經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 第20講5.1定積分的概念

經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第20講顧靜相5.1定積分的概念教學(xué)要求

理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)．定積分的概念教材中用幾何與經(jīng)濟兩個實際背景完全不同的例子引入了定積分概念，大家一定要認真閱讀，了解定積分所要解決的實際問題．

定積分定義

定義5.1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上定義．用點a=x0<x1<x2<…<xn=b將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間:

[x0,x1]，[x1,x2]，…，[xn-1,xn]，記

xi

=xi-xi-1(i=1,2,…,n)．在每個小區(qū)間[xi－1,xi]上任取

i(xi-1

i

xi)，作和式稱為積分和．定積分定義作和式稱為積分和．當(dāng)n無限增大，且

x()

0時，如果Sn的極限存在，且極限值與區(qū)間[a,b]的劃分方法及點

i的取法無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作

，即

，定積分定義即，其中f(x)稱為被積函數(shù)，[a,b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限，x稱為積分變量，f(x)dx稱為被積表達式．定積分的概念對于定積分的概念，應(yīng)注意以下幾點：

1．函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分是積分和的極限，如果這一極限存在，則它是一個確定的常量．它只與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量使用的字母的選取無關(guān)．即

．

定積分的概念2．在定積分定義中假設(shè)a<b，但如果b<a，我們規(guī)定：

，即互換定積分的上、下限，定積分要變號．

如果a=b，則

.定積分的概念

3．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上有界，即函數(shù)f(x)有界是其可積的必要條件．這一結(jié)論也可敘述為：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上無界，則f(x)在[a,b]上不可積．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

常數(shù)因子可以提到積分號前面，即

(k為常數(shù))．定積分的性質(zhì)性質(zhì)2

兩個函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們分別積分的代數(shù)和，即．此條性質(zhì)可以推廣到有限個函數(shù)的情形．性質(zhì)1

常數(shù)因子可以提到積分號前面，即

(k為常數(shù))．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

兩個函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們分別積分的代數(shù)和，即．此條性質(zhì)可以推廣到有限個函數(shù)的情形．性質(zhì)2

常數(shù)因子可以提到積分號前面，即

(k為常數(shù))．性質(zhì)3(積分的區(qū)間可加性)如果c是任意一點，有．定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：f(x)

g(x)，那么．定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：f(x)

g(x)，那么．性質(zhì)5

如果函數(shù)f(x)=1，那么

．定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：f(x)

g(x)，那么．性質(zhì)5

如果函數(shù)f(x)=1，那么

．性質(zhì)6(估值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值分別為M，m，那么．定積分的性質(zhì)性質(zhì)7(積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么在[a,b]上至少存在一點

，使得

，

(a,b)．定積分的性質(zhì)幾何意義：由曲線y=f(x)，x軸和直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形面積等于區(qū)間[a,b]上某個矩形的面積，這個矩形的