第三講機械能守恒定律(原卷版+解析)

第三講機械能守恒定律知識梳理一、重力勢能1．定義物體由于被舉高而具有的能量，叫作重力勢能。2．表達式Ep＝mgh，其中h是相對于參考平面（零勢能面）的高度。3．特點(1)系統(tǒng)性：重力勢能是地球與物體所組成的“系統(tǒng)”所共有的。(2)相對性：重力勢能的數(shù)值與所選參考平面有關(guān)，物體在參考平面上方，h>0，在參考平面下方，h<0．(3)標(biāo)量性：重力勢能是標(biāo)量，正負表示大小。4．重力做功與重力勢能變化的關(guān)系(1)重力做功不引起物體機械能的變化(2)重力對物體做正功，重力勢能減小，重力對物體做負功，重力勢能增大。(3)重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。(4)重力勢能的變化量是絕對的，與參考平面的選取無關(guān)。二、彈性勢能1．定義發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢能，這種勢能叫作彈性勢能。2．大?。簭椈傻膹椥詣菽芨鷱椈傻男巫兞考皠哦认禂?shù)有關(guān)，形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈性勢能就越大。3．彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢能減小；彈力做負功，彈性勢能增加，用公式表示：W＝－ΔEp。三、機械能守恒定律1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。2．常用的三種表達式(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時的總機械能。(2)轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp減。表示系統(tǒng)勢能的減少量等于動能的增加量。(3)轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減。表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時，A增加的機械能等于B減少的機械能。3．對機械能守恒定律的理解(1)只受重力或彈力作用，系統(tǒng)的機械能守恒。(2)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力不做功，只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒。(3)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力所做功的代數(shù)和為零，系統(tǒng)機械能守恒。(4)系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒有機械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化。知識訓(xùn)練考點一、機械能守恒的判斷1．機械能是否守恒的三種判斷方法

(1)利用機械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機械能守恒．

(2)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機械能守恒．

(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒有機械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機械能守恒．

例1、神舟號載人飛船在發(fā)射至返回的過程中，以下哪些階段中返回艙的機械能是守恒的()A．飛船升空的階段B．飛船在橢圓軌道上繞地球運行的階段C．返回艙在大氣層以外向著地球做無動力飛行的階段D．降落傘張開后，返回艙下降的階段例2、(多選)如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是()A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面上，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時，A加速下落、B加速上升過程中，A、B系統(tǒng)機械能守恒D．丁圖中，小球在豎直平面內(nèi)來回擺動(不計空氣阻力)，小球的機械能守恒例3、(多選)如圖所示，將一個內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內(nèi)，則下列說法正確的是()A．小球在半圓形槽內(nèi)運動的全過程中，只有重力對它做功B．小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒C．小球機械能守恒D．小球從下落到從右側(cè)離開半圓形槽的過程中，機械能守恒課堂隨練訓(xùn)練1、以下對機械能守恒的理解，正確的是()A．如果機械能只在系統(tǒng)內(nèi)部物體間轉(zhuǎn)移，則該系統(tǒng)機械能一定守恒B．如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機械能一定守恒C．如果物體受力平衡，則物體與地球組成的系統(tǒng)機械能一定守恒D．如果外力對一個系統(tǒng)所做的功為0，則該系統(tǒng)機械能一定守恒訓(xùn)練2、如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧一直保持豎直，空氣阻力不計，那么小球從接觸彈簧開始到將彈簧壓縮到最短的過程中，下列說法中正確的是()A．小球的動能一直減小B．小球的機械能守恒C．克服彈力做功大于重力做功D．最大彈性勢能等于小球減少的動能訓(xùn)練3、(多選)在如圖所示的物理過程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點擺動；乙圖中輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丙圖為物體A將彈簧壓縮的過程；丁圖為不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時，A加速下落，B加速上升的過程。關(guān)于這幾個物理過程(空氣阻力忽略不計)，下列判斷中正確的是()A．甲圖中小球機械能守恒B．乙圖中小球機械能守恒C．丙圖中物體A的機械能守恒D．丁圖中A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒訓(xùn)練4、如圖2所示，P、Q兩球質(zhì)量相等，開始兩球靜止，將P上方的細繩燒斷，在Q落地之前，下列說法正確的是(不計空氣阻力)()圖2A．在任一時刻，兩球動能相等B．在任一時刻，兩球加速度相等C．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動能與重力勢能之和保持不變D．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能是不變的考點二、單個物體的機械能守恒1．表達式

2．一般步驟

例1、(多選)如圖所示，兩個質(zhì)量相同的小球A、B，用細線懸掛在等高的O1、O2點，A球的懸線比B球的懸線長，把兩球的懸線均拉到水平位置后將小球無初速度釋放，則經(jīng)最低點時(以懸點所在的水平面為參考平面)()A．B球的動能大于A球的動能B．A球的動能大于B球的動能C．A球的機械能大于B球的機械能D．A球的機械能等于B球的機械能例2、如圖所示，運動員把質(zhì)量為m的足球從水平地面踢出，足球在空中達到的最大高度為h，在最高點時的速度為v，不計空氣阻力，重力加速度為g，則運動員踢球時對足球做的功為()A．eq\f(1,2)mv2 B．mghC．mgh＋eq\f(1,2)mv2 D．mgh＋mv2例3、(多選)(2021·湖南株洲市檢測)如圖甲所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一小球。小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動的過程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點的高度h的關(guān)系如圖乙所示。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()A．圓周半徑為1.0mB．小球質(zhì)量為0.5kgC．輕繩轉(zhuǎn)至水平時拉力為30ND．小球通過最高點的速度為4m/s例4、(2021·浙江1月選考·20改編)如圖所示，豎直平面內(nèi)由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細圓管軌道BCDE和eq\f(1,6)圓周細圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直．軌道出口處G和圓心O2的連線，以及O2、E、O1和B等四點連成的直線與水平線間的夾角均為θ＝30°，G點與豎直墻面的距離d＝eq\r(3)R.現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球從斜面的某高度h處靜止釋放．小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計小球大小和所受阻力．