數(shù)學(xué)建模：投資問(wèn)題

PAGE投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題摘要對(duì)市場(chǎng)上的多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的設(shè)計(jì)需要考慮兩個(gè)目標(biāo)：總體收益盡可能大和總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，而這兩個(gè)目標(biāo)在一定意義上是對(duì)立的。本文我們建立了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并通過(guò)“最大化策略”，即控制風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，將原模型簡(jiǎn)化為單目標(biāo)的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風(fēng)險(xiǎn)最小為目標(biāo)，將原模型簡(jiǎn)化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入收益——風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)加權(quán)，化原模型為單目標(biāo)非線性模型模型三。然后分別使用Matlab的內(nèi)部函數(shù)linprog，fminmax，fmincon對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)水平，收益水平，以及偏好系數(shù)求解三個(gè)模型。關(guān)鍵詞：組合投資，兩目標(biāo)優(yōu)化模型，風(fēng)險(xiǎn)偏好問(wèn)題重述與分析市場(chǎng)上有種資產(chǎn)（如股票、債券、…）()供投資者選擇，某公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買的平均收益率為，并預(yù)測(cè)出購(gòu)買的風(fēng)險(xiǎn)損失率為?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。購(gòu)買要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購(gòu)買額不超過(guò)給定值時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買計(jì)算（不買當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是,且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。（）1、已知時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：資產(chǎn)收益率(%)風(fēng)險(xiǎn)率(%)交易費(fèi)(%)閥值(元)282.51103211.52198235.54.552252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。2、試就一般情況對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行討論，并利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。資產(chǎn)收益率(%)風(fēng)險(xiǎn)率(%)交易費(fèi)(%)閥值(元)9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55427014393.439740.7685.617822033.653.32.747536.8402.924811.8315.119595.55.732035462.72632815237.6131本題需要我們?cè)O(shè)計(jì)一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。并給出對(duì)應(yīng)的盈虧數(shù)據(jù)，以及一般情況的討論。這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，要決策的是每種資產(chǎn)的投資額，要達(dá)到目標(biāo)包括兩方面的要求:凈收益最大和總風(fēng)險(xiǎn)最低，即本題是一個(gè)雙優(yōu)化的問(wèn)題，一般情況下，這兩個(gè)目標(biāo)是矛盾的，因?yàn)閮羰找嬖酱髣t風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)隨著增加，反之也是一樣的，所以，我們很難或者不可能提出同時(shí)滿足這兩個(gè)目標(biāo)的決策方案，我們只能做到的是：在收益一定的情況下，使得風(fēng)險(xiǎn)最小的決策，或者在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，使得凈收益最大，或者在收益和風(fēng)險(xiǎn)按確定好的偏好比例的情況下設(shè)計(jì)出最好的決策方案，這樣的話，我們得到的不再是一個(gè)方案，而是一個(gè)方案的組合，簡(jiǎn)稱組合方案。設(shè)購(gòu)買Si（i=0,1…….n;S0表示存入銀行，）的金額為xi;所支付的交易費(fèi)為ci(xi)，則：對(duì)Si投資的凈收益為:（i＝0，1，…，n）對(duì)Si投資的風(fēng)險(xiǎn)為:（i＝0，1，…，n），q0=0對(duì)Si投資所需資金（即購(gòu)買金額xi與所需的手續(xù)費(fèi)ci(xi)之和）是（i＝0，1，…，n）投資方案用x=（x0，x1，…，xn）表示，那么，凈收益總額為：總風(fēng)險(xiǎn)為：=所需資金為：所以，總收益最大，總風(fēng)險(xiǎn)最小的雙目標(biāo)優(yōu)化模型表示為：但是像這樣的雙目標(biāo)模型用一般的方法很難求解出來(lái)的，所以經(jīng)過(guò)分析把次模型轉(zhuǎn)化為三種較簡(jiǎn)單的單目標(biāo)模型。3.假設(shè)與模型假設(shè)該公司在這一時(shí)期內(nèi)是一次性投資；除交易費(fèi)和投資費(fèi)用外再無(wú)其他的費(fèi)用開(kāi)支；在這一時(shí)期市場(chǎng)發(fā)展基本上是穩(wěn)定的；外界因素對(duì)投資的資產(chǎn)無(wú)較大影響；無(wú)其他的人為干預(yù)；社會(huì)政策無(wú)較大變化；公司的經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)投資無(wú)較大影響資產(chǎn)投資是在市場(chǎng)中進(jìn)行的，市場(chǎng)是復(fù)雜多變的，是無(wú)法用數(shù)量或函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確描述的，因此以上的假設(shè)是必要的，一般說(shuō)來(lái)物價(jià)變化具有一定的周期性，社會(huì)政策也并非天天改變，公司自身的發(fā)展在穩(wěn)定的情況下才會(huì)用額外的資金進(jìn)行較大的風(fēng)險(xiǎn)的投資，市場(chǎng)與社會(huì)的系統(tǒng)發(fā)展在一個(gè)時(shí)期內(nèi)是良性的、穩(wěn)定的，以上假設(shè)也是合理的。