《高等數(shù)學(xué)》(第三版)教案第二章全

《高等數(shù)學(xué)》（第三版）教案第二章全2.1.1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)： （1）研究曲線的切線問題，尋找求曲線上一點處切線的斜率的方法；（2）學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念；（3）分析曲線上一點處切線的斜率與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)會求曲線上一點處的切線的方程。教學(xué)重點： （1）導(dǎo)數(shù)的概念；（2）曲線上一點處的切線的方程。教學(xué)難點： 對導(dǎo)數(shù)的概念的理解。授課時數(shù)：2課時教學(xué)過程過程備注引言介紹本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。教師講授知識回顧設(shè)直線的傾斜角為，點和點為直線上的任意兩點，則當(dāng)時，直線的斜率為．引導(dǎo)學(xué)生回答5′問題在平面解析幾何中，我們將與圓只有一個交點的直線定義為圓的切線．如圖2－1所示，直線L是過圓周上一點P的切線．PP圖2－1圖2－2但是對其他曲線，這樣的定義就不一定合適，例如，圖2－2中的直線雖然與曲線只有一個交點，但是不能確定它們一定是曲線的切線．那么，對于一般曲線，如何定義和研究過曲線上一點P的切線呢？教師講授10′新知識下面采用動態(tài)處理的方法定義一般曲線的切線．如圖2－3所示，選取曲線上的任意點Q，做割線；然后讓點Q沿著曲線趨近于點P，判斷此時割線斜率的極限是否存在，如果存在，就把以這個極限值為斜率的直線定義為曲線在點P的切線．圖2－3大家知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線。如圖2－4所示，點為拋物線上的點．依據(jù)上面的切線定義，求拋物線在點處的切線．T設(shè)為拋物線上任意一點，在點T處，為自變量的改變量（或自變量的增量），為函數(shù)的相應(yīng)改變量（或函數(shù)的增量）．則割線的斜率為當(dāng)點Q沿著拋物線趨近點P時，，此時，割線的極限位置為PT．圖2－4因為．故拋物線在點處切線的斜率為2．因此，切線PT的方程為，即．一般地，設(shè)是曲線上的一個定點，是曲線上異于的任意一點，則割線PQ的斜率為，其中為割線PQ的傾斜角.當(dāng)時，如果極限存在，那么，這個極限值就是曲線在點處的切線PT的斜率.結(jié)合動畫演示講授教師講授與學(xué)生回答相結(jié)合30′做一做采用同樣的思路來研究非勻速直線運動物體的瞬時速度．設(shè)一個物體做非勻速直線運動，其路程與時間的關(guān)系為.求該物體在時刻的瞬時速度．在附近的一段時間間隔內(nèi)，即從到這段時間內(nèi)，物體走過的路程為．當(dāng)很小時，我們把變速運動近似地看成是勻速運動.因此，可以用這段時間間隔的平均速度近似地描述瞬時速度．由于速度是變化的，所以對任意的固定的，它只是一個近似值.但是，在無限變小的過程中，平均速度無限接近時刻的瞬時速度．因此，當(dāng)趨于零時，如果極限存在，那么，這個極限值就是變速直線運動的瞬時速度．即．在教師引領(lǐng)下共同完成40′新知識以上兩個例子的具體意義雖然不同，但抽象出的數(shù)量關(guān)系卻相同——研究函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限．一般地，設(shè)函數(shù)在點處自變量的改變量為，對應(yīng)函數(shù)的改變量為，若當(dāng)時存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并將極限值叫做函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率）．記作，．即=．（2.1）關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有以下結(jié)論（1）若不存在，則稱函數(shù)在點處不可導(dǎo)．（2）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點處切線的斜率．（3）若函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，即對任意x∈(a，b)，極限＝都存在，則稱“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)”．這時，函數(shù)對于每一點x∈(a,b)，都有一個確定的導(dǎo)數(shù)值與之對應(yīng)，這就構(gòu)成了x的一個新函數(shù)，這個新函數(shù)叫做函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記為，或f(x).即＝（2.2）（4）函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點x＝x0處的函數(shù)值，即＝.今后，在不引起混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為導(dǎo)數(shù).利用定義求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)的步驟是：.（1）寫出函數(shù)的改變量；（2）計算比值；（3）計算極限.教師講授60′知識鞏固例1求函數(shù)(是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．解（1）求函數(shù)的改變量；（2）算比值,（3）取極限.即．例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解（1）求函數(shù)的改變量；（2）算比值＝；（3）取極限.