數(shù)學建模：投資問題

PAGE投資的收益與風險問題摘要對市場上的多種風險資產(chǎn)和一種無風險資產(chǎn)（存銀行）進行組合投資策略的設計需要考慮兩個目標：總體收益盡可能大和總體風險盡可能小，而這兩個目標在一定意義上是對立的。本文我們建立了投資收益與風險的雙目標優(yōu)化模型，并通過“最大化策略”，即控制風險使收益最大，將原模型簡化為單目標的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風險最小為目標，將原模型簡化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入收益——風險偏好系數(shù)，將兩目標加權(quán)，化原模型為單目標非線性模型模型三。然后分別使用Matlab的內(nèi)部函數(shù)linprog，fminmax，fmincon對不同的風險水平，收益水平，以及偏好系數(shù)求解三個模型。關(guān)鍵詞：組合投資，兩目標優(yōu)化模型，風險偏好問題重述與分析市場上有種資產(chǎn)（如股票、債券、…）()供投資者選擇，某公司有數(shù)額為的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務分析人員對這種資產(chǎn)進行了評估，估算出在這一時期內(nèi)購買的平均收益率為，并預測出購買的風險損失率為?？紤]到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風險可用所投資的中最大的一個風險來度量。購買要付交易費，費率為，并且當購買額不超過給定值時，交易費按購買計算（不買當然無須付費）。另外，假定同期銀行存款利率是,且既無交易費又無風險。（）1、已知時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：資產(chǎn)收益率(%)風險率(%)交易費(%)閥值(元)282.51103211.52198235.54.552252.66.540試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小。2、試就一般情況對以上問題進行討論，并利用以下數(shù)據(jù)進行計算。資產(chǎn)收益率(%)風險率(%)交易費(%)閥值(元)9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55427014393.439740.7685.617822033.653.32.747536.8402.924811.8315.119595.55.732035462.72632815237.6131本題需要我們設計一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風險盡可能小。并給出對應的盈虧數(shù)據(jù)，以及一般情況的討論。這是一個優(yōu)化問題，要決策的是每種資產(chǎn)的投資額，要達到目標包括兩方面的要求:凈收益最大和總風險最低，即本題是一個雙優(yōu)化的問題，一般情況下，這兩個目標是矛盾的，因為凈收益越大則風險也會隨著增加，反之也是一樣的，所以，我們很難或者不可能提出同時滿足這兩個目標的決策方案，我們只能做到的是：在收益一定的情況下，使得風險最小的決策，或者在風險一定的情況下，使得凈收益最大，或者在收益和風險按確定好的偏好比例的情況下設計出最好的決策方案，這樣的話，我們得到的不再是一個方案，而是一個方案的組合，簡稱組合方案。設購買Si（i=0,1…….n;S0表示存入銀行，）的金額為xi;所支付的交易費為ci(xi)，則：對Si投資的凈收益為:（i＝0，1，…，n）對Si投資的風險為:（i＝0，1，…，n），q0=0對Si投資所需資金（即購買金額xi與所需的手續(xù)費ci(xi)之和）是（i＝0，1，…，n）投資方案用x=（x0，x1，…，xn）表示，那么，凈收益總額為：總風險為：=所需資金為：所以，總收益最大，總風險最小的雙目標優(yōu)化模型表示為：但是像這樣的雙目標模型用一般的方法很難求解出來的，所以經(jīng)過分析把次模型轉(zhuǎn)化為三種較簡單的單目標模型。3.假設與模型假設該公司在這一時期內(nèi)是一次性投資；除交易費和投資費用外再無其他的費用開支；在這一時期市場發(fā)展基本上是穩(wěn)定的；外界因素對投資的資產(chǎn)無較大影響；無其他的人為干預；社會政策無較大變化；公司的經(jīng)濟發(fā)展對投資無較大影響資產(chǎn)投資是在市場中進行的，市場是復雜多變的，是無法用數(shù)量或函數(shù)進行準確描述的，因此以上的假設是必要的，一般說來物價變化具有一定的周期性，社會政策也并非天天改變，公司自身的發(fā)展在穩(wěn)定的情況下才會用額外的資金進行較大的風險的投資，市場與社會的系統(tǒng)發(fā)展在一個時期內(nèi)是良性的、穩(wěn)定的，以上假設也是合理的。3.1模型a假設投資的風險水平是k,即要求總風險Q（x）限制在k內(nèi)，Q（x），則模型可轉(zhuǎn)化為：maxs.t3.2模型b假設投資的收益水平是h，即凈收益總額不少于h：≥h，則模型可轉(zhuǎn)化為：s.t3.3模型c假設投資者對風險和收益的相對偏好參數(shù)為ρ（≥0），則模型可轉(zhuǎn)化為：s.t.3.4模型求解及分析由于交易費ci(xi)是分段函數(shù)，使得上述模型中的目標函數(shù)或約束條件相對比較復雜，是一個非線性規(guī)劃問題，難于求解.但注意到總投資額M相當大，一旦投資資產(chǎn)Si，其投資額xi一般都會超過ui，于是交易費ci(xi)可簡化為線性函數(shù)從而，資金約束簡化為凈收益總額簡化為在實際進行計算時，可設M=1，此時=（）（i＝0，1，…，n）可視作投資Si的比例.以下的模型求解都是在上述兩個簡化條件下進行討論的.1）模型a的求解模型a的約束條件Q(x)≤k即≤k，所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為（i＝0，1，…，n）.