第18章光的衍射教案

第十八章

光的衍射

教學(xué)要求

*理解惠更斯-菲涅耳原理及半波

帶法；

*理解單縫衍射條紋分布規(guī)律、縫

寬及波長對衍射條紋分布影響；

*了解圓孔衍射和光學(xué)儀器分辨

本領(lǐng)；

*掌握光柵衍射公式、光柵衍射譜

線位置確定及條紋分布特征；

*分析光柵常數(shù)及波長對衍射譜

線分布影響，理解缺級現(xiàn)象；

*了解X射線衍射。

教學(xué)內(nèi)容(學(xué)時：4學(xué)時)

§18-1單縫衍射

§18-2圓孔衍射光學(xué)儀器的分

辨本領(lǐng)

§18-3光柵衍射

§18-4X射線衍射

教學(xué)重點(diǎn)

*單縫衍射的條紋分布規(guī)律，

*光柵衍射的條紋分布規(guī)律，

*半波帶法及缺級現(xiàn)象。

作業(yè)

18-01).18-03).18-04).

18-06）、18-08）、

18-10）、18-12）、1874）、

18-16）.18-19）.

第十八章

光的衍射

（光的衍射繞過障誨物傳播

“繞彎”且產(chǎn)生明暗相間條紋）

§18-1單縫

衍射

-惠更斯-菲涅耳原理

1、光的衍射現(xiàn)象

光作為一種電磁波，在傳播過程中若

遇到尺寸比光的波長小或差不多的障礙

物時，

它就不再遵循直線傳播的規(guī)律，而會

傳到障礙物的陰影區(qū)并形成明暗相間的

條紋,

這就是光的衍射現(xiàn)象。

（圖：針和細(xì)線的衍射

條紋）

利用惠更斯原理可以定性說明光線繞

過障礙物邊沿的現(xiàn)象，但它不能確切地

說明為

什么出現(xiàn)明暗相間的條紋，菲涅爾用

“子波相干”的思想補(bǔ)充了惠更斯原理,

解釋

了各類衍射現(xiàn)象并得出與實際相符的

結(jié)果。

2、惠更斯一菲涅耳原理：

從同一波陣面上各點(diǎn)發(fā)出的子波，在傳

播到空間某點(diǎn)時，各個子波間也可以相

互替

加而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。

3、光強(qiáng)分布定量計算公式

（波陣面匚面元曲二子波—子波光

振動相干疊加形成衍射光振動）

面元沖在P點(diǎn)產(chǎn)生的光振動為:

z/QO77TB

dE=Ck(9)—cos(cot---)

r2

（18-1）

式中：C_比例系數(shù)

左（。）_隨。增大而減小的傾斜因子。

當(dāng)8=0時:

k（9）=l—最大

TC

當(dāng)是萬時：

k@=o

表示子波不能向后傳播一

p點(diǎn)合振動為各面元在該點(diǎn)引起振動

疊加，積分：

石（尸）=fCk（3）8S（st_空H）dS

JrA

（18-2）

_____菲

涅耳衍射積分公式

（積分復(fù)雜!只對簡單以'）和dS函數(shù)

才能作出,后面將使用半波帶法計算）

4、光衍射的分類：

——夫朗和費(fèi)衍射：光源到障礙物

及障礙物到屏距離為無限遠(yuǎn)。

一一菲涅爾衍射：光源到障礙物

或障礙物到屏距離為有限遠(yuǎn)。

二單縫夫朗和費(fèi)衍射

（入射光和衍射光均視為平行

光，常用凸透鏡實現(xiàn)無限遠(yuǎn)）

圖18-3夫瑯禾費(fèi)衍射實驗光路圖

1、菲涅爾半波帶法（直觀簡潔）

相縫端光程差（或最大光程

差）,等于：

8=AC=asin3

圖18-4半波帶

沿ZC方向，每過之/2作一個垂面,

這些垂面將單縫波陣面分成N份：

AT52asin，

N=-----=----------

2/22

(18-4)

每一份是一個狹長的帶——稱為半波

（圖中三個坐波微:BB［、BjB2

和金A）

結(jié)論:

兩相鄰半波帶對應(yīng)點(diǎn)的子波一在P點(diǎn)

光程差為％/2——干涉相消。

如果偶數(shù)個半波帶,則合振幅為零，P

點(diǎn)為暗紋中心。

苗子波合成較大光振動一一明紋中心。

（隨夕變化，必有偶數(shù)和奇

數(shù)個半波帶出現(xiàn)）

2、單縫衍射的明、暗紋條件:

明紋

1）屏上出現(xiàn)A級暗紋中心條件：

如果半波帶數(shù)滿足：

-2asin0[±（2k+l）

（4=1、2、3....）

或縫端光程差

2

.a±(2左+1)7

asm夕=《2

士kA

(18-6)

明紋

貝！I,屏上出現(xiàn)4級暗紋中心。

（注意：不論明紋、暗紋，都不取

K=0,為什么？）

明紋

2）屏上A級暗紋中心的角位置

（衍射角）：

2

±(2k+l)

6xsin3=v2a

kk士T

(k

a

二1、2、3……）（18-7）

明紋

3）屏上A級暗紋中心的線位置（P

相對于屏中心的位置）:

+(2k+l)氏

2a

xk=ftanOkxfsinOk=

土e

a

(k=l,2、3...)(18-8)

一一“稱為衍射條紋的

級次；F為凸透鏡的焦距。

4)小角度近似條件：

02sin3ytanO

5)光強(qiáng)按s，九夕的分布曲線如圖

（兩個一級暗紋中心間為中央明紋一0

級明紋）

*中央明紋的角位置：

—A<asinO<4

（18-9）

*中央明紋的線位置：

—030

aa

(18-10)

（寬度為次級條紋

的兩倍!）

3、單縫衍射條紋的特征:

1）亮度分布

中央明紋最亮，各級明紋的亮度

隨著級數(shù)的增大而減弱。

（因為衍射角夕越大，分成的波帶數(shù)就越大,

每個波帶提供光能的面積就越小…）

2）條紋寬度

相鄰暗紋中心間距定義為明紋寬

度。則明紋線寬度為

(18-11)

（中央明紋線寬度為24）

3）條紋位置和寬度與縫寬和波長

的關(guān)系

八與縫寬成反比，與入射波

波長成正比。

表示:縫愈窄一條紋位置離中心

愈遠(yuǎn)，條紋排列愈疏-衍射好。

縫愈寬一衍射愈差

（當(dāng)縫寬大到一定程度，

衍射現(xiàn)象消失）

4）白光入射

中央明紋白色一其他明紋由紫到

紅的順序彩色條紋一一單縫衍射光譜。

例18.1(1)在夫瑯和費(fèi)單縫衍射實驗

中，用單色光垂直入射

縫面，

已知波長2=500nm,第

一級暗紋對應(yīng)衍射角°=30。，

問：縫寬如何？

(2)如果單縫的寬度

a—0.50mm,

在焦距的透鏡

的焦平面上觀察衍射條紋，

求：中央明紋和其它各級

明紋的寬度。

解：(1)由(18-6)式的暗紋公式，對第

一級暗紋有：

asin0=±A

由于。=±3。°,可以求得縫

寬:

^=^=1000nm=1°8m

（單縫工藝?yán)щy！常用的

單縫要寬得多）

（2）中央明紋寬度：

,2歹2x500xlCT9xL0「

I。=——=------5------=2x

a0.5xlCTJ

其它各級明紋寬度：

I=I。/2=1.0mm

§18-2圓孔衍射光

學(xué)儀器分辨本領(lǐng)

園孔衍射：通過圓孔產(chǎn)生的衍射現(xiàn)

象（小圓孔代替狹縫）。

（光學(xué)儀器由若干透鏡組成，相當(dāng)于

園孔，通過圓孔時產(chǎn)生衍射）

孔的夫朗和費(fèi)衍射

1、現(xiàn)象及規(guī)律

1）現(xiàn)象

小圓孔一單色平行光垂直照射圓孔

一透鏡一屏幕一環(huán)形衍射斑

一中央亮斑或愛里斑（光強(qiáng)84%）-

外圍一組同心暗環(huán)和明環(huán)