(1)若釋放處高度h＝h0，當(dāng)小球第一次運動到圓管最低點C時，求速度大小vC；(2)求小球在圓管內(nèi)與圓心O1點等高的D點所受彈力FN與h的關(guān)系式；(3)若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點，高度h應(yīng)該滿足什么條件？課堂隨練訓(xùn)練1、(單個物體的情形)(2021·海南高考)水上樂園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點，不計摩擦和空氣阻力。則人的落水點到滑梯末端的水平距離為()A．4.0m B．4.5mC．5.0m D．5.5m訓(xùn)練2、一根質(zhì)量為m、長為L的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖a所示。若將一個質(zhì)量也為m的小球分別拴在鏈條左端或右端，如圖b、圖c所示，約束鏈條的擋板光滑，三種情況下鏈條均由靜止釋放，當(dāng)整根鏈條剛離開桌面時，設(shè)它們的速度分別為va、vb、vc，則關(guān)于va、vb、vc的關(guān)系，下列判斷中正確的是()A．va＝vb＝vc B．va<vb<vcC．vc>va>vb D．va>vb>vc訓(xùn)練3、一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，如圖甲所示，曲線上A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側(cè)的兩點作一個圓，在極限情況下，這個圓叫作A點的曲率圓，其半徑叫作A點的曲率半徑?，F(xiàn)將一物體沿著與水平面成α角的方向以某一速度從地面拋出，如圖乙所示，其軌跡最高點P離地面的高度為h，曲率半徑為eq\f(h,2)，忽略空氣阻力，則tanα的值為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．2 D．4考點三、多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒的應(yīng)用

1．輕繩連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型提醒①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。②用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能則可能守恒。2．輕桿連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型特點①平動時兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動時兩物體角速度相等。②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。③對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機械能守恒。3．輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型模型特點由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能守恒。兩點提醒①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。例1、(2020·江蘇高考)如圖所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質(zhì)量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質(zhì)量為M的重物。重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉(zhuǎn)動。重物落地后鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角速度為ω。繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質(zhì)量，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：(1)重物落地后，小球線速度的大小v；(2)重物落地后一小球轉(zhuǎn)到水平位置A，此時該球受到桿的作用力的大小F；(3)重物下落的高度h。例2、(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上，A右端連接一細線，細線繞過光滑的定滑輪與物體B相連。開始時托住B，讓A處于靜止?fàn)顟B(tài)且細線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關(guān)該過程的分析正確的是()A．B受到細線的拉力保持不變B．A、B組成的系統(tǒng)機械能不守恒C．B機械能的減少量小于彈簧彈性勢能的增加量D．當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時，A的動能最大例3、質(zhì)量均為m的物體A和B分別系在一根不計質(zhì)量的細繩兩端，繩子跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開始時把物體B拉到斜面底端，這時物體A離地面的高度為0.8m，如圖所示．若摩擦力均不計，從靜止開始放手讓它們運動．(斜面足夠長，物體A著地后不反彈，g取10m/s2)求：(1)物體A著地時的速度大??；(2)物體A著地后物體B繼續(xù)沿斜面上滑的最大距離．例4、如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，由繩子通過定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上．開始時連接圓環(huán)的繩子水平，長度l＝4m．現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2.若圓環(huán)下降h＝3m時的速度v＝5m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為()A．eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B．eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C．eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D．eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)課堂隨練訓(xùn)練1、如圖所示，質(zhì)量不計的細直硬棒長為2L，其一端O點用鉸鏈與固定轉(zhuǎn)軸連接，在細棒的中點固定質(zhì)量為2m的小球甲，在細棒的另一端固定質(zhì)量為m的小球乙。將棒置于水平位置由靜止開始釋放，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內(nèi)做無阻力的轉(zhuǎn)動。則該系統(tǒng)在由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中()A．系統(tǒng)的機械能不守恒B．系統(tǒng)中細棒對乙球做正功C．甲、乙兩球所受的向心力不相等D．乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時的速度比甲球小訓(xùn)練2、(多選)如圖所示，一根不可伸長的輕繩跨過光滑且不計質(zhì)量的定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質(zhì)量為m，靜置于地面上；b球質(zhì)量為2m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好拉緊而沒有張力。小球由靜止釋放后，在小球b下落過程中，下列說法正確的是()A．小球a處于超重狀態(tài)，小球b處于失重狀態(tài)B．繩的拉力對a球做的功等于a球機械能的增量C．小球b落地瞬間的速度大小為eq\f(\r(6gh),2)D．小球b的加速度大小為eq\f(g,4)訓(xùn)練3、(多選)如圖所示，三個小球A、B、C的質(zhì)量均為m，A與B、C間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長為L，B、C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長?，F(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°。A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運動，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則此下降過程中，以下說法正確的是()A．A的動能最大時，B、C的動能均為零B．A的動能最大時，B受到地面的支持力等于eq\f(3,2)mgC．自靜止釋放到A的動能最大時，A球機械能減少量等于彈簧彈性勢能的增加量D．彈簧的彈性勢能最大值為eq\f(\r(3)－1,2)mgL訓(xùn)練4、如圖所示，長直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動小球B，使小球B在水平面上由靜止開始向右滑動，當(dāng)小球A沿墻下滑距離為eq\f(L,2)時，下列說法正確的是(不計一切摩擦，重力加速度為g)()A．桿對小球A做功為eq\f(1,4)mgLB．小球A、B的速度都為eq\f(1,2)eq\r(gL)C．