北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

大興區(qū)2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期期中檢測

數(shù)學(xué)比卷

1.本試卷共4頁，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級、姓名和準(zhǔn)考證號.

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.直線無+y—i=°的傾斜角的正切值為（）

A.-1B.1

C.0D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系求得傾斜角，進(jìn)而求得其正切值.

371

【詳解】直線x+y-l=0斜率為-1,傾斜角為衛(wèi)，

4

3兀

所以tan衛(wèi)=一1.

4

故選：A

2.已知兩個向量。=（1,一1」）力=（2,也2）,且。_|_"，則"=（）

A.-2B.2

C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得加.

【詳解】由于

所以a?b=（1,—1,1）?（2,租,2）=2-初+2=0,初=4.

故選：C

3.過點M（—2,a）,N（a,4）的直線的斜率為:，則|AfN|=（）

A.2B.275

C.4D.472

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)斜率列方程，求得。，進(jìn)而求得

a—41

【詳解】依題意，-----二—,解得〃=2,

-2-a2

所以M（—2,2）,N（2,4）,所以|MN|=j42+22=2百

故選：B

4.圓f+（y+2）2=1關(guān)于X軸對稱的圓的方程為（）

A.x2+（y+2）2=1B.（x+2）2+y2=1

C.（x+2）2+（y-2）2=1D.f+G-2）2=1

【答案】D

【解析】

【分析】確定出已知圓的圓心關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)，結(jié)合已知圓的半徑則對稱圓方程可知.

【詳解】圓爐+（丁+2）2=1的圓心為（0,—2）,半徑為1,

因為（0,—2）關(guān)于x軸對稱的點為（0,2）,

所以對稱圓的方程為尤2+（y—2『=1,

故選：D

5.若d=（l,l，-2）是直線/的方向向量，72=（-1,3,0）是平面a的法向量，則直線/與平面a的位置關(guān)系

是（）

A.直線/在平面a內(nèi)B.平行C.相交但不垂直D.垂直

【答案】C

【解析】

【分析】先判斷d與〃是否共線或垂直，即可得出結(jié)論.

【詳解】V6?=（1,1,-2）,“=（一1,3,0）,假設(shè)存在實數(shù)3使得d=左〃，則（1,1,—2）=左（一1,3,0）,

1=-k

即1=3左n左無解.不存在實數(shù)左，使得”=左〃成立，因此1與a不垂直.

-2=k-0

由d大=。,1,一2》（—1,3,0）=—1+3+0=220,可得直線1與平面a不平行.

因此直線1與平面a的位置關(guān)系是相交但不垂直.

故選：C

【點睛】本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、線面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知直線x+2y—4=0與直線2%+切+加+3=0平行，則它們之間的距離為（）

A.6B.V10C.垣D.

22

【答案】C

【解析】

zw—4=0

【分析】根據(jù)直線x+2y—4=0與直線2%+72+加+3=0平行，由1，解得加，然后利用兩

m+3^4

平行線間的距離.

【詳解】因為直線x+2y—4=0與直線2%+切+機(jī)+3=0平行,

m-4-=0

所以C

m+3^4

解得m=4,

7

因為直線x+2y—4=0與直線工+2丁+萬=0

所以它們之間的距離為I—字=空.

a+222

故選：c

【點睛】本題主要考查兩直線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.在平行六面體A3CD-A31G2中，AB^AD^A^^l,ZBAD=ZBA^=ZDA^=60,則

AG的長為（）

A.73B.76

C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】依題意，AC^AB+AD+AA,,

所以AC：++=AB?+AD'+AA12+2^AB-AD+AB-A\+AD-AA^

=l+l+l+2x|lxlx—+lxlx—+lxlx—|=6

V222j

所以|AG卜JG.

故選：B

8.已知圓0:/+y2=i,過直線3x+4y-10=0上的動點尸作圓0的一條切線，切點為A,則|用的

最小值為（）

A.1B.72C.亞1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】連接尸。，=|「?！阂划a(chǎn)，當(dāng)|po|最小時，|尸山最小，計算點到直線的距離得到答案.