故.教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成70′1．用定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．2．求拋物線在點處的切線方程．學(xué)生課上完成85′小結(jié)新知識：導(dǎo)數(shù)的概念；曲線上一點處的切線的方程。90′作業(yè)1.通過復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，加深對其內(nèi)涵的理解,并嘗試總結(jié)導(dǎo)數(shù)的思想及本質(zhì)；2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)2.1.1”。2.1.2導(dǎo)數(shù)的運算法則教學(xué)目標(biāo)：（1）記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，學(xué)會用公式、運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）學(xué)會復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；（3）學(xué)會隱函數(shù)的求導(dǎo)法。教學(xué)重點： 求初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。 教學(xué)難點： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法。授課時數(shù)：4課時.教學(xué)過程過程備注新知識根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可以得到初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運算法則，作為公式介紹如下．1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(1)（是常數(shù)）； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)；(9)； (10)；(11)； (12)；(13)；(14)；(15)；(16).2.導(dǎo)數(shù)的運算法則：設(shè)和在處都可導(dǎo)，則(1)； (2)(為常數(shù))；(3)； (4).利用上述導(dǎo)數(shù)公式和法則，可以求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．教師講授20′知識鞏固例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解.例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解.例3已知，求及.解，所以.例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解例5已知，求.解，故=.教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成55′練習(xí)2.1.2.1（1），求；（2），求(3)，求學(xué)生課上完成70′想一想我們來計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．考慮到，所以 ． 如果直接應(yīng)用公式計算可以得到的． 兩個計算結(jié)果為什么不一樣呢？師生共同完成80′新知識產(chǎn)生上面問題的原因是，函數(shù)不是正弦函數(shù)，是正弦函數(shù)與一次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，所以計算的導(dǎo)數(shù)的時候，不能直接應(yīng)用正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．計算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般需要采用下面的方法（證明略）．設(shè)在處可導(dǎo)，在對應(yīng)的處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，（2.3）還可以記作或.教師講授95′知識鞏固例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）．解（1）是由和復(fù)合而成，所以；（2）是由和復(fù)合而成，所以．教師講授105′鏈接軟件利用微軟高級計算器可以方便的求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．計算例6（1）的操作為：利用操作面板在輸入窗格輸入，點擊輸入得到結(jié)果． 說明點擊功能區(qū)中的求解步驟，則顯示出復(fù)合函數(shù)的計算過程．演示110′練習(xí)2.1.2.2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并利用軟件進行驗證．(1);(2);(3).學(xué)生課上完成125′問題如果函數(shù)關(guān)系式以方程的形式給出如，寫成一般函數(shù)形式需要進行開平方運算，不能寫成唯一的一個解析式，如何求導(dǎo)數(shù)呢？130′新知識以方程形式表示函數(shù)關(guān)系的函數(shù)叫做隱函數(shù)，以函數(shù)解析式表示函數(shù)關(guān)系的函數(shù)叫做顯函數(shù)．有些隱函數(shù)可以非常方便的轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，如轉(zhuǎn)化為；有些函數(shù)完成這種轉(zhuǎn)化則是非常困難的，如．