小球A、B的速度分別為eq\f(1,2)eq\r(3gL)和eq\f(1,2)eq\r(gL)D．桿與小球A、B組成的系統(tǒng)機械能減少了eq\f(1,2)mgL訓(xùn)練5、(2016·全國卷Ⅱ)(多選)如圖，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連?，F(xiàn)將小球從M點由靜止釋放，它在下降的過程中經(jīng)過了N點。已知在M、N兩點處，彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)。在小球從M點運動到N點的過程中，()A．彈力對小球先做正功后做負功B．有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度C．彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零D．小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差同步訓(xùn)練1、如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上．現(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法中正確的是()A．斜劈對小球的彈力不做功B．斜劈與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒C．斜劈的機械能守恒D．小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量2、如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩個相同的中心有小孔的小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一細繩相連，細繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在運動過程中，下列說法中正確的是()A．M球的機械能守恒B．M球的機械能增大C．M和N組成的系統(tǒng)機械能守恒D．繩的拉力對N做負功3、如圖所示，粗細均勻、兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，管中液柱總長度為4h，開始時使兩邊液面高度差為h，后來讓液體自由流動，當(dāng)兩液面高度相等時，右側(cè)液面下降的速度為()A．eq\r(\f(1,8)gh) B．eq\r(\f(1,6)gh)C．eq\r(\f(1,4)gh) D．eq\r(\f(1,2)gh)4、如圖所示，將一質(zhì)量為m的小球從A點以初速度v斜向上拋出，小球先后經(jīng)過B、C兩點。已知B、C之間的豎直高度和C、A之間的豎直高度都為h，重力加速度為g，取A點所在的平面為參考平面，不考慮空氣阻力，則()A．小球在B點的機械能是在C點機械能的兩倍B．小球在B點的動能是在C點動能的兩倍C．小球在B點的動能為eq\f(1,2)mv2＋2mghD．小球在C點的動能為eq\f(1,2)mv2－mgh5、質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長為L，在離P球eq\f(1,3)處有一個光滑固定轉(zhuǎn)軸O，如圖所示．現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，Q球順時針擺動到最低位置，則(重力加速度為g)()A．小球P在最高位置的速度大小為eq\f(\r(gl),3)B．小球Q在最低位置的速度大小為eq\r(\f(2gl,3))C．小球P在此過程中機械能增加量為eq\f(4,9)mgLD．小球Q在此過程中機械能減少eq\f(2,3)mgl6、如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，小球可視為質(zhì)點，開始時a球處于圓弧上端A點，由靜止開始釋放小球和輕桿，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度為g，下列說法正確的是()A．a(chǎn)球下滑過程中機械能保持不變B．b球下滑過程中機械能保持不變C．a(chǎn)、b球都滑到水平軌道上時速度大小均為eq\r(2gR)D．從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對a球做的功為eq\f(1,2)mgR7、如圖所示，可視為質(zhì)點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面上時，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A．2R B．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)8、(2022·武漢東湖區(qū)聯(lián)考)如圖所示，有一條長為L＝1m的均勻金屬鏈條，有一半在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半豎直下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，則鏈條剛好全部滑出斜面時的速度為(g取10m/s2)()A．2.5m/s B．eq\f(5\r(2),2)m/sC．eq\r(5)m/s D．eq\f(\r(35),2)m/s9、(多選)如圖所示，質(zhì)量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)．圖中AO水平，BO間連線長度恰好與彈簧原長相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點，θ＝30°.現(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說法正確的有()A．下滑過程中小球的機械能守恒B．小球滑到B點時的加速度大小為eq\f(\r(3),2)gC．小球下滑到B點時速度最大D．小球下滑到C點時的速度大小為eq\r(2gl0)10、(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點)套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長且不可伸長的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m.與定滑輪等高的A點和定滑輪之間的距離為d＝3m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略．現(xiàn)將小環(huán)從A點由靜止釋放，小環(huán)運動到C點速度為0，重力加速度取g＝10m/s2，則下列說法正確的是(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．A、C間距離為4mB．小環(huán)最終靜止在C點C．小環(huán)下落過程中減少的重力勢能始終等于物塊增加的機械能D．當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時，小環(huán)與物塊的動能之比為2∶111、如圖，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動．不計摩擦，a、b可視為質(zhì)點，重力加速度大小為g，則()A．a(chǎn)落地前，輕桿對b一直做正功B．a(chǎn)落地時速度大小為eq\r(gh)C．a(chǎn)下落過程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg12、如圖所示，小球a被一根長為L的可繞O軸自由轉(zhuǎn)動的輕質(zhì)細桿固定在其端點，同時又通過繩跨過光滑定滑輪與另一個質(zhì)量為m的小球b相連，整個裝置平衡時桿和繩與豎直方向的夾角均為30°。若將小球a由水平位置(桿呈水平狀態(tài))開始釋放，不計摩擦，豎直繩足夠長(重力加速度為g)，求：(1)小球a的質(zhì)量；(2)當(dāng)桿轉(zhuǎn)動到豎直位置時，小球b的速度大小(結(jié)果可用根式表示)。13、如圖所示，傾角θ＝37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個輪半徑和質(zhì)量不計的光滑定滑輪D，質(zhì)量均為m＝1kg的物體A和B用一勁度系數(shù)k＝240N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住。用一不可伸長的輕繩使物體A跨過定滑輪與質(zhì)量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過豎直固定的光滑均勻細桿，當(dāng)整個系統(tǒng)靜止時，環(huán)C位于Q處，繩與細桿的夾角α＝53°，且物體B對擋板P的壓力恰好為零。圖中SD水平且長度為d＝0.2m，位置R與位置Q關(guān)于位置S對稱，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行?，F(xiàn)讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求：(1)小環(huán)C的質(zhì)量M；(2)小環(huán)C通過位置S時的動能Ek及環(huán)從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環(huán)做的功WT；(3)小環(huán)C運動到位置Q的速率v。第三講機械能守恒定律知識梳理一、重力勢能1．