江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高三期初試卷數(shù)學(xué)2024.9注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】借助百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】由，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的運(yùn)算求出最后結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，，則.故選：B.3.已知，，，則的最小值為（）．A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.故選：B4.由數(shù)字2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先看一共能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，再看其中有多少偶數(shù),所占比例就是所求的概率.【詳解】將組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有種，而其中偶數(shù)有兩種情況：①以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種②以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有種，所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則.故選：A.5.若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出三棱錐的高，求出對應(yīng)線段長，通過體積公式得出三棱錐體積.【詳解】如圖，正三棱錐，，取中點(diǎn)，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C6.隨機(jī)變量服從若則下列選項(xiàng)一定正確的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可.【詳解】因?yàn)橛烧龖B(tài)分布的對稱性，可得，正態(tài)分布方差無法判斷，，，所以ABD錯(cuò)誤.故選:：C7.已知正方體的棱長為，點(diǎn)為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合圖形找出球心并計(jì)算出四面體外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的體積即可.【詳解】如圖：取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)榈睦忾L為的正方體，所以，且，所以四面體的外接球的球心為為，且外接球半徑，所以四面體的外接球的體積.故選：D.8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足，且，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.圖象關(guān)于對稱C.圖象關(guān)于對稱 D.為偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】由賦值法令可判斷A；由賦值法令可判斷B；由賦值法令，結(jié)合對稱性的性質(zhì)可判斷C；由賦值法令結(jié)合偶函數(shù)的定義可判斷D.【詳解】對于A，令，則，所以f1=0，故A正確；對于B，令，則，即，解得：或，因?yàn)?，所以，令，，所以，所以圖象不關(guān)于2,0對稱，故B錯(cuò)誤；對于C，令，則有即，故圖象關(guān)于1,0對稱，故C正確.對于D，令，則有即，即，即，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，C正確；對于D選項(xiàng)，，D正確.故選：CD.10.已知事件A與B發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用概率的運(yùn)算性質(zhì)，即可得出判斷.【詳解】對于A，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，不一定成立，故A錯(cuò)誤；對于B，由于，則，則，故B正確；對于C，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，也不一定成立，故C錯(cuò)誤；對于D，，故，故D正確；故選：BD.11.函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，區(qū)間，對于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（）A. B.C D.【答案】AD【解析】【分析】對A：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡即可得；對B：，舉出反例即可得；對C：，化簡即可得；對D：，化簡即可得.【詳解】對A：，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價(jià)于，化簡可得，故滿足題意，故A正確；對B：，，，取，，可得，，又，故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對C：，，，化簡得恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對D：，，，左右平方后化簡可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意答對的題目數(shù)滿足二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：某人參加考試，4道題目中，答對的題目數(shù)滿足二項(xiàng)分布，所以故答案為：13.已知二次函數(shù)從1到的平均變化率為，請寫出滿足條件的一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)fx=【詳解】設(shè)fx則，由題意知，解之得，顯然c的取值不改變結(jié)果，不妨取，則.故答案為：14.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖）．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是_______．【答案】【解析】【分析】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，求出勒洛四面體內(nèi)切球的半徑,即可得出結(jié)果．【詳解】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，由對稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，設(shè)正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算．（1）求一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式可求解；（2）的所有取值為80，85，90，利用古典概型概率公式可求分布列，進(jìn)而可求期望.【小問1詳解】從6張獎(jiǎng)券中，任取2張獎(jiǎng)券共有種選法，抽到的兩張獎(jiǎng)券相同的有3種選法，所以一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率為.【小問2詳解】的所有可能取值為80，85，90，，，，的分布列為：808590.16.如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）由中位線易證明四邊形平行四邊形，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到平面；（2）由題易知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，計(jì)算得解.【小問1詳解】如圖，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，是平面?nèi)兩條相交直線，平面，又平面，，所以兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A0,0,0，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=則，即，令，得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，，設(shè)二面角的平面角為，，則.所以二面角的正弦值為.17.我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（1）證明“三元不等式”：．（2）已知函數(shù)．①解不等式；②對任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)【答案】（1）見解析（2）①；②.【解析】【分析】（1）先證明，，，再將三式相加結(jié)合基本不等式即可證明；（2）①移項(xiàng)通分化為整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在0,+∞的最小值，可以將題意轉(zhuǎn)為在x∈0,+∞恒成立，即，解不等式即可得出答案小問1詳解】因?yàn)?，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），同理（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），三式相加可得：，又因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.【小問2詳解】①由可得：，所以，即，即，則，所以，解得：②因?yàn)楫?dāng)x∈0,+∞當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以當(dāng)x∈0,+∞對任意x∈0,+∞則，所以，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.18.在如圖所示的平行六面體中，，．（1）求的長度；（2）求二面角的大??；（3）求平行六面體的體積．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用空間向量的數(shù)量積公式與模長關(guān)系計(jì)算即可；（2）根據(jù)二面角的定義先作出其平面角，再利用空間向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，計(jì)算B到面的距離，結(jié)合柱體的體積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】根據(jù)圖形可知：，則；【小問2詳解】作，則等于二面角的一個(gè)平面角，因?yàn)?，，則，易知，所以，所以，即二面角的大小為；【小問3詳解】由（2）知平面，而四邊形的面積，則平行六面體的體積.19.已知函數(shù)．（1）函數(shù)是否具有奇偶性?為什么?（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，證明：．【答案】（1）函數(shù)不具有奇偶性（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義判斷即可.（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可.（3）由題知即有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，所以有兩個(gè)不等的正數(shù)根，可得，且，進(jìn)而