因此，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，一般采用方程兩端同時對自變量求導(dǎo)的方法．需要注意，當(dāng)遇到含有函數(shù)的項時，必須將視為的函數(shù)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，這樣就得到一個含有的等式，從而求得.教師講授135′知識鞏固例7求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解方程兩邊同時對求導(dǎo)，得，注意到是的函數(shù)，得，整理得.例8求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解方程兩邊同時對求導(dǎo)，得，即．整理得.說明可以看到，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中，可以含有因變量．教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成150′鏈接軟件微軟高級計算器不具備求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的功能，可以采用軟件matlab進行計算．計算例8的操作步驟為:輸入：>>Dy_dx=maple('implicitdiff(exp(y)+x*y-exp(1)=0,y,x)')按回車鍵，顯示：Dy_dx=-y/(exp(y)+x)即．演示160′練習(xí)2.1.2.3求下列各隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）．學(xué)生課上完成175′小結(jié)新知識：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)的求導(dǎo)法。180′作業(yè)1.記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則；梳理復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法；2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)2.1.2.（1）”、“作業(yè)2.1.2.（2）”、“作業(yè)2.1.2.（3）”。2.1.3高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：學(xué)習(xí)高階導(dǎo)數(shù)的概念及計算。教學(xué)重點： 高階導(dǎo)數(shù)的概念及計算。教學(xué)難點： 高階導(dǎo)數(shù)的計算。授課時數(shù)：1課時.教學(xué)過程過程備注做一做連續(xù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．發(fā)現(xiàn)，第1次計算得，仍然是變量x的函數(shù)；再一次求導(dǎo)得，仍然是變量x的函數(shù)；…，顯然，導(dǎo)數(shù)的計算可以一直進行下去．在教師引領(lǐng)下完成6′新知識一般地，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是的函數(shù).如果它在處仍可導(dǎo)，那么把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)在點處的二階導(dǎo)數(shù)，記作或或，即或或.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，…，一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做n階導(dǎo)數(shù).同時把叫做的一階導(dǎo)數(shù).函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)分別記作，，，…，；或，，，，…，；或，，，，…，.二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).教師講授16′知識鞏固例9求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).(1)； (2).解(1)，.(2)，.例10設(shè)，求.解，，，故.教師講授在教師引領(lǐng)下完成28′鏈接軟件利用微軟高級計算器可以方便的求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．計算例9（2）利用操作面板在輸入窗格輸入，點擊輸入得到結(jié)果．演示34′練習(xí)2.1.3 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（1）；（2）．學(xué)生課上完成42′小結(jié)新知識：高階導(dǎo)數(shù)45′作業(yè)完成習(xí)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“”。2.1.4微分教學(xué)目標(biāo)：（1）學(xué)習(xí)函數(shù)微分的概念及計算；（2）會利用微分計算由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點： 函數(shù)微分的概念及計算； 教學(xué)難點： 函數(shù)微分的概念授課時數(shù)：1課時.教學(xué)過程過程備注知識回顧設(shè)點為函數(shù)圖像上的點，則曲線在點P處切線的斜率為．3′新知識 如圖圖2－5所示，過Q點作x軸的垂線，交曲線過P點的切線于T、過P平行于x軸的直線于G．可以看到，．