定義物體由于被舉高而具有的能量，叫作重力勢能。2．表達式Ep＝mgh，其中h是相對于參考平面（零勢能面）的高度。3．特點(1)系統(tǒng)性：重力勢能是地球與物體所組成的“系統(tǒng)”所共有的。(2)相對性：重力勢能的數(shù)值與所選參考平面有關(guān)，物體在參考平面上方，h>0，在參考平面下方，h<0．(3)標(biāo)量性：重力勢能是標(biāo)量，正負表示大小。4．重力做功與重力勢能變化的關(guān)系(1)重力做功不引起物體機械能的變化(2)重力對物體做正功，重力勢能減小，重力對物體做負功，重力勢能增大。(3)重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。(4)重力勢能的變化量是絕對的，與參考平面的選取無關(guān)。二、彈性勢能1．定義發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢能，這種勢能叫作彈性勢能。2．大小：彈簧的彈性勢能跟彈簧的形變量及勁度系數(shù)有關(guān)，形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈性勢能就越大。3．彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢能減??；彈力做負功，彈性勢能增加，用公式表示：W＝－ΔEp。三、機械能守恒定律1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。2．常用的三種表達式(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時的總機械能。(2)轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp減。表示系統(tǒng)勢能的減少量等于動能的增加量。(3)轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減。表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時，A增加的機械能等于B減少的機械能。3．對機械能守恒定律的理解(1)只受重力或彈力作用，系統(tǒng)的機械能守恒。(2)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力不做功，只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒。(3)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力所做功的代數(shù)和為零，系統(tǒng)機械能守恒。(4)系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒有機械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化。知識訓(xùn)練考點一、機械能守恒的判斷1．機械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用機械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機械能守恒．(2)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機械能守恒．(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒有機械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機械能守恒．例1、神舟號載人飛船在發(fā)射至返回的過程中，以下哪些階段中返回艙的機械能是守恒的()A．飛船升空的階段B．飛船在橢圓軌道上繞地球運行的階段C．返回艙在大氣層以外向著地球做無動力飛行的階段D．降落傘張開后，返回艙下降的階段【答案】BC【解析】飛船升空的階段，火箭加速上升，重力勢能和動能都增加，故機械能增加，A錯誤；飛船在橢圓軌道上繞地球運行的階段，只有引力做功，故機械能守恒，B正確；返回艙在大氣層以外向著地球做無動力飛行的階段，只有引力做功，故機械能守恒，C正確；降落傘張開后，返回艙下降的階段，由于克服阻力做功，故機械能減少，D錯誤。例2、(多選)如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是()A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面上，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時，A加速下落、B加速上升過程中，A、B系統(tǒng)機械能守恒D．丁圖中，小球在豎直平面內(nèi)來回擺動(不計空氣阻力)，小球的機械能守恒【答案】CD【解析】甲圖中物體A的重力和彈簧彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但物體A機械能不守恒，A錯誤；乙圖中物體B除受重力外，還受A的支持力，A的支持力對B做負功，B的機械能減小，B的機械能不守恒，但從能量轉(zhuǎn)化角度看，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，B錯誤；丙圖中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數(shù)和為零，A、B系統(tǒng)機械能守恒，C正確；丁圖中小球在豎直平面內(nèi)來回擺動過程中，只有重力做功，機械能守恒，D正確。例3、(多選)如圖所示，將一個內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內(nèi)，則下列說法正確的是()A．小球在半圓形槽內(nèi)運動的全過程中，只有重力對它做功B．小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒C．小球機械能守恒D．小球從下落到從右側(cè)離開半圓形槽的過程中，機械能守恒【答案】BC【解析】當(dāng)小球從半圓形槽的最低點運動到半圓形槽右側(cè)的過程中小球?qū)Π雸A形槽的力使半圓形槽向右運動，半圓形槽對小球的支持力對小球做負功，小球的機械能不守恒，A、D錯誤；小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，半圓形槽靜止，則只有重力做功，小球的機械能守恒，B正確；小球從A點經(jīng)最低點向右側(cè)最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統(tǒng)只有重力做功，機械能守恒，C正確．課堂隨練訓(xùn)練1、以下對機械能守恒的理解，正確的是()A．如果機械能只在系統(tǒng)內(nèi)部物體間轉(zhuǎn)移，則該系統(tǒng)機械能一定守恒B．如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機械能一定守恒C．如果物體受力平衡，則物體與地球組成的系統(tǒng)機械能一定守恒D．如果外力對一個系統(tǒng)所做的功為0，則該系統(tǒng)機械能一定守恒【答案】B【解析】如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化，不發(fā)生機械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機械能一定守恒，A錯誤，B正確；如果物體受力平衡，勻速上升，動能不變，但是重力勢能增大，機械能不守恒，C錯誤；如果外力對一個系統(tǒng)所做的功為0，說明是動能不變，但是機械能可能變化，比如物體勻速上升，動能不變，但是重力勢能增大，機械能不守恒，D錯誤。訓(xùn)練2、如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧一直保持豎直，空氣阻力不計，那么小球從接觸彈簧開始到將彈簧壓縮到最短的過程中，下列說法中正確的是()A．小球的動能一直減小B．小球的機械能守恒C．克服彈力做功大于重力做功D．最大彈性勢能等于小球減少的動能【答案】C【解析】小球開始下落時，只受重力作用做加速運動，當(dāng)與彈簧接觸時，受到彈簧彈力作用，開始時彈簧壓縮量小，因此重力大于彈力，速度增大，隨著彈簧壓縮量的增加，彈力增大，當(dāng)重力等于彈力時，速度最大，然后彈簧繼續(xù)被壓縮，彈力大于重力，小球開始做減速運動，所以整個過程中小球加速后減速，根據(jù)Ek＝eq\f(1,2)mv2，動能先增大然后減小，故A錯誤；在向下運動的過程中，小球受到的彈力對它做負功，小球的機械能不守恒，故B錯誤；在向下運動過程中，重力勢能減小，最終小球的速度為零，動能減小，彈簧的壓縮量增大，彈性勢能增大，根據(jù)能量守恒定律，最大彈性勢能等于小球減少的動能和減小的重力勢能之和，即克服彈力做功大于重力做功，故D錯誤，C正確．訓(xùn)練3、(多選)在如圖所示的物理過程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點擺動；乙圖中輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丙圖為物體A將彈簧壓縮的過程；丁圖為不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時，A加速下落，B加速上升的過程。關(guān)于這幾個物理過程(空氣阻力忽略不計)，下列判斷中正確的是()A．甲圖中小球機械能守恒B．乙圖中小球機械能守恒C．丙圖中物體A的機械能守恒D．