【詳解】如圖所示：連接尸O,則|P4「=|PO「f2,

,,-10

當(dāng)|P0|最小時，|24|最小,\PO\.='——L=2,

1lnun7?77

故1PH的最小值為萬二7=6.

故選：C.

9.已知點C（2,0）,直線依一y+fe=0（左W0）與圓（x—爐+（y—=2交于A,8兩點，則“△ABC為

等邊三角形”是“k=l”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】當(dāng)VABC為等邊三角形時，求出斜率左的值，當(dāng)左=1時，判斷VABC的形狀，即可選出答案.

【詳解】設(shè)圓心為。，易知0（1,1）,半徑廠=0,

當(dāng)VABC為等邊三角形時，CDLI,而左°=土土=—1,

-1

因為左co?左=一1,所以左=1,

當(dāng)上=1時，直線/為：x—y+l=O,而左8=2^=一1，

-1

所以左s?左=-1,所以C。，/,所以VA5C為等腰三角形,

因為|。|=^（2-1）2+12=V2，

圓心到直線/的距離為1=山=交，即回二，

V1+12d1

所以圓心。為7ABe的重心，同時也是VABC的外心，

所以VA3C為等邊三角形，

所以“VA3C為等邊三角形”是“k=l”的充要條件，

故選：A.

10.如圖，放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整體是一個圓形，且黑色陰影區(qū)域與白色區(qū)域關(guān)于原點中心對

稱，其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓.已知直線/：，=a%-2）.給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)。=0時，若直線/截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為H，邑（S]2邑），則工：星=3:1；

4

②當(dāng)。=——時，直線/與黑色陰影區(qū)域有1個公共點；

3

③當(dāng)ac[-1,1]時，直線/與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】由題知根據(jù)直線：/：y=a（x-2）過定點（2,。），。為直線的斜率根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系作圖，數(shù)

形結(jié)合逐項分析判斷即可得解.

【詳解】如圖1所示，大圓的半徑為2,小圓的半徑為1,

所以大圓的面積為4兀，小圓的面積為兀.

對于①，當(dāng)。=0時，直線/的方程為>=0.

TT37r7TTT

此時直線/將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分S[=兀+2=四，S2=n--=-,

2222

所以d：S2=3:l,故①正確.

對于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為f+G—l)2=l(x>0),

44

當(dāng)。=—耳時，直線的方程為/:y=—§(x—2),即4x+3y—8=0,

|3-8|

小圓圓心(0,1)到直線I的距離d=,所以直線/與該半圓弧相切,

A/42+32

所以直線/與黑色陰影區(qū)域只有一個公共點，故②正確.

對于③，當(dāng)時，如圖3所示，

直線/與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點，

當(dāng)。=1時，直線/與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個公共點(0,-2),故③錯誤.

綜上所述，①②正確.

故選：A.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知4(1,1),5(2,2),三點共線，則〃=.

【答案】0

【解析】

【分析】先確定直線A3,AC斜率存在，然后根據(jù)三點共線可知左鉆=的一結(jié)合斜率的計算公式可求結(jié)果.

【詳解】因為所以直線A5AC斜率存在，

因為A3,。三點共線，所以左股=七一

2-11-n

所以——=-解得九=0,

2-11-0

故答案為：0.

12.已知圓C:尤2+y2_2x+4y+a=0,則圓心C坐標(biāo)為,當(dāng)圓C與V軸相切時，實數(shù)。的值

為.

【答案】?.(1,-2).②.4.

【解析】

【分析】首先將圓的一般方程進(jìn)行配方運(yùn)算，得到標(biāo)準(zhǔn)方程(x-l>+(y+2)2=5-a,從而求得圓的圓心

坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，即圓心到y(tǒng)軸的距離即為圓的半徑，從而求得。的值.