當(dāng)Q點沿著曲線無限趨近于P點時，T點也無限趨近于P點，同時無限趨近于0．此時無限趨近于．a(chǎn)+a+Δx圖2－5一般地，設(shè)函數(shù)在點處有可導(dǎo)，則叫做函數(shù)在點處的微分，記作，即．(2.4)此時稱函數(shù)在點處可微.可見，函數(shù)的微分與和有關(guān).結(jié)合動畫演示講授10′知識鞏固例11求函數(shù)在，時函數(shù)的增量及微分.解，.在教師引領(lǐng)下完成15′新知識如果函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)任意點處可微，那么稱函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)可微.記作.特別地，由函數(shù)可以得到，于是，通常將函數(shù)的微分記作，從而有.這就是說，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的微分與自變量的微分之商．故導(dǎo)數(shù)又稱為微商.因此，對于由參數(shù)方程所確定的函數(shù).有．教師講授22′知識鞏固例12求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解．例13某一正方體金屬的邊長為2m，當(dāng)金屬受熱邊長增加0.01m時，體積的微分是多少？體積的改變量又是多少？解設(shè)正方體的邊長為，則其體積為．體積的微分為將代入上式，得在處的微分在處體積的改變量為由此可見，.教師講授30′練習(xí)2.1.41.求函數(shù)在時函數(shù)的增量及微分.2.求下列函數(shù)的微分(1)；(2)；(3).學(xué)生課上完成42′小結(jié)新知識：函數(shù)微分的概念及計算，由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。45′作業(yè)1.利用圖2－5分析函數(shù)的增量與函數(shù)微分的區(qū)別;2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“”。2.2.1函數(shù)單調(diào)性的判斷教學(xué)目標(biāo)：（1）結(jié)合圖像，分析導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系；（2）理解駐點，不可導(dǎo)點的概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。教學(xué)重點： 函數(shù)單調(diào)性的判別與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法。 教學(xué)難點： 導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。授課時數(shù)：2課時.教學(xué)過程過程備注觀察 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．觀察函數(shù)圖像（圖2－6）可以看出，曲線上至少有一點，使曲線在點處的切線平行于弦．由于恰好是弦的斜率，而為曲線在點處的切線的斜率．故．圖2－6結(jié)合動畫演示講授8′新知識由此得到微分中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少存在一點，使成立．即．設(shè)函數(shù)在上連續(xù),開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，、，且，由中值定理有，其中．如果對任意，都有（或），則必有（或），從而有（或），那么可以判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)（或減函數(shù)）．由此得到判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).（1）如果在內(nèi)恒有，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)恒有，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.說明：（1）如果將閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間（包括無限區(qū)間）上述結(jié)論仍然成立．（2）如果在區(qū)間I內(nèi)的有限個點處為零，在其余各點處均為正（或負(fù)），那么，在區(qū)間I內(nèi)的仍舊是增（或減）函數(shù)．教師講授20′知識鞏固例1判斷函數(shù)在區(qū)間（1，3）內(nèi)的單調(diào)性．解．因為在區(qū)間（1，3）內(nèi)，．故函數(shù)在區(qū)間（1，3）內(nèi)為增函數(shù)．例2判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.解，在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)時，，對有．故和都是函數(shù)的增區(qū)間．此時函數(shù)在上是增函數(shù). 例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解函數(shù)的定義域為（-∞，+∞）．，令，得．以為分點，將定義域分成區(qū)間（-∞，1）和（1，+∞）．當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，1），增區(qū)間為（1，+∞）．教師講授在教師引領(lǐng)下完成教師講授40′新知識使的點叫做函數(shù)的駐點．