數(shù)學(xué)八年級蘇科版（上冊）第6章一次函數(shù)同步輔導(dǎo)

專題講座一次函數(shù)定位儀一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖像是一條直線，這條直線在坐標(biāo)系中的大致圖像可由k，b的正負(fù)來決定.一、k的值決定了直線y=kx+b的走勢當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，圖像自左向右呈上升趨勢；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，圖像自左向右呈下降趨勢.例1已知一次函數(shù)y=ax+b的圖像如圖所示，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)＜-1C．a(chǎn)＞-1D．a(chǎn)＜0解析：由圖像可知，直線自左向右呈上升趨勢，即y隨x的增大而增大，所以a＞0.故選A.二、b的值決定了直線y=kx+b與y軸交點(diǎn)的位置當(dāng)b＞0時(shí)，圖像與y軸交于正半軸；當(dāng)b=0時(shí)，圖像過原點(diǎn)；當(dāng)b＜0時(shí)，圖像與y軸交于負(fù)半軸.例2已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸的正半軸相交，且函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則k，b的取值情況為（）A．k＜0，b＜0B．k＜0，b＞0C．k＞0，b＞0D．k＞0，b＜0解析：因?yàn)楹瘮?shù)值y隨x的增大而增大，所以k＞0；因?yàn)閳D像與x軸的正半軸相交，所以圖像與y軸的負(fù)半軸相交，所以b＜0．故選D.三、k，b的值共同決定了直線y=kx+b經(jīng)過的象限根據(jù)k，b的符號(hào)，一次函數(shù)y=kx+b的圖像所經(jīng)過的象限可歸納如下：kb直線經(jīng)過的象限k＞0b＞0一、二、三b=0一、三b＜0一、三、四k＜0b＞0一、二、四b=0二、四b＜0二、三、四例3（2016年天津）若一次函數(shù)（b為常數(shù)）的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，則b的值可以是________（寫出一個(gè)即可）．解析：根據(jù)上面表格可直接得出b＜0.所以任意選一個(gè)負(fù)數(shù)即可，如-1.也可以先畫出草圖，再根據(jù)直線與y軸負(fù)半軸相交得到b＜0.兩個(gè)一次相連數(shù)形結(jié)合破解一、二元一次方程與一次函數(shù)若k，b表示常數(shù)，且k≠0，則y－kx＝b為二元一次方程，有無數(shù)個(gè)解.將其變形可得y＝kx＋b，將x，y看做自變量、因變量，則y＝kx＋b是一次函數(shù).事實(shí)上，以方程y－kx＝b的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖像就是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像，它是一條直線.例1二元一次方程3x-y=5有個(gè)解，以它的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上.分析：二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)，并且它的解所對應(yīng)的坐標(biāo)的點(diǎn)都在二元一次方程變形后的函數(shù)圖像上.解：無數(shù)y=3x-5二、二元一次方程組與一次函數(shù)二元一次方程組的解，可以看成是一次函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)；反之，兩個(gè)一次函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，也可以看成是這兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式組成的二元一次方程組的解.例2函數(shù)y=2x與y=x+1的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為．分析：方程組eq\b\lc\{(\a\al(y＝2x,y＝x＋1))的解即為兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．解：解方程組eq\b\lc\{(\a\al(y＝2x,y＝x＋1))得，因此函數(shù)y=2x與y=x+1的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)．學(xué)習(xí)方法報(bào)社全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源專題講座確定表達(dá)式演播廳一、根據(jù)實(shí)際問題確定表達(dá)式例1甲、乙兩家體育用品商店出售同樣的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定價(jià)30元，乒乓球每盒定價(jià)5元.現(xiàn)兩家商店搞促銷活動(dòng)，甲店：每買一副球拍贈(zèng)一盒乒乓球；乙店：按定價(jià)的9折優(yōu)惠.