經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第7講2.1導(dǎo)數(shù)的概念

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第7講顧靜相2.1

導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)要求理解導(dǎo)數(shù)的概念；

了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)概念

定義2.1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在

x0

點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)

x0處取得增量

x(0)時(shí)，函數(shù)

f(x)取得相應(yīng)的增量

y=f(x0+

x)-f(x0)．如果當(dāng)

x0時(shí)，存在，那么稱此極限值為函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x0)，或

，或

，或,導(dǎo)數(shù)概念如果當(dāng)

x0時(shí)，存在，則稱此極限值為函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x0)，或

，或

，或,并稱函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0

可導(dǎo)；如果

不存在，則稱函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0

不可導(dǎo)．導(dǎo)數(shù)概念

定義2.2

若函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)．導(dǎo)數(shù)概念

定義2.2

若函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)．若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個(gè)x值，都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值f

(x)與之對(duì)應(yīng)，所以

f

(x)也是

x的函數(shù)，叫做

f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．記作

f

(x)，或

y

，或

，或

．導(dǎo)數(shù)概念

顯然，f(x)的導(dǎo)數(shù)

f

(x)在點(diǎn)x=x0

處的函數(shù)值就是f(x)在點(diǎn)

x0處導(dǎo)數(shù)

f

(x0)．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)

f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟如下：

1．寫出函數(shù)的增量

y=f(x

+

x)-f(x)；

2．計(jì)算比值

；

3．求極限

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)1.常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=c(c為常數(shù))，由于無(wú)論

x取何值，

y=c恒成立．總有

y=c-c

=0，于是，所以

．即常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=xn

(n為正整數(shù))，

y=(x+

x)n-

xn，由二項(xiàng)式定理可得，于是

，用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=xn

(n為正整數(shù))，

y=(x+

x)n-

xn，……于是，所以

=nxn-1．即(xn

)=nxn-1．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)于一般的冪函數(shù)

y=x

(

為實(shí)數(shù))，上面的導(dǎo)數(shù)公式也成立，即(x

)=

x

-1．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例1設(shè)

y=x10，

，

，求

y

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例1設(shè)

y=x10，

，

，求

y

．解

y

=(x10)

=10x9

；；

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=sinx，則

y=sin(x+

x)

-sin

x=，于是

，所以=cosx．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=sinx，則

……所以=cosx．即(sinx)=cosx．類似地可以得到：(cosx)=-sinx．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=loga

x(x>0,a>0,a

0)，則

y=loga(x+

x)

-loga

x=，于是

，用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=loga

x(x>0,a>0,a

0)，則

……所以

，即

．

用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

特別地，當(dāng)a=e時(shí)，因?yàn)閘ne

=1，所以有

．

用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例2設(shè)

y=log2x

，求

y

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例2設(shè)

y=log2x

，求

y

．解因?yàn)?/p>

a=2，由公式可得

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)5.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=ax(a>0,a1)，則

y=ax+x

-ax=ax

(a

x

-1)，于是，所以

．令a

x

-

1=t，那么

x=loga(1+t)，用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)5.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=ax(a>0,a1)，則

……令a

x-

1=t，那么

x=loga(1+t)，且當(dāng)

x0時(shí)，

t0，故，即(ax)=axlna．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)

特別地，當(dāng)

a=e時(shí)，因?yàn)閘ne=1，有(e

x)=

ex．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例3設(shè)

y1=10

x

，

，求

y1

，y2

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例3設(shè)

y1=10

x

，

，求

y1

，y2

．解

在

y1中，因?yàn)?/p>

a=10，由公式得

；而，，由公式得

．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

設(shè)函數(shù)

y=f(x)的圖像如下圖所示，在其上任取兩點(diǎn)

M0(x0，y0)和

M(x0+

x，y0+

y)(

x

0)作割線

M0M，設(shè)其傾角為

，則割線的斜率為

．

當(dāng)點(diǎn)

M沿曲線

y=f(x)趨近于點(diǎn)

M0時(shí)，割線

M0M

趨于極限位置M0T，M0T就是曲線在點(diǎn)

M0

處的切線．

．導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)M0T的傾角為

，當(dāng)

x0時(shí)，點(diǎn)

M

M0，割線M0M

M0T，傾角

，于是

．這說(shuō)明，函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0處的導(dǎo)數(shù)

f

(x0)，就是曲線

y=f(x)在點(diǎn)

M0(x0，y0)處的切線

M0T的斜率

k

=tan=

f

(x0)．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，很容易得到曲線

y=f(x)在點(diǎn)

M0(x0，y0)處的切線方程為

．導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4求曲線

在點(diǎn)(1,1)處的切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4求曲線

在點(diǎn)(1,1)處的切線方程．解

因?yàn)?/p>