2）規(guī)律

通過計算可得（證明從略）第一級

暗環(huán)衍射角8滿足

式中：〃為圓孔的直徑，愛里斑的

角半徑衍射角8

若遠(yuǎn)鏡焦距f較大，此角很小，故:

□

OjxsinOj=7.22—

(18-12)

可知愛里斑半徑d為h

0

d=/tan4=1.225/

（上式看出：衍射孔〃愈大，愛里斑

愈??；光波波長丸愈短，愛里斑也愈?。?/p>

二光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)

光學(xué)儀器觀察一放大能力一分辨

本領(lǐng)一放大清晰可見

兩個物點(diǎn)距離太近一光的衍射限

制了光學(xué)儀器分辨本領(lǐng)。

1、瑞利準(zhǔn)則：

如果一個愛里斑中心（光強(qiáng)最大，設(shè)

為I。）正好和另一個愛里斑第一級暗環(huán)

重

疊，重疊部分的中心光強(qiáng)1=0.8Io,

這時恰好能辨別出這是兩個物點(diǎn)的象。

兩物點(diǎn)恰能分辨時，兩愛里斑中心距

離是愛里斑的半徑do

60——=tan，=sm0x=1.22——

因此，兩相鄰物點(diǎn)最小分辨角等于

里斑的角半徑:

□

33=6.=1.22—

D

(18-13)

光學(xué)儀器的分辨率為:

1D

R=

331.22>L

（18-14）

（表明：分碑率大小與儀器的孔徑

〃成正比，與入射光波波長成反比）

例如:天文望遠(yuǎn)鏡用大口徑物鏡提高

分辨率（直徑8m）。

電子顯微鏡用波長短的射線提

高分辨率（幾十萬伏高壓產(chǎn)生電子波，

波長約為可對分子、

原子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察。

例18.2通常人眼瞳孔直徑約3mm,人

最敏感波長為550nm黃綠光,

問:人眼的最小分辨角多大?

在上述條件下，若有一個等號,

兩條線間距為1mm,

問：等號距離人多遠(yuǎn)處恰能分

辨出不是減號。

解：人眼的最小分辨角:

ucc550x10"

66=6、=1.22—=1.22x-----------

1D3x10-3

=2.24x10-4(94)。1，

設(shè)等號間距為d,距離人為X,等

e_d

號對人眼的張角為U1,恰能分辨時

有：

O=-=30

JC

于是，恰能分辨時的距離為：

d1.0x10—3

x=----=-----------------=4.5("

se2.24x10—4

§18-3光

柵衍射

（雙/色干涉和單縫衍射條紋

間距太小，亮度很暗，不易觀測）

平面透射光柵：由一系列平行、等寬

又等間隔的狹縫排列構(gòu)成（柵欄式）。

它能獲得間距較大、

極細(xì)極亮的衍射條紋，便于精密測量。

a..J

h..

圖18-8

a—透光部分的寬度一-光柵縫

寬，b--不透光部分寬度，

d=a+b__光柵常數(shù)（可達(dá)微

米的數(shù)量極）

如：在1cm寬玻璃片上刻痕為1千條,

則光柵常數(shù)

]

5

a+b=------cm=10-m-

1000，

般d約為ICT一一10、的數(shù)量級。

-光柵方程

當(dāng)平行光垂直入射光柵，各縫發(fā)出各

自單縫衍射光，沿衍射角。方向通過

透鏡

會聚到焦平面觀察屏心多光束干涉

—光柵衍射—單縫衍射和多縫干涉的

總效果。

光柵方程:

相鄰兩縫衍射光在尸點(diǎn)光程差為：

3=(a+b)sinO

光柵衍射主極大(主明紋)滿足條

件：

(q+Z?)sin0=±kA

(k=0,l,2,…)(18-15)

——光柵方

程

二光柵衍射光強(qiáng)的分

布特點(diǎn)

1、k級主極大的角位置：

從光柵方程可知：

2

sinO=±k

ka+b

(18-16)

注意:

光柵常數(shù)。+人可達(dá)到"2數(shù)