八年級（1）班需購球拍4副，乒乓球若干個(gè)（不少于4盒）.（1）設(shè)購買乒乓球的盒數(shù)為x盒，在甲店購買的付款數(shù)為y甲元，在乙店購買的付款數(shù)為y乙元，分別寫出在兩家商店購買的付款數(shù)與乒乓球盒數(shù)之間的表達(dá)式；（2）若該班計(jì)劃購買乒乓球20盒，去哪家商店購買合算？解析：（1）由甲商店規(guī)定每買1副乒乓球拍贈(zèng)1盒乒乓球，得y甲=30×4+5（x-4）=100+5x（x≥4）.由乙商店規(guī)定所有商品9折優(yōu)惠，得y乙=0.9×30×4+0.9×5x=4.5x+108（x≥4）.（2）當(dāng)x=20時(shí)，y甲=100+5×20=200（元），y乙=4.5×20+108=90+108=198（元）.因?yàn)?00＞198，所以去乙商店購買合算.二、根據(jù)表格確定表達(dá)式例2為了解某種車的耗油量，小郎對這種車在高速公路上做了耗油試驗(yàn)，并把試驗(yàn)的數(shù)據(jù)記錄下來，制成下表：汽車行駛的時(shí)間t/h01234…油箱剩余油量Q/L10094888276…（1）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，請表示出變量Q與t之間的表達(dá)式.（2）汽車行駛6h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）如果這種汽車油箱中剩余油量為52L，那么汽車行駛了多少小時(shí)？解析：（1）由表格可知，開始油箱中的油有100L，每行駛1h，油量減少6L，可得Q與t的關(guān)系式為Q=100-6t.（2）當(dāng)t=6時(shí)，Q=100-6×6=100-36=64（L）.所以汽車行駛6h后，油箱中的剩余油量是64L.（3）當(dāng)Q=52時(shí)，52=100-6t，解得t=8.所以汽車行駛了8h.三、根據(jù)圖形確定表達(dá)式例3如圖，在一個(gè)半徑為18cm的圓面上，從中心挖去一個(gè)小圓面，當(dāng)挖去一個(gè)小圓的半徑x（cm）由小變大時(shí)，剩下的一個(gè)圓環(huán)面積y（cm2）也隨之發(fā)生變化．（1）寫出用挖去的圓的半徑x（cm）表示剩下的圓環(huán)面積y（cm2）的表達(dá)式；（2）當(dāng)挖去的圓的半徑為9cm時(shí)，剩下的圓環(huán)面積為多少？（結(jié)果保留π）解析：（1）根據(jù)“圓環(huán)面積=大圓的面積-小圓的面積”，得y=π×182-πx2=-πx2+324π.

（2）當(dāng)x=9時(shí)，圓環(huán)面積y=-π×92+324π=243π（cm2）．三法確定一次函數(shù)表達(dá)式一、根據(jù)圖象求表達(dá)式例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的圖象如圖所示．求直線l的函數(shù)表達(dá)式.

解析：設(shè)直線l的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0）．因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（-2，0），將其代入y=kx+b得b=4，①-2k+b=0．②把①代入②，得k=2．所以直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+4.二、根據(jù)性質(zhì)求表達(dá)式例2某一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，2），且函數(shù)y的值隨自變量x的增大而減小，請寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)表達(dá)式．解析：本題答案不唯一，對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），若y隨x的增大而減小，則k＜0.所以可設(shè)y=-x+b，把x=-1，y=2代入，可求得b=1.所以所求函數(shù)表達(dá)式為y=-x+1．三、根據(jù)平行線求表達(dá)式例3直線l與y=-2x-1平行且過點(diǎn)（1，3），求直線l的表達(dá)式．解析：因?yàn)橹本€l與y=-2x-1平行，所以設(shè)所求直線l的表達(dá)式為y=-2x+b.又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)（1，3），所以3=-2×1+b，解得b=5.所以所求直線l的表達(dá)式為y=-2x+5．新知快遞識(shí)別圖像“四注意”一、弄清圖像上的點(diǎn)的意義圖像上任一個(gè)點(diǎn)所表示的意義是：由該點(diǎn)向水平軸和豎直軸分別作垂線，當(dāng)自變量取水平軸上的垂足所對應(yīng)的數(shù)時(shí)，函數(shù)取豎直發(fā)現(xiàn)的數(shù)軸上的垂足對應(yīng)的數(shù).二、弄清圖像上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的意義最高點(diǎn)對應(yīng)著函數(shù)的最大值，最底點(diǎn)對應(yīng)著函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出函數(shù)的取值范圍.