如果駐點的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，那么稱為增減區(qū)間的分界點，如例3中的；如果駐點的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)同號，那么不是分界點，如例2中的．說明：除了駐點有可能是分界點外，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是分界點.因此，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：（1）確定定義域并求；（2）找出可能的分界點，分界點將定義域分為若干個部分區(qū)間；（3）依次判斷函數(shù)在這些部分區(qū)間的單調(diào)性.教師講授50′知識鞏固例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解函數(shù)的定義域為，且．令，得．它們把定義域劃分成三個區(qū)間:． 當(dāng)時，，故區(qū)間為增區(qū)間；當(dāng)時，，故區(qū)間為減區(qū)間；當(dāng)時，，故區(qū)間為增區(qū)間．教師講授65′練習(xí)2.2.1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）；（2）；（3）.學(xué)生課上完成85′小結(jié)新知識：利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性，駐點的概念，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。90′作業(yè)1.梳理節(jié)知識內(nèi)容;2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“”。2.2.2函數(shù)的極值與最值教學(xué)目標(biāo)：（1）利用函數(shù)圖象，通過觀察分析去認(rèn)識函數(shù)極值的定義，認(rèn)識函數(shù)極值與函數(shù)最值的區(qū)別；（2）學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)極值的方法；（3）學(xué)會閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值與最小值的求法，會解決簡單的最大值與最小值應(yīng)用問題。教學(xué)重點： 函數(shù)極值的概念和求法，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值與最小值的求法，簡單的最大值與最小值應(yīng)用問題的求解； 教學(xué)難點： 函數(shù)極值與函數(shù)最值的區(qū)別，最大值與最小值應(yīng)用問題的求解。授課時數(shù)：4課時.教學(xué)過程過程備注1.函數(shù)的極值知識回顧二次函數(shù)，當(dāng)（或）時，在處取得最小（或最大）值．5′新知識函數(shù)的最大值（或最小值）是針對整個定義范圍而言．下面研究在某些局部點的情況．y=f(x)y=f(x)x1x2圖2－7觀察函數(shù)的圖像（圖2－7）．在點鄰近取值時有；在點鄰近取值時有．一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果在鄰近取值時有（或）成立，那么，就把叫做函數(shù)的一個極大（或極小）值，點叫做的一個極大值（或極小值）點.函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.由此可見，極大值和極小值是局部概念.它只意味著在的鄰近各點的函數(shù)值的比較，而不意味它在整個區(qū)間內(nèi)最大或最小.觀察圖2－7可以看到，在極值點處，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即極值點為駐點．但是駐點不一定是極值點．例如，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由于，因此是函數(shù)的駐點，但卻不是該函數(shù)的極值點.此外，導(dǎo)數(shù)不存在（但連續(xù)）的點也有可能取得極值.因此函數(shù)的極值點只能在駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點中產(chǎn)生，稱它們?yōu)榭赡軜O值點.一般地，設(shè)函數(shù)在點的鄰近連續(xù)且可導(dǎo)（可以不存在），當(dāng)由小增大經(jīng)過點時，如果（1）由正變負(fù)，那么是極大值點；（2）由負(fù)變正，那么是極小值點；（3）不改變符號，那么不是極值點.因此求函數(shù)極值的一般步驟為：（1）求出函數(shù)的定義域；（2）求的導(dǎo)數(shù)；（3）求出的全部可能極值點；（4）判斷可能極值點是否為極值點；（5）求出各極值點的函數(shù)值.教師講授30′知識鞏固例5求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域為..令，解得，.列表觀察（表2-1）：表2-100↗極大值2↘無極值↘因此，函數(shù)的極大值為.例6求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域為.；當(dāng)時，不存在.列表（表2-2）：表2-2(-∞，2)2(2，+∞)(x)+不存在－f(x)↗極大值1↘由表2-2知，為函數(shù)的極值點，函數(shù)的極大值（圖2-8）.圖2－8教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成50′新知識設(shè)是函數(shù)的駐點，并且函數(shù)在點處有二階導(dǎo)數(shù).還可以利用二階導(dǎo)數(shù)來判定點是否為函數(shù)的極值點.