量級，由于波長也是依量級，所以主

極大的

衍射角不一定很小(可達(dá)3。。、

60°)

說明:

*光柵可實現(xiàn)大角度衍射，光柵

衍射條紋的間距大，易于實現(xiàn)精密測量。

*光柵衍射條紋的級次往往有

限，光柵衍射主極大的最高級次:

一a+5

Zzc<-----------

(18-17)

例如：某光柵每毫米有一千條

縫，貝+b=

若光波長

2=600nm,則屏上只能出現(xiàn)0和±1

級共三條明紋。

*計算時不能如同雙縫和單縫那

樣認(rèn)為有夕=sinO—tanOo

*條紋之間也不一定是等間距分

布，要具體分析。

2、光柵衍射光強(qiáng)主要集中在主極

大，次級明紋光強(qiáng)很弱（暗區(qū)）

1）光柵暗紋的條件

各狹縫所射出的光都由于

自身的衍射而抵消，形成暗條紋

asin0—±kA

（k=1,2,3,……）

由于N條狹縫所發(fā)出的光的

干涉而形成暗條紋

N（a+b）sin0—±kfA

（院=123,..…不包括N,2N.......）

可見：

在光柵兩個主極大明紋間有N-1

個暗紋，還有％-2個光強(qiáng)很弱的

次級明紋，

通常光柵縫數(shù)〃很大，次級明紋很

多，實際上形成一片黑暗的背景，光柵

的暗

區(qū)特別寬。

3.單縫衍射調(diào)制下的多縫干涉光

強(qiáng)分布

可證明在屏上形成的光強(qiáng)分布是單

縫衍射調(diào)制下多縫干涉光強(qiáng)分布。

（圖：四縫光柵的光強(qiáng)分布曲線）

'I

（a）單縫衍射（力多縫

干涉（。）光柵衍射

三缺級現(xiàn)象

1v缺級現(xiàn)象:

當(dāng)多光束干涉某一級主極大位置恰

好落在單縫衍射暗紋中心處，這一級主

極大

將在屏上消失，稱為缺級。

2、缺級條件:

由單縫衍射的極小條件

々sin夕=k'A

多縫干涉的主極大條件

(a+b)sinO=kA

兩式相除得：

a+bk

akf

(18-18)

a+b

即若一3一為整數(shù)比

k

不時，發(fā)生缺級--缺級條件

(多縫干涉k級主極大恰為單縫衍射

級暗紋位置，A級主極大將不出現(xiàn))

a+b_k

如果a=%7，則必有

a+b_2k_3k

a—2^一而一....’

即此時k,2k,3k…”?這些級次的

主極大都將缺級。

例如:

a+b2

a/時，2、4、6、8....等

級次的主極大不再出現(xiàn)，發(fā)生缺級。

_a__+__b=一3或f一3

a12時，3、6、9、12……

等級次的主極大出現(xiàn)缺級。

見光柵光譜

1）線狀光譜:

單色光在光柵上的衍射形成一系列

明亮的線狀主極大。

2）光柵光譜：

若入射光為復(fù)色光，不同波長同一望

主歌懿翻同，衍射光強(qiáng)按波長展

開。

設(shè)：波長范圍為小?冬，并設(shè)4<小，

按(18-16)式：

為光的A級主極大在：

74

sin即=土左六

丸2光的次級主極大在

sin02k二

a+b

其他波長k級主極譽(yù)上髯

——構(gòu)成k級光譜(角追圍在

O~)?！?/p>

對l于k同一級主極大，波長較上贊里

衍射角度大，所以完整光譜最圖或次

決:長較長的譜線的最高級次’按

(18-17)式為:

a+b

k<

4

（如果波長范較大,相鄰的兩級光

譜容易發(fā)生重疊而顯得不清晰）

A級光譜不重疊的條件是；

°2k—）

按（18-16）式

左--〈（左+1）4—r組才壬

a-\-ba-\-b，可得不重

疊光譜條件為：

k<4

丸2

例如:對于白光，4二400nm,

4=70冊相，可算得人工怖。

（即不重疊光譜的級次只

有1級）

例18.3有一四縫光柵(如圖)，縫寬為

a,光柵常量d=2a9其中1縫

總是開的，

而2,3,4縫可以開也可以關(guān)