詳解】由x?+/一2x+4y+a=0,酉己方得(x-l)?+(y+2)?=5-a,

所以圓心C的坐標(biāo)為(1,-2)；

當(dāng)圓C與V軸相切時，則有加-a=1，解得a=4；

故答案是(1,-2),4.

【點睛】該題考查的是有關(guān)圓的問題，涉及到的知識點有圓的一般方程向圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化，由圓的方

程得到圓的圓心坐標(biāo)，圓與直線相切時滿足的條件，即為圓心到切線的距離為圓的半徑，從而建立相應(yīng)的

等量關(guān)系式，求得結(jié)果.

13.已知平面a過點0(0,0,0),A(2,2,0),3(0,0,2)三點，直線/與平面a垂直，則直線/的一個方向向量

的坐標(biāo)可以是.

【答案】(L—1,0)(答案不唯一)

【解析】

【分析】先求解出平面a的法向量，然后根據(jù)位置關(guān)系判斷出方向向量與法向量的關(guān)系，由此可知方向向

量的結(jié)果.

【詳解】設(shè)平面a的法向量為n=（九,y,z）,

因為04=（2,2,0）,05=（0,0,2）,

n_LOAn-OA-02x+2y=0

所以《，所以,所以＜

nlOBn-OB—02z=0

取x=l,所以〃=（1,一1,0），

又因為直線/與平面a垂直，所以直線/的方向向量與平面2的法向量共線,

所以可取方向向量為（1,-L0）（不唯一，非零共線即可）,

故答案為：。，-L0）（答案不唯一）.

14.直線x—2y+2=0和2x+y—6=0與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的四邊形的面積為

【答案】4

【解析】

【分析】先分別求解出直線與坐標(biāo)軸的正半軸交點坐標(biāo)，然后求解出兩直線的交點坐標(biāo)，結(jié)合割補(bǔ)法求解出

四邊形面積.

【詳解】令2x+y—6=0中y=0,得x=3,所以與左軸交于A（3,0）,

令x—2y+2=0中尤=0,得y=l,所以與V軸交于8（0,1）,

2%+y-6=0卜=2

由＜"可得|y=2，所以兩直線交于尸（2,2）,

[x-2y+2=0

所以圍成的四邊形面積為S=0+2）x2+2x（3-2）=4,

22

故答案為：4.

15.如圖，在正方體ABC。—AgG2中，AB=2,E為8片的中點，/為棱CQ（含端點）上的動

點，給出下列四個結(jié)論：

①存在尸，使得BFLDE；

②存在F,使得男尸//平面AED；

③當(dāng)F為線段CQ中點時，三棱錐4-EED的體積最小;

④當(dāng)廠與。重合時，直線EF與直線4。所成角的余弦值最小.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②④

【解析】

【分析】先建立合適空間直角坐標(biāo)系，設(shè)廠（2,2,書（加40,2]）,對于①：根據(jù)防"=0求得加的值并判

斷是否正確；對于②：考慮尸與C重合時的情況；對于③：根據(jù)匕711ELL.1FLyD=~CxS7.1]2E_zZD.zxd,分析d的最小值

即可判斷；對于④：利用向量法先表示出卜OS石孔人”，然后結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)求解出最小值并

判斷

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)F（2,2,m）（me[0,2]）,

①：因為5（2,0,0）,￡＞（0,2,0）,石（2,0,1）,所以防=（0,2,加），￡＞￡=（2,-2,1）,

當(dāng)5尸，DE時，BFDE=-4+m=0＞解得m=4,不符合題意，故①錯誤;

