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文檔簡(jiǎn)介

第五章定積分第二節(jié)微積分基本公式從定積分的定義可以看出，直接用定義計(jì)算定積分的值,盡管被積函數(shù)很簡(jiǎn)單,也是一件十分困難的事,有些定積分幾乎不可能用定義來(lái)計(jì)算,所以,需要找到簡(jiǎn)便而有效的計(jì)算方法。17世紀(jì)60～70年代,牛頓與萊布尼茨他們各自獨(dú)立地將定積分計(jì)算問(wèn)題與原函數(shù)聯(lián)系起來(lái),從而使定積分的計(jì)算變得簡(jiǎn)捷、方便,也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,這就是牛頓—萊布尼茨公式或稱微積分基本公式。xybaxOy=f(x)Φ(x)Φ(x)

一、變上限積分

將其稱為變上限積分或積分上限函數(shù)。

證明：

由積分中值定理得

變限積分求導(dǎo)公式

例1

例2

例3

例4

洛必達(dá)法則例5解

這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.引例：在變速直線運(yùn)動(dòng)中，已知位置函數(shù)s(t)與速度函數(shù)v(t)之間有關(guān)系

這里s(t)是v(t)的原函數(shù)二、牛頓–萊布尼茲公式去掉問(wèn)題的實(shí)際意義，上式表明，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在積分上限的函數(shù)值與積分下限函數(shù)值的差（即被積函數(shù)的原函數(shù)的增量）牛頓–萊布尼茲公式

定理2

稱此公式為牛頓—萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式。這個(gè)公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，同時(shí)為我們計(jì)算定積分提供了一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的方法。

證:

記作

公式的核心思想：如果能夠找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，則定積分的值即為原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量。

例6

求下列定積分.

解

說(shuō)明：若被積函數(shù)是分段函數(shù)，當(dāng)分段點(diǎn)在積分區(qū)間內(nèi)時(shí)，計(jì)算定積分要用定積分對(duì)區(qū)間的可加性將定積分拆開(kāi)。

解:

例8

下列做法是否

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