湖南省長郡中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

長郡中學(xué)2025屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試題卷共4頁.時(shí)量120分鐘，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由因式分解分別求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的運(yùn)算得出兩個(gè)集合的交集?！驹斀狻俊摺唷摺唷喙蔬x：A2.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間中線面關(guān)系以及線面平行的判定定理逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，由可得或，故A錯(cuò)誤；對于B，由可得或，故B錯(cuò)誤；對于C，由可得，故C正確；對于D，由可得相交或，故D錯(cuò)誤；故選：C3.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A.第673項(xiàng) B.第674項(xiàng)C.第675項(xiàng) D.第676項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式為，令，解得，此時(shí)，所以二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng).故選：D.4.銅鼓是流行于中國古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂器使用的.如圖，用青銅打造的實(shí)心銅鼓可看作由兩個(gè)具有公共底面的相同圓臺構(gòu)成，上下底面的半徑均為25cm，公共底面的半徑為15cm，銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為，現(xiàn)有青銅材料1000kg，則最多可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為（）（注：）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)圓臺的體積公式計(jì)算求解銅鼓的體積，然后根據(jù)材料體積求解即可.【詳解】依題意圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以銅鼓的體積，又，故可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為3.故選：C5.已知定義在上的函數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，令，可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，，可得結(jié)論.【詳解】由題意可得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又，故與2的大小關(guān)系不確定.故選：D.6.已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達(dá)定理求得，進(jìn)一步通過拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可求解，注意檢驗(yàn)等號成立的條件.【詳解】由題得的焦點(diǎn)為，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，與的方程聯(lián)立得，設(shè)Ax1,y1,Bx由拋物線定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，聯(lián)立拋物線與直線，化簡得，由得與相離.分別是過點(diǎn)向準(zhǔn)線、直線以及過點(diǎn)向直線引垂線的垂足，連接，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，所以到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線0的距離，即.故選：D.7.已知函數(shù)，對于任意的，，都恒成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）A.3 B.9 C.3或9 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性先確定周期的取值范圍，從而縮小的取值范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的對稱性可得符合的的取值為或9，分類討論驗(yàn)證單調(diào)性即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，因此．由知的圖象關(guān)于直線對稱，則①．由知圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則②．②①得，令，則，結(jié)合可得或9．當(dāng)時(shí)，代入①得，又，所以，此時(shí)，因?yàn)椋试谏蠁握{(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，代入①得，，又，所以，此時(shí)，因，故在上不是單調(diào)遞增的，所以不符合題意，應(yīng)舍去．綜上，值為3．故選：A.8.如圖，已知長方體中，，，為正方形的中心點(diǎn)，將長方體繞直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．若平面滿足直線與所成的角為，直線，則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與夾角的正弦值的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線與的夾角，可得繞直線旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，求直線與的夾角，結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，利用三角函數(shù)知識求解即可.【詳解】在長方體中，，則直線與的夾角等于直線與的夾角．長方體中，，，為正方形中心點(diǎn)，則，又，所以是等邊三角形，故直線與的夾角為．則繞直線旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，如圖所示，．因?yàn)橹本€與所成的角為，，所以直線與的夾角為．在平面中，作，，使得．結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，為，易知．設(shè)直線與的夾角為，則，故當(dāng)時(shí)最小，而，故直線與的夾角的正弦值的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題中在平面中，作，，使得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，為是關(guān)鍵.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立兩個(gè)小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同方向的研發(fā)，組偏向于智能自動(dòng)化方向，組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡單隨機(jī)抽樣的方法各抽取6臺進(jìn)行性能指標(biāo)測試（滿分：100分），測得組性能得分為：，組性能得分為：，則（）A.組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高B.組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)小C.組性能得分的極差比組性能得分的極差大D.組性能得分的第75百分位數(shù)比組性能得分的平均數(shù)大【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)計(jì)算公式分別計(jì)算兩個(gè)小組的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、第75百分位數(shù)，再對各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由題意可得組性能得分的平均數(shù)為，組性能得分的平均數(shù)為，所以組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高，A說法正確；組性能得分的中位數(shù)為，組性能得分的中位數(shù)為，所以組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)大，B說法錯(cuò)誤；組性能得分的極差為，組性能得分的極差為，所以組性能得分的極差比組性能得分的極差小，C說法錯(cuò)誤；組性能得分共個(gè)數(shù)據(jù)，，所以組性能得分的第75百分位數(shù)為，比組性能得分的平均數(shù)大，D說法正確；故選：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在一起的兩個(gè)部分長成一個(gè)完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個(gè)橢圓形截面，如圖所示，其中分別為兩個(gè)截面橢圓的長軸，且都位于圓柱的同一個(gè)軸截面上，是圓柱截面圓的一條直徑，設(shè)上?下兩個(gè)截面橢圓的離心率分別為，則能夠保證的的值可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，結(jié)合離心率公式可得，即可根據(jù)得，逐一代入即可求解.【詳解】設(shè)且，故故，故，由于，故，故，即，對于A，，滿足，故A正確，對于B，，，故B錯(cuò)誤，對于B，，，故C錯(cuò)誤，對于D，，，故D正確，故選：AD11.對于任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值可能為（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】BD【解析】【分析】由，可得，可得，故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的是否為最大值即可，利用函數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，為減函數(shù)可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，進(jìn)而再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可判斷CD．