丁圖中A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒【答案】AD【解析】甲圖過程中輕桿對小球不做功，小球的機械能守恒，故A正確；乙圖過程中小球在繩子繃緊的瞬間有動能損失，機械能不守恒，故B錯誤；丙圖中重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但物體A的機械能不守恒，故C錯誤；丁圖中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，故D正確。訓(xùn)練4、如圖2所示，P、Q兩球質(zhì)量相等，開始兩球靜止，將P上方的細繩燒斷，在Q落地之前，下列說法正確的是(不計空氣阻力)()圖2A．在任一時刻，兩球動能相等B．在任一時刻，兩球加速度相等C．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動能與重力勢能之和保持不變D．在任一時刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能是不變的【答案】D【解析】細繩燒斷后，由于彈簧處于伸長狀態(tài)，通過對P、Q兩球受力分析可知aP＞aQ，在任一時刻，兩球的動能不一定相等，選項A、B錯誤；系統(tǒng)內(nèi)有彈力做功，彈性勢能發(fā)生變化，系統(tǒng)的動能與重力勢能之和發(fā)生變化，選項C錯誤；Q落地前，兩球及彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧的彈力做功，整個系統(tǒng)的機械能守恒，選項D正確。考點二、單個物體的機械能守恒1．表達式2．一般步驟例1、(多選)如圖所示，兩個質(zhì)量相同的小球A、B，用細線懸掛在等高的O1、O2點，A球的懸線比B球的懸線長，把兩球的懸線均拉到水平位置后將小球無初速度釋放，則經(jīng)最低點時(以懸點所在的水平面為參考平面)()A．B球的動能大于A球的動能B．A球的動能大于B球的動能C．A球的機械能大于B球的機械能D．A球的機械能等于B球的機械能【答案】BD【解析】空氣阻力不計，小球下落過程中只有動能和重力勢能之間的轉(zhuǎn)化，機械能守恒，故C錯誤，D正確；到最低點時A球減少的重力勢能較多，增加的動能較多，故A錯誤，B正確。例2、如圖所示，運動員把質(zhì)量為m的足球從水平地面踢出，足球在空中達到的最大高度為h，在最高點時的速度為v，不計空氣阻力，重力加速度為g，則運動員踢球時對足球做的功為()A．eq\f(1,2)mv2 B．mghC．mgh＋eq\f(1,2)mv2 D．mgh＋mv2【答案】C【解析】足球被踢起后在運動過程中，只受到重力作用，只有重力做功，足球的機械能守恒，足球到達最高點時，其機械能為E＝mgh＋eq\f(1,2)mv2，由機械能守恒定律得，足球剛被踢起時的機械能為E＝mgh＋eq\f(1,2)mv2，足球獲得的機械能等于運動員踢球時對足球做的功，即W＝mgh＋eq\f(1,2)mv2，故A、B、D錯誤，C正確。例3、(多選)(2021·湖南株洲市檢測)如圖4甲所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一小球。小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動的過程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點的高度h的關(guān)系如圖乙所示。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()圖4A．圓周半徑為1.0mB．小球質(zhì)量為0.5kgC．輕繩轉(zhuǎn)至水平時拉力為30ND．小球通過最高點的速度為4m/s【答案】BD【解析】由圖可知，當(dāng)h＝0時，繩的拉力為F2＝41N，當(dāng)h＝1.0m時，繩的拉力為F1＝11N，可知小球做圓周運動的半徑R＝eq\f(1.0,2)m＝0.5m，故A錯誤；設(shè)小球運動到最高點時的速度為v1，最低點時的速度為v2，取最低點所在水平面為參考平面，由機械能守恒定律可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，在最高點和最低點，分別根據(jù)牛頓第二定律可知F1＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，F(xiàn)2－mg＝meq\f(veq\o\al(2,2),R)，解得m＝0.5kg，v1＝4m/s，故B、D正確；設(shè)輕繩轉(zhuǎn)至水平時小球的速度為v，從最高點到輕繩水平時，由機械能守恒定律可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mg·2R＝eq\f(1,2)mv2＋mgR，解得v＝eq\r(26)m/s，由牛頓第二定律可知，輕繩轉(zhuǎn)至水平時拉力為F＝meq\f(v2,R)＝26N，故C錯誤。例4、(2021·浙江1月選考·20改編)如圖所示，豎直平面內(nèi)由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細圓管軌道BCDE和eq\f(1,6)圓周細圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直．軌道出口處G和圓心O2的連線，以及O2、E、O1和B等四點連成的直線與水平線間的夾角均為θ＝30°，G點與豎直墻面的距離d＝eq\r(3)R.現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球從斜面的某高度h處靜止釋放．小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計小球大小和所受阻力．(1)若釋放處高度h＝h0，當(dāng)小球第一次運動到圓管最低點C時，求速度大小vC；(2)求小球在圓管內(nèi)與圓心O1點等高的D點所受彈力FN與h的關(guān)系式；(3)若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點，高度h應(yīng)該滿足什么條件？【答案】見解析【解析】(1)從A到C，小球的機械能守恒，有mgh0＝eq\f(1,2)mvC2可得vC＝eq\r(2gh0)(2)小球從A到D，由機械能守恒定律有mg(h－R)＝eq\f(1,2)mvD2根據(jù)牛頓第二定律有FN＝eq\f(mvD2,R)聯(lián)立可得FN＝2mg(eq\f(h,R)－1)滿足的條件h≥R(3)第1種情況：不滑離軌道原路返回，由機械能守恒定律可知，此時h需滿足的條件是h≤R＋3Rsinθ＝eq\f(5,2)R第2種情況：小球與墻面垂直碰撞后原路返回，小球與墻面碰撞后，進入G前做平拋運動，則vxt＝vxeq\f(vy,g)＝d，其中vx＝vGsinθ，vy＝vGcosθ故有vGsinθ·eq\f(vGcosθ,g)＝d可得vG＝2eq\r(gR)由機械能守恒定律有mg(h－eq\f(5,2)R)＝eq\f(1,2)mvG2可得h＝eq\f(9,2)R.課堂隨練訓(xùn)練1、(單個物體的情形)(2021·海南高考)水上樂園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點，不計摩擦和空氣阻力。則人的落水點到滑梯末端的水平距離為()A．4.0m B．4.5mC．5.0m D．5.5m【答案】A【解析】設(shè)人從滑梯頂端由靜止滑到滑梯末端的速度為v，根據(jù)機械能守恒定律可知mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝4eq\r(5)m/s，從滑梯末端水平飛出后做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2可知落水時間為t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×1.0,10))s＝eq\r(\f(1,5))s，水平方向做勻速直線運動，則人的落水點到滑梯末端的水平距離為x＝vt＝4eq\r(5)×eq\r(\f(1,5))m＝4.0m，故選A。訓(xùn)練2、一根質(zhì)量為m、長為L的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖a所示。若將一個質(zhì)量也為m的小球分別拴在鏈條左端或右端，如圖b、圖c所示，約束鏈條的擋板光滑，三種情況下鏈條均由靜止釋放，當(dāng)整根鏈條剛離開桌面時，設(shè)它們的速度分別為va、vb、vc，則關(guān)于va、vb、vc的關(guān)系，下列判斷中正確的是()A．va＝vb＝vc B．va<vb<vcC．vc>va>vb D．va>vb>vc【答案】C【解析】設(shè)桌面下方L處為零勢能面。鏈條由靜止釋放之后，到整根剛離開桌面，由于桌面無摩擦，對三種情況，則釋放前，系統(tǒng)的重力勢能為：圖a中，Ep1＝eq\f(1,2)mgL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＝eq\f(7,8)mgL，圖b中，Ep2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m＋m))gL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＝eq\f(15mgL,8)，圖c中，Ep3＝eq\f(1,2)mgL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＋mg·eq\f(L,2)＝eq\f(11,8)mgL。釋放后，整根鏈條剛離開桌面時，系統(tǒng)的重力勢能為：圖a中，Ep1′＝mgeq\f(L,2)，圖b中，Ep2′＝mgL＋mg·eq\f(L,2)＝eq\f(3,2)mgL，圖c中，Ep3′＝eq\f(1,2)mgL。