閉，波長為2的單色平行光垂直

入射光柵。

試畫出下列條件下，光柵衍射

的相對光強(qiáng)分布7；比,曲

線。

(1)關(guān)閉3,4縫；

(2)關(guān)閉2,4縫;

(3)4條縫全開。

L

iA

2

o

3

4

(a)四縫光柵

r、、

(c)

（力相對光強(qiáng)分布曲

線

解（1）關(guān)閉3,4縫時，四縫光柵變?yōu)?/p>

雙縫，雙縫可看作最簡單光柵。

由于d/〃=2,第二級主極大紋

缺，

所以在中央極大包線內(nèi)共有0、

士1級共3條譜線。

(2)關(guān)閉2,4縫時，仍為雙縫，但

光柵常量d變?yōu)閐=4a,

即d'/〃=4,因而在中央極大包

線內(nèi)共有7條譜線。

(3)4條縫全開時，dla-29中央極

大包線內(nèi)共有3條譜線，

與(1)不同的是主極大明紋的

寬度和相鄰兩主極大之間的光強(qiáng)

分布不同。

(注意三種情況下都有缺級

現(xiàn)象)

§18-4X

射線衍射

X射線—倫琴射線(倫琴一1895年

-1901年諾貝爾物理學(xué)獎)：

x射線的產(chǎn)生方法和特點(diǎn)

1、x射線產(chǎn)生的方法

X(!)線

W川卜

由高壓加速電子撞擊金屬陽極時輻射

出一種射線。

9又射縛痔占

1)X需線具,很高的穿透本領(lǐng)。

2)x射線也是一種電磁波，波長在

0.Olnm到10nm間，與原子尺度相近。

二、X射線衍射的勞厄?qū)嶒?/p>

（X射線既是電磁波就應(yīng)該有干涉和衍

射現(xiàn)象，當(dāng)時使用衍射光柵常數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大

于X射

線波長，不可能觀察衍射現(xiàn)象）

1、勞厄?qū)嶒炘?/p>

晶體空間點(diǎn)陣：原子、分子或離子有

著規(guī)則的、周期性的空間排列-一天然光

柵。

（粒子間距級小，

約為0.Inm數(shù)量級）

用下面裝置來觀察x射線衍射

單晶片照象底片

(a)

2、勞厄斑點(diǎn)

穿過鉛板小孔X射線投射晶體薄片，

后面放一張照相底片，經(jīng)過暴光，底片

上顯

現(xiàn)許多規(guī)則排列的斑點(diǎn)。它說明在某

些確定方向上x射線干涉加強(qiáng)，在照相

上感光形成斑點(diǎn)，在其它方向上，干

涉減弱，不出現(xiàn)x射線。

三、晶體衍射的布喇格公式

把晶體看成是由一系列彼此相互平

行的原子（或分子、離子等）層重疊所組

成的。

當(dāng)X射線照在原子上，按惠更斯原

理，這些原子就成為子波波源，向名方

向發(fā)

出子波。

1、布喇格公式推導(dǎo)：

d一晶格常數(shù)，夕一掠射角（入射

波與晶面夾角），。一散射波與晶面夾

角

看同一晶面組中同一層晶面：相鄰

兩點(diǎn)散射線間的光程差為：

6=AD—BC=—coscp)

人射波

(a)

當(dāng)。=e,左=。時，光程差為零

干涉加強(qiáng)條件一一晶面反射方向

形成強(qiáng)度最大衍射光其他級別衍

射光都很弱一一晶面對射線的“反射”。

x射線穿透力強(qiáng)一可進(jìn)入晶體反射一

一反射光也要相互干涉。

看同一個晶面組中相鄰兩個晶面：相

鄰兩個晶面上的反射

光的光程差為：

d=AC+CB=2dsin3

（考慮到X射線在介質(zhì)中幾乎不發(fā)生

偏轉(zhuǎn)，取折射率"=/）

如果光程差滿足干涉加強(qiáng)的條件：

8=2dsinO=kA（4

=1,