經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 第9講2.3高階導(dǎo)數(shù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第9講顧靜相2.3高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)要求

了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法．高階導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)f

(x)仍是x的函數(shù)，且

f

(x)在點(diǎn)x處對(duì)x的導(dǎo)數(shù)存在，則稱導(dǎo)函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x)，或y

(x)，或，或．高階導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)f

(x)仍是x的函數(shù)，且

f

(x)在點(diǎn)x處對(duì)x的導(dǎo)數(shù)存在，則稱導(dǎo)函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x)，或y

(x)，或，或．

類似地，二階導(dǎo)數(shù)

f

(x)的導(dǎo)數(shù)稱為

f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作

，…，(n

1)階導(dǎo)數(shù)

f(n

1)(x)的導(dǎo)數(shù)稱為

f(x)的

n階導(dǎo)數(shù)，記作

f

(n)(x)，或y(n)(x)，或，或．高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處具有

n階導(dǎo)數(shù)，也稱

n階可導(dǎo)．二階及二階以上各階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)．四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)記作

f

(n)(x)(n≥4)．高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處具有

n階導(dǎo)數(shù)，也稱

n階可導(dǎo)．二階及二階以上各階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)．四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)記作

f

(n)(x)(n≥4)．

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的各階導(dǎo)數(shù)就是其各階導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)

x0處的函數(shù)值，即

．高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處具有

n階導(dǎo)數(shù)，也稱

n階可導(dǎo)．二階及二階以上各階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)．四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)記作

f

(n)(x)(n≥4)．

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的各階導(dǎo)數(shù)就是其各階導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)

x0處的函數(shù)值，即

．

求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，就是利用

2.2節(jié)中的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，對(duì)函數(shù)一次一次地連續(xù)求導(dǎo)．高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，，所以．導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．證

因?yàn)?/p>

y

(x)

=exsinx+excosx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．證

因?yàn)?/p>

y

(x)

=exsinx+excosx，y

(x)=exsinx+excosx+excosx

exsinx

=2excosx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．證

因?yàn)?/p>

y

(x)

=exsinx+excosx，y

(x)=exsinx+excosx+excosx

exsinx

=2excosx，所以y

(x)2y

(x)

+2y

=2excosx2(exsinx+excosx)+2exsinx

=0．導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因?yàn)椋?/p>

，

，

高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因?yàn)椋?/p>

，

，

，…，

高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因?yàn)椋?/p>

，

，

，…，

所以．高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．解由原方程得，高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．解由原方程得，對(duì)方程兩端同時(shí)關(guān)于

x求導(dǎo)，得

高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．解由原方程得，即

對(duì)方程兩端同時(shí)關(guān)于

x求導(dǎo)，得

高階導(dǎo)數(shù)即

于是（7.1）

高階導(dǎo)數(shù)即

于是