則系統(tǒng)損失的重力勢能ΔEp1＝eq\f(3,8)mgL，ΔEp2＝eq\f(3,8)mgL，ΔEp3＝eq\f(7,8)mgL，而ΔEp1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，ΔEp2＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,b)，ΔEp3＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,c)，解得：veq\o\al(2,a)＝eq\f(3,4)gL，veq\o\al(2,b)＝eq\f(3,8)gL，veq\o\al(2,c)＝eq\f(7,8)gL，顯然veq\o\al(2,c)>veq\o\al(2,a)>veq\o\al(2,b)，所以vc>va>vb，故C正確。訓(xùn)練3、一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，如圖3甲所示，曲線上A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側(cè)的兩點作一個圓，在極限情況下，這個圓叫作A點的曲率圓，其半徑叫作A點的曲率半徑?，F(xiàn)將一物體沿著與水平面成α角的方向以某一速度從地面拋出，如圖乙所示，其軌跡最高點P離地面的高度為h，曲率半徑為eq\f(h,2)，忽略空氣阻力，則tanα的值為()圖3A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．2 D．4【答案】C【解析】在P點時，重力恰好作為向心力，滿足mg＝meq\f(veq\o\al(2,P),R)，又由題意可知R＝eq\f(h,2)，聯(lián)立可解得vP＝eq\r(\f(gh,2))，vP即為物體拋出時速度的水平分量，設(shè)物體拋出時速度的豎直分量為vy，拋出時的速度為v，由機械能守恒定律可得eq\f(1,2)mv2＝mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,P)，又v2＝veq\o\al(2,P)＋veq\o\al(2,y)，聯(lián)立可得vy＝eq\r(2gh)，物體拋出時速度v與水平面所成α角滿足tanα＝eq\f(vy,vP)，代入數(shù)據(jù)可得tanα＝2，C正確?？键c三、多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒的應(yīng)用1．輕繩連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型提醒①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。②用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能則可能守恒。2．輕桿連接的物體系統(tǒng)模型常見情景模型特點①平動時兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動時兩物體角速度相等。②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。③對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機械能守恒。3．輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型模型特點由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能守恒。兩點提醒①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。例1、(2020·江蘇高考)如圖所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質(zhì)量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質(zhì)量為M的重物。重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉(zhuǎn)動。重物落地后鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角速度為ω。繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質(zhì)量，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：(1)重物落地后，小球線速度的大小v；(2)重物落地后一小球轉(zhuǎn)到水平位置A，此時該球受到桿的作用力的大小F；(3)重物下落的高度h?！敬鸢浮?1)2Rω(2)meq\r(4R2ω4＋g2)(3)【解析】(1)由題意可知，重物落地后，鼓形輪轉(zhuǎn)動的角速度為ω，則根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系可知，小球線速度的大小v＝2Rω。(2)小球勻速轉(zhuǎn)動，合力提供向心力，對轉(zhuǎn)到水平位置A的小球分析受力，如圖所示，根據(jù)牛頓第二定律得＝meq\f(v2,2R)，解得F＝meq\r(4R2ω4＋g2)。(3)設(shè)重物落地時的速度為v1，重物下落過程中，對重物、鼓形輪和小球組成的系統(tǒng)，根據(jù)機械能守恒定律得Mgh＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)×4mv2重物落地時的速度等于鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動時邊緣的線速度，即v1＝Rω聯(lián)立解得h＝。例2、(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上，A右端連接一細線，細線繞過光滑的定滑輪與物體B相連。開始時托住B，讓A處于靜止?fàn)顟B(tài)且細線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關(guān)該過程的分析正確的是()A．B受到細線的拉力保持不變B．A、B組成的系統(tǒng)機械能不守恒C．B機械能的減少量小于彈簧彈性勢能的增加量D．當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時，A的動能最大【答案】BD【解析】對A有FT－kx＝mAa，對B有mBg－FT＝mBa，聯(lián)立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于彈簧的伸長量x逐漸變大，從開始到B速度達到最大的過程中，B的加速度逐漸減小，可知，此過程中細線的拉力逐漸增大，是變力，A錯誤；A、彈簧與B組成的系統(tǒng)機械能守恒，而A、B組成的系統(tǒng)機械能不守恒，B正確；B機械能的減少量等于A機械能的增加量與彈簧彈性勢能的增加量之和，故B機械能的減少量大于彈簧彈性勢能的增加量，C錯誤；當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時，B的速度最大，A的速度也達到最大，則動能最大，D正確。例3、質(zhì)量均為m的物體A和B分別系在一根不計質(zhì)量的細繩兩端，繩子跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開始時把物體B拉到斜面底端，這時物體A離地面的高度為0.8m，如圖所示．若摩擦力均不計，從靜止開始放手讓它們運動．(斜面足夠長，物體A著地后不反彈，g取10m/s2)求：(1)物體A著地時的速度大??；(2)物體A著地后物體B繼續(xù)沿斜面上滑的最大距離．【答案】(1)2m/s(2)0.4m【解析】(1)以地面為參考平面，A、B系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律有mgh＝mghsin30°＋eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2因為vA＝vB，所以vA＝vB＝2m/s.(2)A著地后，B機械能守恒，則B上升到最大高度過程中，有eq\f(1,2)mvB2＝mgΔssin30°解得Δs＝0.4m.例4、如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，由繩子通過定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上．開始時連接圓環(huán)的繩子水平，長度l＝4m．現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2.若圓環(huán)下降h＝3m時的速度v＝5m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為()A．eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B．eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C．eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D．eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)【答案】A【解析】圓環(huán)下降3m后的速度可以按如圖所示分解，故可得vA＝vcosθ＝eq\f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和繩子看成一個整體，整體只有重力做功，機械能守恒，當(dāng)圓環(huán)下降h＝3m時，根據(jù)機械能守恒定律可得mgh＝MghA＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)MvA2，其中hA＝eq\r(h2＋l2)－l，聯(lián)立可得eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)，故A正確．課堂隨練訓(xùn)練1、如圖所示，質(zhì)量不計的細直硬棒長為2L，其一端O點用鉸鏈與固定轉(zhuǎn)軸連接，在細棒的中點固定質(zhì)量為2m的小球甲，在細棒的另一端固定質(zhì)量為m的小球乙。將棒置于水平位置由靜止開始釋放，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內(nèi)做無阻力的轉(zhuǎn)動。則該系統(tǒng)在由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中()A．系統(tǒng)的機械能不守恒B．系統(tǒng)中細棒對乙球做正功C．甲、乙兩球所受的向心力不相等D．乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時的速度比甲球小【答案】B【解析】以系統(tǒng)為研究對象，由于只有重力做功，只有重力勢能和動能相互轉(zhuǎn)化，故系統(tǒng)的機械能守恒，故A錯誤；在轉(zhuǎn)動過程中，甲、乙兩球的角速度相同，設(shè)轉(zhuǎn)到豎直位置時，甲球的速度為v1，乙球的速度為v2，由v＝ωr，可得v2＝2v1，由系統(tǒng)的機械能守恒知系統(tǒng)減少的重力勢能等于增加的動能，可得2mgL＋mg×2L＝eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，聯(lián)立解得v1＝eq\r(\f(4,3)gL)，v2＝eq\r(\f(16,3)gL)，設(shè)細棒對乙球做的功為W，根據(jù)動能定理得W＋mg×2L＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－0，解得W＝eq\f(2,3)mgL，可見，系統(tǒng)中細棒對乙球做正功，故B正確；甲、乙兩球所受的向心力分別為F1＝2meq\f(v\o\al(2,1),L)，F(xiàn)2＝meq\f(v\o\al(2,2),2L)＝m＝2meq\f(v\o\al(2,1),L)，即F1＝F2，故C錯誤；由v2＝2v1知，乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時的速度比甲球大，故D錯誤。訓(xùn)練2、(多選)如圖所示，一根不可伸長的輕繩跨過光滑且不計質(zhì)量的定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質(zhì)量為m，靜置于地面上；b球質(zhì)量為2m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好拉緊而沒有張力。小球由靜止釋放后，在小球b下落過程中，下列說法正確的是()A．小球a處于超重狀態(tài)，小球b處于失重狀態(tài)B．繩的拉力對a球做的功等于a球機械能的增量C．小球b落地瞬間的速度大小為eq\f(\r(6gh),2)D．小球b的加速度大小為eq\f(g,4)【答案】AB【解析】小球由靜止釋放后，小球a向上做加速運動，處于超重狀態(tài)，小球b向下做加速運動，處于失重狀態(tài)，故A正確；根據(jù)功能關(guān)系可知，繩的拉力對a球做的功等于a球機械能的增量，故B正確；設(shè)小球b落地瞬間的速度大小為v，對a、b組成的系統(tǒng)，根據(jù)機械能守恒定律得：2mgh＝mgh＋eq\f(1,2)(2m＋m)v2，解得v＝eq\f(\r(6gh),3)，故C錯誤；a、b兩球加速度大小相等，設(shè)為a，根據(jù)牛頓第二定律，對a球：T－mg＝ma，對b球：2mg－T＝2ma，聯(lián)立解得a＝eq\f(g,3)，故D錯誤。訓(xùn)練3、(多選)如圖所示，三個小球A、B、C的質(zhì)量均為m，A與B、C間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長為L，B、C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長?，F(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°。A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運動，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則此下降過程中，以下說法正確的是()A．A的動能最大時，B、C的動能均為零B．A的動能最大時，B受到地面的支持力等于eq\f(3,2)mgC．自靜止釋放到A的動能最大時，A球機械能減少量等于彈簧彈性勢能的增加量D．彈簧的彈性勢能最大值為eq\f(\r(3)－1,2)mgL【答案】BD【解析】A的動能最大時，A的加速度為零，速度最大，方向向下，彈簧要繼續(xù)伸長，B、C的動能均不為零，故A錯誤；A的動能最大時，其加速度為零，設(shè)B和C受到地面的支持力大小均為F，此時整體在豎直方向受力平衡，可得2F＝3mg，所以F＝eq\f(3,2)mg，故B正確；當(dāng)A動能最大時，B、C的速度并不為零，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒可知，A球機械能的減少量大于彈簧彈性勢能的增加量，故C錯誤；A由靜止釋放下降到最低點下落的高度為：h＝Lsin60°－Lsin30°＝eq\f(\r(3)－1,2)L，根據(jù)功能關(guān)系可知，小球A的機械能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，即彈簧的彈性勢能最大值為：Ep＝mgh＝eq\f(\r(3)－1,2)mgL，故D正確。訓(xùn)練4、如圖所示，長直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動小球B，使小球B在水平面上由靜止開始向右滑動，當(dāng)小球A沿墻下滑距離為eq\f(L,2)時，下列說法正確的是(不計一切摩擦，重力加速度為g)()A．桿對小球A做功為eq\f(1,4)mgLB．小球A、B的速度都為eq\f(1,2)eq\r(gL)C．小球A、B的速度分別為eq\f(1,2)eq\r(3gL)和eq\f(1,2)eq\r(gL)D．桿與小球A、B組成的系統(tǒng)機械能減少了eq\f(1,2)mgL【答案】C【解析】對A、B組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律得mg·eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，又有vAcos60°＝vBcos30°，解得vA＝eq\f(1,2)eq\r(3gL)，vB＝eq\f(1,2)eq\r(gL)，選項C正確，B、D錯誤；對A，由動能定理得，mgeq\f(L,2)＋W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，解得桿對小球A做的功W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－mg·eq\f(L,2)＝－eq\f(1,8)mgL，選項A錯誤。訓(xùn)練5、(2016·全國卷Ⅱ)(多選)如圖，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連?，F(xiàn)將小球從M點由靜止釋放，它在下降的過程中經(jīng)過了N點。已知在M、N兩點處，彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)。在小球從M點運動到N點的過程中，()A．彈力對小球先做正功后做負功B．有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度C．彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零D．小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差【答案】BCD【解析】如圖所示，OP垂直于豎直桿，Q點與M點關(guān)于OP對稱，在小球從M點到Q點的過程中，彈簧彈力先做負功后做正功，故A錯誤；在P點彈簧長度最短，彈力方向與速度方向垂直，故此時彈力對小球做功的功率為零，即C正確；小球在P點時所受彈簧彈力垂直于豎直桿，豎直方向上只受重力，此時小球加速度為g，當(dāng)彈簧處于自由長度時，小球只受重力作用，此時小球的加速度也為g，故B正確；小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，小球在M點和N點時彈簧的彈性勢能相等，故小球從M到N重力勢能的減少量等于動能的增加量，而小球在M點的動能為零，故D正確。同步訓(xùn)練1、如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上．現(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法中正確的是()A．斜劈對小球的彈力不做功B．斜劈與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒C．