6),4)km.能力提升一、選擇題1．某工程中要將一長為100m傾斜角為75°的斜坡，改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長()A．100eq\r(2)m B．100eq\r(3)mC．50(eq\r(2)＋eq\r(6))m D．200m[答案]A[解析]如圖，由條件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(eq\r(6)＋eq\r(2))，CD＝100cos75°＝25(eq\r(6)－eq\r(2))，BD＝eq\f(AD,tan30°)＝eq\f(25\r(6)＋\r(2),\f(\r(3),3))＝25(3eq\r(2)＋eq\r(6))．∴BC＝BD－CD＝25(3eq\r(2)＋eq\r(6))－25(eq\r(6)－eq\r(2))＝100eq\r(2)(m)．2．已知船A在燈塔C北偏東85°且到C的距離為2km，船B在燈塔C西偏北25°且到C的距離為eq\r(3)km，則A、B兩船的距離為()A．2eq\r(3)km B．3eq\r(2)kmC.eq\r(15)km D.eq\r(13)km[答案]D[解析]如圖可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC∴AB＝eq\r(13).3．如圖，從氣球A測得濟南全運會東荷、西柳個場館B、C的俯角分別為α、β，此時氣球的高度為h，則兩個場館B、C間的距離為()A.eq\f(hsinαsinβ,sinα－β) B.eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ)C.eq\f(hsinα,sinβsinα－β) D.eq\f(hsinβ,sinαsinα－β)[答案]B[解析]在Rt△ADC中，AC＝eq\f(h,sinβ)，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsinβ－α,sinα)＝eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ).4．若甲船在B島的正南方A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們的航行時間是()A.eq\f(150,7)min B.eq\f(15,7)hC．21.5min D．2.15h[答案]A[解析]當時間t<2.5h時，如圖．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.當t＝eq\f(20,2×28)＝eq\f(5,14)(h)，即eq\f(150,7)min時，CD2最小，即CD最小為eq\r(\f(675,7)).當t≥2.5h時，CF＝15×eq\f(\r(3),2)，CF2＝eq\f(675,4)>CD2，故距離最近時，t<2.5h，即t＝eq\f(150,7)min.二、填空題5．海上一觀測站測得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正東方有一艘海盜船正向它靠近，速度為每小時90nmile.此時海盜船距觀測站10eq\r(7)nmile,20min后測得海盜船距觀測站20nmlie，再過________min，海盜船到達商船．[答案]eq\f(40,3)[解析]如下圖，設開始時觀測站、商船、海盜船分別位于A、B、C處，20min后，海盜船到達D處，在△ADC中，AC＝10eq\r(7)，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD×CD)＝eq\f(400＋900－700,2×20×30)＝eq\f(1,2).∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，eq\f(20,90)×60＝eq\f(40,3)(min)．6.如圖，一艘船上午800在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午830到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距4eq\r(2)nmile，則此船的航行速度是________nmile/h.[答案]16[解析]在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，∴∠ASB＝45°，∵BS＝4eq\r(2)，eq\f(BS,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ASB)，∴AB＝eq\f(BS·sin∠ASB,sinA)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝8，∵上午800在A地，830在B地，∴航行0.5小時的路程為8nmile，∴此船的航速為16nmile/h.三、解答題7．如圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標出現(xiàn)于地面B處時測得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵陣地到目標的距離．(結果保留根號)[分析]由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB為直角．題中有多個三角形而抓住△ABD為Rt△作為突破口可簡化計算．[解析]在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝eq\f(CD·sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)CD.在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝eq\f(CD·sin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD，∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\f(\r(42),6)CD＝1000eq\r(42)(m)．8．海上某貨輪在A處看燈塔B，在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile；貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B的方位角為120°.求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離．[解析]由題意，畫出示意圖，如圖所示．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，則B＝45°.由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsin45°,sin60°)＝24(nmile)(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))