②：當(dāng)E與C重合時，

因為4用//即，4g=ED,所以四邊形4片網(wǎng)）為平行四邊形,

所以四///4。，且用/（z平面4即，aou平面4瓦），

所以4P//平面AED,故②正確；

設(shè)廠到平面AE。的距離為△，

所以匕上所。=%_4即=S4即xd,且S&EZ）為定值,

所以當(dāng)d最小時，三棱錐A-石尸。的體積最小，

因為4（。,。,2）,。（0,2,0）,石（2,0,1）,所以4。=（。,2,—2），4￡=（2,0,—1）,

設(shè)平面4皮）的法向量為“二（x,y,z）,

一z二

所以，取x=l,所以加二（1,2,2）,

2x-z=0

n-AXE-0

\DF-n\_2+2m

又。尸=（2,0,間，所以d=

當(dāng)口=0時d有最小值，故③錯誤；

④：設(shè)直線所與直線4。所成角為。，

因為郎=（0,2,加一1），40=（0,2,—2）,

n|“.八I|4-2（m-l）|3-m

所以cose=cosEF,AD=J==/,=

^4+（m-l）-2A/2V2m--4m+10

令3—/e[l,3],所以7〃=3—f,所以

cos0=-,'=一,/=—,1=

j2（37『-4（37）+10V2r-8?+16

,11,,所以：=1時J16p-+1取最大值，此時cos?取最小值,

因為一e—,l

t[_3

此時/=1,772=2,即尸與q重合，故④正確；

故答案為：②④.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是向量法的使用，將①中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計算，將③中的

體積問題轉(zhuǎn)化為點到面的距離問題并用向量法完成計算，將④中的異面直線所成角轉(zhuǎn)化為直線方向向量所

成角進(jìn)行計算.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知平面內(nèi)兩點A(8,—6),3(2,2).

(1)求A3的中垂線方程；

(2)求過點尸(2,-3)且與直線AB平行的直線/的方程.

【答案】(1)3x—4y—23=0；(2)4.r+3y+l=0.

【解析】

【詳解】試題分析：

(1)首先求得中點坐標(biāo)，然后求得斜率，最后利用點斜式公式即可求得直線方程；

(2)利用點斜式可得直線方程為4x+3y+1=0.

試題解析：

(1)手=5，二—=—2的中點坐標(biāo)為(5,—2)

-6-243

k=——=一一，的中垂線斜率為2

AAB8-234

由點斜式可得y+2=彳(x—5)，48的中垂線方程為3%—4y—23=0

(2)由點斜式y(tǒng)+3=—：(x—2)直線/的方程4x+3y+l=0

17.己知圓C的半徑為2,圓心在左軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)求直線/：x—2y+2=0與圓C相交的弦長.

2

【答案】(1)(X-2)+/=4;(2)半.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線與圓相切，應(yīng)用點線距離公式求圓心坐標(biāo)，寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長即可.

【詳解】(1)令圓心為(陽0)且無＞0,

I3X+4I

由圓與3x+4y+4=0相切，有?§=2,即可得x=2.

:.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+丁=4.

(2)由(1)知：C(2,0),廠=2,

,4

...C到直線x—2y+2=0距離為4=方

直線/與圓C相交的弦長為2,,一=2xjl—?

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，上4,平面ABC。，AB±BC,ABLAD,且

PA=AB^BC=-AD=2.

(1)求直線PB與直線CO所成角的大??；

(2)求直線與平面B4C所成角的正弦值.

TT

【答案】(1)-

3

⑵叵

5

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得直線網(wǎng)與直線CD所成角的大小.

(2)利用向量法來求得直線與平面B4C所成角的正弦值.

【小問1詳解】

由于24_L平面ABC。，AB,ADu平面ABC。，所以AD,

由于A?_LAr),所以AB,AD,AP兩兩相互垂直.

以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

網(wǎng)0,0,2),5(2,0,0),。(2,2,0),。(0,4,0),

PB=(2,0,-2),CD=(-2,2,0),設(shè)直線PB與直線CD所成角為a,

PBCD41

則cosa=|一n——,

PB-\CD2后x2行2

【小問2詳解】

PD=（0,4,-2）,AC=（2,2,0）,AP=（0,0,2）,

設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z),

n?AC=2x+2y=0

則,故可設(shè)"=（1,—1,0），

n-AP=2z=0

設(shè)直線PD與平面出。所成角為。,

PD-n4_V10

則sin6=

HR275x72-5

19.已知圓。過&(4,1),8(0,1),“(2,3)三點,直線/:y=x+2.