三、弄清圖像上的上升（下降）線、水平線的意義上升線表示函數(shù)隨自變量取值的增加而增加，下降線表示函數(shù)隨自變量取值的增加而減少，水平線表示函數(shù)不隨自變量取值的變化而發(fā)生變化.四、弄清上升線、下降線的坡陡分別表示的意義上升線越緩表示隨自變量的增加函數(shù)的取值增加的越慢；上升線越陡表示隨自變量的增加函數(shù)的取值增加的越快；下降線越緩表示隨自變量的增加函數(shù)的取值減少的越慢；下降線越陡表示隨自變量的增加函數(shù)的取值減少的越快.例如圖所示，某工廠有甲、乙兩個(gè)大小相同的蓄水池，且中間有管道連通，現(xiàn)要向甲池中注水，若單位時(shí)間內(nèi)的注水量不變，那么從注水開始，乙水池水面上升的高度h與注水時(shí)間t之間關(guān)系的圖像可能是（）ABCD解析：由題意知圖像應(yīng)該分為四段：向甲池中注水，未達(dá)連通管道時(shí)，乙水池中沒有水，水面高度沒有變化；當(dāng)甲池中水到達(dá)連通管道的地方，水開始進(jìn)入乙蓄水池，乙水池中的水面快速上升；當(dāng)乙水池中的水面到達(dá)連通管道處時(shí)，乙水池的水面持續(xù)上升較慢；當(dāng)水面超過連通管道處時(shí)，乙水池的水面上升較快，但比第二段的上升的速度要慢.綜上所述，符合乙水池水面上升的高度h與注水時(shí)間t之間關(guān)系的圖像為選項(xiàng)D.點(diǎn)評：注意要弄清楚橫軸與縱軸表示的量的意義，主要考查對圖像的理解和掌握，能根據(jù)實(shí)際問題所反映的內(nèi)容來觀察與理解圖像是解題的關(guān)鍵.活學(xué)實(shí)用圖像和信息“一家親”一、由問題信息選擇圖像例1（2017年東營）小明從家到學(xué)校，先勻速步行到車站，等了幾分鐘后坐上了公交車，公交車沿著公路勻速行駛一段時(shí)間后到達(dá)學(xué)校，小明從家到學(xué)校行駛路程s（m）與時(shí)間t（min）的大致圖像是（）ABCD解析：小明的父親開始以正常速度勻速行進(jìn)，他行駛路程s逐漸增大；停下來等公交車的過程中，他行駛路程s不變；坐公交車勻速行駛到達(dá)學(xué)校，行進(jìn)速度比步行要快，他行駛路程s逐漸增大，且比步行時(shí)增加的幅度大.綜合以上信息可知本題的圖像分為三段，緩-平-陡，且s值先增加，后不變，再增加，其中符合要求的圖像是選項(xiàng)C.點(diǎn)評：判斷圖像時(shí)，首先應(yīng)分清橫軸和縱軸各表示什么量，圖像的起止點(diǎn)在什么地方，以及圖像的變化趨勢、傾斜度的大小各有什么含義等.特別要注意：停止不動(dòng)時(shí)，時(shí)間t在變化，行駛路程s不發(fā)生變化.二、從圖像中獲取問題信息例2（2017年南通）一個(gè)有進(jìn)水管和出水管的容器，從某時(shí)刻開始4min內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的8min內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)，容器內(nèi)的水量y（L）與時(shí)間x（min）之間的關(guān)系如圖所示，則每分鐘的出水量為（）5LB.3.75LC.2.5LD.1.25L解析：觀察圖像，根據(jù)“每分鐘進(jìn)水量=總進(jìn)水量÷進(jìn)水時(shí)間”，得每分鐘的進(jìn)水量為20÷4=5（L）；到12min時(shí)，容器內(nèi)的水量為30L，這時(shí)每分鐘增加的水量為（30-20）÷（12-4）=1.25（L），根據(jù)“每分鐘的出水量=每分鐘的進(jìn)水量-每分鐘增加的水量”，得每分鐘的出水量為5-1.25=3.75（L）.故選B.點(diǎn)評：解題時(shí)，要認(rèn)真閱讀圖像，從中獲取有用的信息，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言加以合理地表達(dá)與描述.牛刀小試：（2017年涼山州）小明和哥哥從家里出發(fā)去買書，從家出發(fā)走了20分鐘到一個(gè)離家1000米的書店．小明買了書后隨即按原路返回；哥哥看了20分鐘書后，用15分鐘返家．下面表示哥哥離家距離與時(shí)間之間關(guān)系的圖像是（）ABCD參考答案：D活學(xué)實(shí)用性質(zhì)靈活用解題真輕松一、確定字母系數(shù)的值例1已知關(guān)于x，y的一次函數(shù)y=2mx-3m，y隨x的增大而減小，請你寫出一個(gè)滿足條件的m的值____.解析：根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)，可知當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，所以只要給出的m的值能使2m小于0即可.故答案不唯一，如-1，-5.二、比較函數(shù)的大小例2（2016年本溪）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函數(shù)y=-2x+5圖像上的兩點(diǎn)，當(dāng)x1＞x2時(shí)，y1_______y2．（填“＞”、“=”或“＜”）解析：因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)y=-2x+5中，-2＜0，所以y隨x的增大而減小.因?yàn)閤1＞x2，所以y1＜y2．故填“＜”.三、確定函數(shù)