方法如下：（1）若，則函數(shù)在點處取得極大值；（2）若，則函數(shù)在點處取得極小值；（3）若，則不能判斷在點是否取得極值.教師講授60′練習(xí)2.2.2（1） 1.求下列函數(shù)的極值點和極值：(1)；(2)；學(xué)生課上完成90′2．最大值與最小值問題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)技術(shù)分析中，往往會遇到在一定條件下，求“產(chǎn)量最大”，“用料最省”，“成本最低”，“效率最高”等實際問題，這類問題一般可歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為最值問題.下面就函數(shù)的不同情況，分別研究函數(shù)的最值的求法.新知識（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，如果在閉區(qū)間上連續(xù)，那么一定存在最大值和最小值.因此，只要求出函數(shù)的所有極值點和端點的函數(shù)值，進行比較即可得到函數(shù)在該區(qū)間上的最值。教師講授97′知識鞏固例7求函數(shù)在上的最大值和最小值.解，令，解得，，.于是，，，所以，在上的最大值為，最小值為.在教師引領(lǐng)下共同完成110′新知識（2）一般區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果在一個區(qū)間（有限或無限，開或閉）內(nèi)可導(dǎo)并且只有一個駐點，那么，當(dāng)是極大值時，就是在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)是極小值時，就是在該區(qū)間上的最小值.教師講授115′知識鞏固例8求函數(shù)的最大值.解函數(shù)的定義域為..令，得駐點．當(dāng)時，；當(dāng)時，，故是函數(shù)的極大值點，極大值為１.圖2－9因為函數(shù)在內(nèi)只有唯一的一個極值點，所以函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值，即函數(shù)的最大值點是，最大值為1（圖2-9）.在教師引領(lǐng)下共同完成125′新知識（3）實際問題中的最值實際問題中，往往根據(jù)問題的實際意義就可以斷定函數(shù)確有最大值或最小值，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得，這時如果函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點，那么，不用討論就可斷定是所求的最大值或最小值.教師講授130′知識鞏固圖2－10例9欲用長6m的鋁合金料加工一個日字形窗框（圖2－10），問它的長和寬分別為多少時，才能使窗戶面積最大，最大面積是多少？圖2－10解設(shè)窗框的寬為m，則長為m.窗戶的面積為，.令，求得駐點，當(dāng)時，(m).由于函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有唯一的駐點，而由實際問題知道面積的最大值存在，因此駐點就是最大值點，即窗戶的寬為1m，長為m時，窗戶的面積最大.最大的面積為（）.例10要鋪設(shè)一條石油管道將石油從煉油廠輸送到石油灌裝點，圖2-11所示，煉油廠附近有一條寬2.5km的河，灌裝點在煉油廠的對岸沿河下游10km處，如果在水中鋪設(shè)管道的費用為6萬元／公里，在河邊鋪設(shè)管道的費用為4萬元／公里，試在河邊找一點P使管道鋪設(shè)費最低．圖2－11P 解設(shè)P點距煉油廠的距離為,管道鋪設(shè)費用為由題意有圖2－11P 令，得駐點，舍去大于10的駐點，由于管道最低鋪設(shè)費用一定存在，且在（0,10）內(nèi)取得，所以最小值點為，最低管道鋪設(shè)費為萬元．教師講授160′練習(xí)2.2.2（2）欲做一個底為正方形，容積為的開口容器怎樣做法用料最省．在教師引領(lǐng)下共同完成175′小結(jié)新知識：函數(shù)的極值，最值，最值應(yīng)用問題的求解。180′作業(yè)1.梳理本節(jié)知識內(nèi)容;2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)”。課題2.2.4邊際分析與彈性分析教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)知道邊際與彈性的概念及其經(jīng)濟意義；會對簡單的經(jīng)濟問題進行邊際分析與彈性分析。能力目標(biāo)（1）通過學(xué)學(xué)習(xí)，體會用數(shù)學(xué)知識解決經(jīng)濟問題重要性，將數(shù)學(xué)作為分析工具，使經(jīng)濟學(xué)走向了定量化、精密化和準(zhǔn)確化。（2）能運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對其經(jīng)濟問題進行定量分析。教學(xué)重點邊際與彈性的概念及其經(jīng)濟含義教學(xué)難點彈性的概念及計算教法學(xué)法探究式問題教學(xué)法、小組學(xué)習(xí)法、講練結(jié)合法，2課時。教學(xué)反思彈性的概念及其經(jīng)濟含義是什么？如何依據(jù)商品的需求價格彈性制定合適的價格策略，為企業(yè)帶來更多效益？教學(xué)過程設(shè)計意圖知識回顧1.復(fù)習(xí)幾個常見經(jīng)濟函數(shù)2.導(dǎo)數(shù)反映了一個變量相對于另一個變量變化的快慢程度—變化率問題。問題問題1：導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟學(xué)究竟有什么關(guān)系呢？如何利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟變量變化率？