斜劈的機械能守恒D．小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量【答案】B【解析】不計一切摩擦，小球下滑時，小球和斜劈組成的系統(tǒng)只有小球的重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，B正確；斜劈動能增加，重力勢能不變，故斜劈的機械能增加，C錯誤；由系統(tǒng)機械能守恒可知，小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量和小球動能的增加量之和，D錯誤；斜劈對小球的彈力與小球位移的夾角大于90°，故彈力做負功，A錯誤．2、如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩個相同的中心有小孔的小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一細繩相連，細繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在運動過程中，下列說法中正確的是()A．M球的機械能守恒B．M球的機械能增大C．M和N組成的系統(tǒng)機械能守恒D．繩的拉力對N做負功【答案】C【解析】細桿光滑，故M、N組成的系統(tǒng)機械能守恒，N的機械能增加，繩的拉力對N做正功、對M做負功，M的機械能減少，故C正確，A、B、D錯誤。3、如圖所示，粗細均勻、兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，管中液柱總長度為4h，開始時使兩邊液面高度差為h，后來讓液體自由流動，當(dāng)兩液面高度相等時，右側(cè)液面下降的速度為()A．eq\r(\f(1,8)gh) B．eq\r(\f(1,6)gh)C．eq\r(\f(1,4)gh) D．eq\r(\f(1,2)gh)【答案】A【解析】液柱移動時，除了重力做功以外，沒有其他力做功，故機械能守恒。此題等效為原右側(cè)eq\f(h,2)高的液柱移到左側(cè)(如圖所示)，其重心高度下降了eq\f(h,2)，減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為液柱整體的動能，設(shè)液體的總質(zhì)量為4m，則有eq\f(1,2)mg·eq\f(h,2)＝eq\f(1,2)(4m)v2，得v＝eq\r(\f(gh,8))，A正確。4、如圖所示，將一質(zhì)量為m的小球從A點以初速度v斜向上拋出，小球先后經(jīng)過B、C兩點。已知B、C之間的豎直高度和C、A之間的豎直高度都為h，重力加速度為g，取A點所在的平面為參考平面，不考慮空氣阻力，則()A．小球在B點的機械能是在C點機械能的兩倍B．小球在B點的動能是在C點動能的兩倍C．小球在B點的動能為eq\f(1,2)mv2＋2mghD．小球在C點的動能為eq\f(1,2)mv2－mgh【答案】D【解析】不計空氣阻力，小球在斜上拋運動過程中只受重力作用，運動過程中小球的機械能守恒，則小球在B點的機械能等于在C點的機械能，A錯誤；小球在B點的重力勢能大于在C點的重力勢能，根據(jù)機械能守恒定律知，小球在B點的動能小于在C點的動能，B錯誤；小球由A到B過程中，根據(jù)機械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝eq\f(1,2)mv2，解得小球在B點的動能為EkB＝eq\f(1,2)mv2－2mgh，C錯誤；小球由B到C過程中，根據(jù)機械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mgh＋EkC，解得小球在C點的動能為EkC＝EkB＋mgh＝eq\f(1,2)mv2－mgh，D正確。5、質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長為L，在離P球eq\f(1,3)處有一個光滑固定轉(zhuǎn)軸O，如圖所示．現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，Q球順時針擺動到最低位置，則(重力加速度為g)()A．小球P在最高位置的速度大小為eq\f(\r(gl),3)B．小球Q在最低位置的速度大小為eq\r(\f(2gl,3))C．小球P在此過程中機械能增加量為eq\f(4,9)mgLD．小球Q在此過程中機械能減少eq\f(2,3)mgl【答案】C【解析】Q球順時針擺動到最低位置時的速度為v1，此時P運動到最高點的速度為v2，整個系統(tǒng)機械能守恒，有2mg×eq\f(2,3)L－mg×eq\f(L,3)＝eq\f(1,2)×2mv12＋eq\f(1,2)mv22，又由于兩球都繞O點轉(zhuǎn)動，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝eq\f(2\r(2gL),3)，v2＝eq\f(\r(2gL),3)，A、B錯誤；在此過程中，小球P機械能增加量ΔE＝mg×eq\f(L,3)＋eq\f(1,2)mv22＝eq\f(4,9)mgL，由于整個系統(tǒng)機械能守恒，因此小球Q機械能減少量也為eq\f(4,9)mgL，C正確，D錯誤．6、如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，小球可視為質(zhì)點，開始時a球處于圓弧上端A點，由靜止開始釋放小球和輕桿，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度為g，下列說法正確的是()A．a(chǎn)球下滑過程中機械能保持不變B．b球下滑過程中機械能保持不變C．a(chǎn)、b球都滑到水平軌道上時速度大小均為eq\r(2gR)D．從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對a球做的功為eq\f(1,2)mgR【答案】D【解析】對于單個小球來說，桿的彈力做功，小球機械能不守恒，A、B錯誤；兩個小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒，故有mgR＋mg(2R)＝eq\f(1,2)·2mv2，解得v＝eq\r(3gR)，選項C錯誤；a球在滑落過程中，桿對小球做功，重力對小球做功，故根據(jù)動能定理可得W＋mgR＝eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立v＝eq\r(3gR)，解得W＝eq\f(1,2)mgR，故D正確．7、如圖所示，可視為質(zhì)點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面上時，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A．2R B．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)【答案】C【解析】設(shè)B球的質(zhì)量為m，則A球的質(zhì)量為2m，A球剛落地時，兩球速度大小都為v，根據(jù)機械能守恒定律得2mgR＝eq\f(1,2)×(2m＋m)v2＋mgR，B球繼續(xù)上升的過程由動能定理可得－mgh＝0－eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立解得h＝eq\f(R,3)，B球上升的最大高度為h＋R＝eq\f(4,3)R，故選C.8、(2022·武漢東湖區(qū)聯(lián)考)如圖所示，有一條長為L＝1m的均勻金屬鏈條，有一半在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半豎直下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，則鏈條剛好全部滑出斜面時的速度為(g取10m/s2)()A．2.5m/s B．eq\f(5\r(2),2)m/sC．eq\r(5)m/s D．eq\f(\r(35),2)m/s【答案】A【解析】設(shè)鏈條的質(zhì)量為2m，以開始時鏈條的最高點為零勢能面，鏈條的機械能為E＝－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)sin30°－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)＝－eq\f(3,8)mgL，鏈條全部滑出后，動能為Ek′＝eq\f(1,2)×2mv2，重力勢能為Ep′＝－2mg·eq\f(L,2)，由機械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－eq\f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5m/s，故A正確，B、C、D錯誤．9、(多選)如圖所示，質(zhì)量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)．圖中AO水平，BO間連線長度恰好與彈簧原長相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點，θ＝30°.現(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說法正確的有()A．下滑過程中小球的機械能守恒B．小球滑到B點時的加速度大小為eq\f(\r(3),2)gC．小球下滑到B點時速度最大D．小球下滑到C點時的速度大小為eq\r(2gl0)【答案】BD【解析】下滑過程中小球的機械能會與彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，因此小球的機