3.1模型a假設(shè)投資的風(fēng)險(xiǎn)水平是k,即要求總風(fēng)險(xiǎn)Q（x）限制在k內(nèi)，Q（x），則模型可轉(zhuǎn)化為：maxs.t3.2模型b假設(shè)投資的收益水平是h，即凈收益總額不少于h：≥h，則模型可轉(zhuǎn)化為：s.t3.3模型c假設(shè)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的相對(duì)偏好參數(shù)為ρ（≥0），則模型可轉(zhuǎn)化為：s.t.3.4模型求解及分析由于交易費(fèi)ci(xi)是分段函數(shù)，使得上述模型中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件相對(duì)比較復(fù)雜，是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，難于求解.但注意到總投資額M相當(dāng)大，一旦投資資產(chǎn)Si，其投資額xi一般都會(huì)超過(guò)ui，于是交易費(fèi)ci(xi)可簡(jiǎn)化為線性函數(shù)從而，資金約束簡(jiǎn)化為凈收益總額簡(jiǎn)化為在實(shí)際進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可設(shè)M=1，此時(shí)=（）（i＝0，1，…，n）可視作投資Si的比例.以下的模型求解都是在上述兩個(gè)簡(jiǎn)化條件下進(jìn)行討論的.1）模型a的求解模型a的約束條件Q(x)≤k即≤k，所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為（i＝0，1，…，n）.這時(shí)模型a可化簡(jiǎn)為如下的線性規(guī)劃問(wèn)題：具體到n=4的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：s.t（i＝0，1，…，4）利用matlab7.1求解模型a輸出結(jié)果是{0.177638,{x0->0.158192,x1->0.2,x2->0.333333,x3->0.0909091,x4->0.192308}}這說(shuō)明投資方案為（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）時(shí)，可以獲得總體風(fēng)險(xiǎn)不超過(guò)0.005的最大收益是0.177638M.當(dāng)k取不同的值（0~0.025），風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系見(jiàn)圖1.輸出結(jié)果列表如下：表1 模型1的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平k最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.4945450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000圖1 模型1中風(fēng)險(xiǎn)k與收益的關(guān)系結(jié)合圖1，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒(méi)有特殊偏好的投資者來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點(diǎn)（0.006，0.2019），這時(shí)對(duì)的投資比例見(jiàn)表1的黑體所示。從表1中的計(jì)算結(jié)果可以看出，對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的S2，然后是S1和S4，總收益較低；對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)水平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率（ri–pi）較大的S1和S2．這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的，這里給出了定量的結(jié)果．2）模型b的求解模型b本來(lái)是極小極大規(guī)劃：s.t.≥hx≥0但是，可以引進(jìn)變量xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：s.t,i=0,1,2,…,n,≥h,,x≥0具體到n=4的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：minx5s.t（i＝0，1，…，5）利用matlab7.1求解模型b，當(dāng)h取不同的值（0.1~0.25），我們計(jì)算最小風(fēng)險(xiǎn)和最優(yōu)決策,收益水平h取，結(jié)果如表2所示，風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系見(jiàn)圖2.從表2看出，對(duì)低收益水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的資產(chǎn)，然后是和，總收益當(dāng)然較低。對(duì)高收益水平，總風(fēng)險(xiǎn)自然也高，應(yīng)首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的。表2 模型2的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平k最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.07530.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600圖2 模型2中風(fēng)險(xiǎn)與收益h的關(guān)系結(jié)合圖2，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒(méi)有特殊偏好的投資者來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點(diǎn)（0.059，0.2），這時(shí)對(duì)的投資比例見(jiàn)表2的黑體所示。3）模型c的求解類似模型b的求解，我們同樣引進(jìn)變量xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：minρxn+1–（1–ρ）s.t,i=0，1，2，…，nx≥0具體到n=4的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：s.t（i＝0，1，…，5）利用matlab7.1求解模型c，當(dāng)ρ取不同的值（0.75~0.95），我們計(jì)算最小風(fēng)險(xiǎn)和最優(yōu)決策輸出結(jié)果列表如下：表3 