問題2：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量為10個單位時，若再增加一個單位產(chǎn)品，總成本將增加幾個單位呢?新知識在經(jīng)濟學(xué)中，習(xí)慣用“平均”和“邊際”的概念描述一個經(jīng)濟變量對于另外一個經(jīng)濟變量x的變化.平均概念表示在自變量的某一個范圍內(nèi)的平均值，即函數(shù)在內(nèi)的平均變化率.邊際概念表示當(dāng)?shù)母淖兞口呌?時，函數(shù)在的某個值的“邊緣上”的變化率，即——導(dǎo)數(shù).因此，邊際函數(shù)就是導(dǎo)數(shù).于是有若函數(shù)可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)也稱為函數(shù)的邊際函數(shù).稱為在點處的變化率，也稱為在點處的邊際函數(shù)值，它表示在點處的變化速度.在點處，從改變一個單位時，的改變量準(zhǔn)確值為，當(dāng)改變的“單位”很小時，則的近似值為這說明在點處，當(dāng)產(chǎn)生一個單位的改變時，函數(shù)近似改變單位，在經(jīng)濟學(xué)中，解釋邊際函數(shù)值的具體意義時通常略去“近似”二字.問題3：經(jīng)濟學(xué)中有哪些常見的邊際函數(shù)呢？設(shè)總成本是產(chǎn)量的可導(dǎo)函數(shù)，則稱總成本對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)為邊際成本；設(shè)總收益是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱總收益對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)為邊際收益；設(shè)總利潤是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱總利潤對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)為邊際利潤；設(shè)需求是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱對價格的導(dǎo)數(shù)為邊際需求.知識鞏固【例1】已知某商品的成本函數(shù)為（Q表示產(chǎn)量）求Q=10時的邊際成本并解釋其經(jīng)濟意義.解由得邊際成本函數(shù)為：則當(dāng)產(chǎn)量Q=10時的邊際成本為5，其經(jīng)濟意義為：當(dāng)產(chǎn)量為10時，若再增加（減少）一個單位產(chǎn)品，總成本將增加（減少）5個單位.【例2】設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其中P為價格，為需求量，求邊際收益函數(shù)以及=20、50和70時的邊際收益，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義.解由題設(shè)有，于是，總收益函數(shù)為：于是邊際收益函數(shù)為：由所得結(jié)果可知，當(dāng)銷售量（即需求量）為20個單位時，再增加銷售可使總收益增加，多銷售一個單位產(chǎn)品，總收益約增加12個單位；當(dāng)銷售量為50個單位時，總收益的變化率為零，這時總收益達到最大值，增加一個單位的銷售量，總收益基本不變；當(dāng)銷售量為70個單位時，再多銷售一個單位產(chǎn)品，反而使總收益約減少8個單位.新知識問題4：經(jīng)濟活動中，一個重要的問題是商品價格變化對收益的影響.如果某商品為適應(yīng)市場需要欲適當(dāng)降低價格，會不會降低其收益呢？一般情況下，需求量是隨價格的上漲而減少的，即需求函數(shù)是價格的遞減函數(shù).如果廠商降低價格，則單份收益減少，但是銷售量上升，從并不能明確地判斷對的凈影響.這里的關(guān)鍵因素不是和變化的絕對量而是變化的比例或百分?jǐn)?shù).直觀地，我們期望增加的百分比大于下降的百分比，從而廠商的收益增加.如果需求對價格的變化相對敏感，我們說需求是富有彈性的，相似地，如果需求對價格的變化相對不敏感，我們說需求是缺乏彈性的，此時，銷售量變化的百分比小于價格變化的百分比.廠商可以通過提高價格來增加收益，盡管結(jié)果是需求下降，但價格上升可以彌補銷售量的減少從而增加收益.當(dāng)然，也可能價格變化和銷售量變化的百分比相等，從而使得收益不變，我們用單位彈性來描述這種情況.當(dāng)價格由下降到導(dǎo)致需求量由增加到，我們通過定義需求價格彈性來量化需求對價格變化的反映.我們注意到，需求函數(shù)一般為價格的遞減函數(shù)，價格正的變化導(dǎo)致需求量負(fù)的變化，反之亦然，故需求價格彈性取負(fù)值.因此，經(jīng)濟學(xué)中常規(guī)定然而，這表示在到兩點間的彈性，而不是表示計算在一個點的精確彈性值.我們考慮將趨于0，從而比值趨于，即，于是在一點處的需求價格彈性為或需求函數(shù)在價格為時的需求價格彈性反映隨價格的變化，需求量變化幅度的大小，即需求量對價格變化反映的強烈程度或靈敏度.數(shù)值上，表示當(dāng)價格為時，價格上漲（下降），需求量減少（增加）.知識鞏固【例3】設(shè)某商品需求函數(shù)為(1)求需求彈性函數(shù)；(2)求，，時的需求彈性.解(1)(2)，表明當(dāng)時，價格上漲，需求量減少0.4；，表明當(dāng)時，價格上漲，需求量減少1；，表明當(dāng)時，價格上漲，需求量減少2.新知識問題5：當(dāng)商品的價格為時，價格變化，總收益變化多少呢？下面，我們用需求價格彈性分析總收益的變化.由于總收益，于是于是，我們得到了需求彈性和邊際收益的關(guān)系，并且驗證了前面關(guān)于收益與彈性的直觀認(rèn)識.由