【詳解】由，可得，即，若，可得，符合題意，若，可得，不符合題意，若，可得，不符合題意，若，可得，不符合題意，綜上所述，，可得，故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的是否為最大值即可．對于A，B，由題知，而，，所以．（點(diǎn)撥：函數(shù)為減函數(shù)，為減函數(shù)），對于A，；對于B，，故A錯(cuò)誤，B正確．對于C，D，（將0.9轉(zhuǎn)化為，方便構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)椋詥握{(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，所以．（若找選項(xiàng)中的最大值，下面只需判斷與的大小即可），構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞減，又，所以，即，所以．綜上，．對于C，；對于D，，故C錯(cuò)誤，D正確．（提醒：本題要比較0.09與的大小關(guān)系的話可以利用作差法判斷，即，構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，因?yàn)椋?，即，所以）故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查定義新運(yùn)算類的題目，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值比較數(shù)的大小.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即可由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.【詳解】由于復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為，所以，故，故答案為：13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的數(shù)列an的通項(xiàng)公式______.①是常數(shù)，且；②；③an的前項(xiàng)和存在最小值.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的特征，不妨選擇等差數(shù)列，然后根據(jù)題目條件利用等差基本量的運(yùn)算求解通項(xiàng)公式，即得解.【詳解】由題意，不妨取數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，由②可知，則，又是常數(shù)，滿足①，由③an的前項(xiàng)和存在最小值，故等差數(shù)列an單調(diào)遞增，取，則，故，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，an的前項(xiàng)和取到最小值為，所以同時(shí)滿足條件①②③的數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式.故答案為：（答案不唯一）14.清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查理?卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有__________種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有__________種不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)的意義即可得到結(jié)果，結(jié)合卡特蘭數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】從左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需確定哪3步向上走即可，共有種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則由卡特蘭數(shù)可知共有種不同的走法，又到達(dá)右上角必須最后經(jīng)過，所以滿足題目條件的走法種數(shù)也是14.故答案為：35；14四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知M為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直x軸，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心為G.（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；（2）記（1）中的軌跡為曲線C，直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是的垂心，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)為的重心，得，代入，化簡即可求解.（2）根據(jù)垂心的概念求得，設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立韋達(dá)定理，利用得，將韋達(dá)定理代入化簡即可求解.【小問1詳解】設(shè)，則，因?yàn)榈闹匦?，故有：，解得，代入，化簡得，又，故，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】因?yàn)榈拇剐?，故有，又，所以，故設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得：，由得，設(shè)，則，由，得，所以，所以，所以，化簡得，解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.16.如圖，四邊形為圓臺的軸截面，，圓臺的母線與底面所成的角為45°，母線長為，是的中點(diǎn)．（1）已知圓內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面，作出點(diǎn)的軌跡（寫出解題過程）；（2）點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)（不同于，），，求平面與平面所成角的正弦值．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，過作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)，過作的平行線，交圓于，，即可求出結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，求出平面和平面，利用面面角的向量法，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】是的中點(diǎn)，．要滿足平面，需滿足，又平面，平面平面如圖，過作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)，過作的平行線，交圓于，，則線段即點(diǎn)的軌跡．【小問2詳解】易知可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，母線長為，母線與底面所成角為45°，，，，，取的位置如圖所示，連接，，，即，則，，，，，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，．設(shè)平面與平面所成的角為，則，．17.素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律，音樂教育是素質(zhì)教育的重要組成部分，對于陶冶學(xué)生的情操、增強(qiáng)學(xué)生的表現(xiàn)力和自信心、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)等有重要意義．為推進(jìn)音樂素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某校開設(shè)了一年的音樂素養(yǎng)選修課，包括一個(gè)聲樂班和一個(gè)器樂班，已知聲樂班的學(xué)生有24名，器樂班的學(xué)生有28名，課程結(jié)束后兩個(gè)班分別舉行音樂素養(yǎng)過關(guān)測試，且每人是否通過測試是相互獨(dú)立的．（1）聲樂班的學(xué)生全部進(jìn)行測試．若聲樂班每名學(xué)生通過測試的概率都為（），設(shè)聲樂班的學(xué)生中恰有3名通過測試的概率為，求的極大值點(diǎn)．（2）器樂班采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行測試．若器樂班的學(xué)生中有4人學(xué)習(xí)鋼琴，有8人學(xué)習(xí)小提琴，有16人學(xué)習(xí)電子琴，按學(xué)習(xí)的樂器利用分層隨機(jī)抽樣的方法從器樂班的學(xué)生中抽取7人，再從抽取的7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行測試，設(shè)抽到學(xué)習(xí)電子琴的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求出概率，再利用導(dǎo)數(shù)求極值；（2）先借助分層抽樣確定隨機(jī)變量的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.小問1詳解】24名學(xué)生中恰有3名通過測試的概率，則，，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故的極大值點(diǎn)．【小問2詳解】利用分層隨機(jī)抽樣的方法從28名學(xué)生中抽取7名，則7名學(xué)生中學(xué)習(xí)鋼琴的有1名，學(xué)習(xí)小提琴的有2名，學(xué)習(xí)電子琴的有4名，所以的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則隨機(jī)變量的分布列為0123．18.已知數(shù)列an為等比數(shù)列，bn為等差數(shù)列，且，，.（1）求an，b（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，集合共有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若