模型3的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平最大收益率0.760.02480.267300.99010000.770.02480.267300.99010000.780.00920.216500.36930.6147000.790.00920.216500.36920.6148000.80.00790.210700.31510.52180.143100.810.00920.216500.36870.6154000.820.00740.208400.29570.49280.13440.05470.830.00790.210600.31390.52350.142500.840.0060.201700.23860.39730.10820.2260.850.0060.201600.23750.39670.10840.22750.860.00620.202600.24680.41130.07530.23720.870.00660.204500.26530.44220.00880.25520.880.00590.201700.23790.39640.10780.22790.890.0060.201700.2390.39370.10790.22940.90.0060.201800.23920.3980.10290.22990.910.00590.201700.2380.39580.10750.22870.920.00590.201600.23760.39610.1080.22840.930.00590.201600.23750.39630.1080.22820.940.00610.18470.1350.24360.33090.11060.15570.950.00590.201600.23760.3960.1080.22850.960.00170.09160.72560.06520.10650.03020.06410.970.00540.18480.1140.21410.35640.09740.192從圖5可以看出，模型3的風(fēng)險(xiǎn)與收益關(guān)系與模型1和模型2的結(jié)果幾乎完全一致。圖3 模型3中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系圖4模型3中風(fēng)險(xiǎn)與偏好系數(shù)的關(guān)系圖5 模型3中收益與偏好系數(shù)的關(guān)系四模型評(píng)價(jià)與推廣本文我們建立了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，通過(guò)控制風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，保證收益使風(fēng)險(xiǎn)最小，以及引入收益——風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)模型化為了單目標(biāo)模型，并使用matlab7.1求解，所得結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義。但是，本文沒(méi)有討論收益和風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估方法，在實(shí)際應(yīng)用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時(shí)，用最大風(fēng)險(xiǎn)代表組合投資的風(fēng)險(xiǎn)未必合理，因此，對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)度量下的最優(yōu)投資組合進(jìn)行比較研究是進(jìn)一步的改進(jìn)方向。五總結(jié)歷經(jīng)兩周的時(shí)間終于完成了這次課設(shè)，在這次實(shí)踐課程中，我真的遇到了不少的問(wèn)題，在同學(xué)，老師的幫助以及在圖書(shū)館和網(wǎng)站搜集資料，解決了所有遇到的問(wèn)題。尤其在問(wèn)題分析的過(guò)程中，是難度最大也是問(wèn)題最多的環(huán)節(jié)，感覺(jué)總是把問(wèn)題分析的不夠全面透徹，經(jīng)常顧及這個(gè)方面而忽視了另一方面，最后我請(qǐng)教了同學(xué)，終于完成了問(wèn)題分析并且建立了模型。在完成這一環(huán)節(jié)后，接下來(lái)的任務(wù)都是我獨(dú)立完成，也遇到了不少的困難，但都是較易解決的。通過(guò)這次實(shí)踐，我確實(shí)學(xué)到了不少，學(xué)會(huì)了使用MATLAB，也知道了分析問(wèn)題的方法。六參考文獻(xiàn)[1]MATLAB程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用。張錚等。北京：中國(guó)鐵道出版社，2003.10

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[4]數(shù)學(xué)建模教育及競(jìng)賽。甘筱青主編。南昌：江西高校出版社。2004.6[5] 蕭樹(shù)鐵，面向21世紀(jì)課程教材：大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：高等教育出版社，1999.7.[6]赫孝良，戴永紅等編著，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：賽題簡(jiǎn)析與論文點(diǎn)評(píng)，西安：西安交通大學(xué)出版社，2002.6.[7]陳叔平，譚永基，一類投資組合問(wèn)題的建模與分析，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，（29）7：45-49，1999.七附錄functionresult=qiujie()%data為表格數(shù)據(jù)data=[282.51103211.52198235.54.552252.66.540];data1=[9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55498.11.27.627014393.439740.7685.617831.233.43.122033.653.32.747536.8402.924811.8315.119595.55.732035462.72679.45.34.532815237.6131];data=[[5000];data]./100;%增加存銀行r=data(:,1);q=data(:,2);p=data(:,3);%%模型一求解%result=[];%fora=0:0.01:0.5%result=[result;moxing1(r,q,p,a)];%end%result=round(result.*10000)./10000;%plot(result(:,1),result(:,2))%gridon%xlabel('風(fēng)險(xiǎn))%ylabel('收益')%%模型二求解%result=[];%fork=0.1:0.01:0.4%result=[result;moxing2(r,q,p,k)];%end%result=round(result.*10000)./10000;%plot(result(:,1),result(:,2))%gridon%xlabel('風(fēng)險(xiǎn)')%ylabel('收益')%模型三求解result=[];fors=0.76:0.01:0.97result=[result;moxing3(r,q,p,s)];endresult=round(result.*10000)./10000;figure(1)plot(result(:,2),result(:,3))gridonxlabel('風(fēng)險(xiǎn)')ylabel('收益')pausefigure(2)plot(result(:,1),result(:,2))gridonxlabel('偏好系數(shù)')ylabel('風(fēng)險(xiǎn)')pausefigure(3)plot(result(:,1),result(:,3))gridonxlabel('偏好系數(shù)')ylabel('收益')functionresult1=moxing1(r,q,p,a)%線性規(guī)劃模型%r收益率，為列向量%p交易費(fèi)率，為列向量%q風(fēng)險(xiǎn)率，為列向量%a風(fēng)險(xiǎn)水平f=(p-r)';%轉(zhuǎn)為求極小n=length(q);I=eye(n);fori=2:nA(i-1,:)=q(i)*I(i,:);endb=a*ones