(1)求圓C的方程；

(2)求圓C關(guān)于直線/對稱的圓C的方程；

(3)若尸為直線/上的動點，。為圓C上的動點，。為坐標(biāo)原點，求|。尸|+|尸。|的最小值.

【答案】(1)(x-2)2+(y-l)2=4

(2)(X+1)2+(J-4)2=4

(3)717-2

【解析】

【分析】(1)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點的坐標(biāo)求解出參數(shù)則圓的方程可知；

(2)根據(jù)斜率關(guān)系和中點關(guān)系求解出對稱點C的坐標(biāo)，結(jié)合對稱圓的半徑不變求解出圓C的方程;

（3）根據(jù)圓外一點到圓上點距離的最值可知|“+歸。|習(xí)OH+|PC|-2,然后利用對稱關(guān)系將

\OP\+\PC\轉(zhuǎn)化為QH+|PC[,結(jié)合三點共線可求最小值.

【小問1詳解】

設(shè)圓的方程為（X—+（y—人）2=/（廠>0）,代入A（4,l）,B（0,l）,M（2,3）,

a）。。-A）?=/卜=2

則<（一。）",解得<。=1,

（2—4+（3—A?=#[r=2

所以圓C的方程為（x-2）2+（y—1）2=4；

【小問2詳解】

設(shè),

n-1,?

------xl=-1

m—2m=—]

由對稱關(guān)系可知<解得彳_4，所以C（T，4），

〃+1m+2石

——二--+2

I22

又因為對稱圓的半徑不變，

所以C'的方程為（x+l）2+（y—4）2=4；

【小問3詳解】

因為耳3+忸。|_2,

由（2）可知C關(guān)于直線/的對稱點為C,

所以+1PC|=IOP|+1PC[習(xí)OC[=Vl+16=V17,

當(dāng)且僅當(dāng)。P,C共線時取等號,

所以QH+|PQ|NJI7-2,即|OP|+|P0的最小值為JI7—2.

20.在四棱錐P—A5C。中，底面ABC。是正方形，。為的中點，PA±AD,PA=AB=2,再從

條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知.

（1）求證：平面ABCD；

（2）求平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值;

（3）求點3到平面ACQ的距離.

條件①：平面K4O,平面ABCD；

條件②：PA±AB.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

⑵顯

3

⑶孚

【解析】

【分析】（1）先選擇條件，然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理或線面垂直的判定定理來證得平面A3CD.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值.

（3）利用向量法求得點3到平面ACQ的距離.

【小問1詳解】

若選①，由于平面？平面ABCD,且交線為AD，PAu平面BLD，PA±AD,

所以24,平面ABC。.

若選②，由于以J_AB，PA±AD，ABAD=4,48,40<=平面48?！辏?

所以上4,平面ABC。.

【小問2詳解】

由(1)知上4,平面ABC。，ABYAD,AB,A。,AP兩兩垂直,

以A為原點，AB,ARAP分別所在的直線為蒼％z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,2）,4（0,0,。）,2（0,1,1）,C（2,2,0）,

所以AC=（2,2,0）,AQ=（0,1,1）

由(1)知平面ABCD的法向量A尸=(0,0,2),

n-AC-2x+2y=0

設(shè)平面ACQ的法向量為〃=(x,y,z),貝卜

n-AQ=y+z=0

x+y=0/、

即《y+；_0，令y=i，則〃

設(shè)平面ACQ與平面ABCD夾角的為6,

EnAPnI-2IA/3

則cos0=?r——=尸|==-，

\AP\-\n\|2x有3

所以平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值為走.

3

【小問3詳解】

由己知得3(2,0,0),AB=(2,0,0)