這時模型a可化簡為如下的線性規(guī)劃問題：具體到n=4的情形，按投資的收益和風險問題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：s.t（i＝0，1，…，4）利用matlab7.1求解模型a輸出結(jié)果是{0.177638,{x0->0.158192,x1->0.2,x2->0.333333,x3->0.0909091,x4->0.192308}}這說明投資方案為（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）時，可以獲得總體風險不超過0.005的最大收益是0.177638M.當k取不同的值（0~0.025），風險與收益的關(guān)系見圖1.輸出結(jié)果列表如下：表1 模型1的計算結(jié)果風險水平k最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.4945450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000圖1 模型1中風險k與收益的關(guān)系結(jié)合圖1，對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇圖中曲線的拐點（0.006，0.2019），這時對的投資比例見表1的黑體所示。從表1中的計算結(jié)果可以看出，對低風險水平，除了存入銀行外，投資首選風險率最低的S2，然后是S1和S4，總收益較低；對高風險水平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率（ri–pi）較大的S1和S2．這些與人們的經(jīng)驗是一致的，這里給出了定量的結(jié)果．2）模型b的求解模型b本來是極小極大規(guī)劃：s.t.≥hx≥0但是，可以引進變量xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：s.t,i=0,1,2,…,n,≥h,,x≥0具體到n=4的情形，按投資的收益和風險問題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：minx5s.t（i＝0，1，…，5）利用matlab7.1求解模型b，當h取不同的值（0.1~0.25），我們計算最小風險和最優(yōu)決策,收益水平h取，結(jié)果如表2所示，風險和收益的關(guān)系見圖2.從表2看出，對低收益水平，除了存入銀行外，投資首選風險率最低的資產(chǎn)，然后是和，總收益當然較低。對高收益水平，總風險自然也高，應首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經(jīng)驗是一致的。表2 模型2的計算結(jié)果風險水平k最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.07530.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600圖2 模型2中風險與收益h的關(guān)系結(jié)合圖2，對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇圖中曲線的拐點（0.059，0.2），這時對的投資比例見表2的黑體所示。3）模型c的求解類似模型b的求解，我們同樣引進變量xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：minρxn+1–（1–ρ）s.t,i=0，1，2，…，nx≥0具體到n=4的情形，按投資的收益和風險問題題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：s.t（i＝0，1，…，5）利用matlab7.1求解模型c，當ρ取不同的值（0.75~0.95），我們計算最小風險和最優(yōu)決策輸出結(jié)果列表如下：表3 模型3的計算結(jié)果風險水平最大收益率0.760.02480.267300.99010000.770.02480.267300.99010000.780.00920.216500.36930.6147000.790.00920.216500.36920.6148000.80.00790.210700.31510.52180.143100.810.00920.216500.36870.6154000.820.00740.208400.29570.49280.13440.05470.830.00790.210600.31390.52350.142500.840.0060.201700.23860.39730.10820.2260.850.0060.201600.23750.39670.10840.22750.860.00620.202600.24680.41130.07530.23720.870.00660.204500.26530.44220.00880.25520.880.00590.201700.23790.39640.10780.22790.890.0060.201700.2390.39370.10790.22940.90.0060.201800.23920.3980.10290.22990.910.00590.201700.2380.39580.10750.22870.920.00590.201600.23760.39610.1080.22840.930.00590.201600.23750.39630.1080.22820.940.00610.18470.1350.24360.33090.11060.15570.950.00590.201600.23760.3960.1080.22850.960.00170.09160.72560.06520.10650.03020.06410.970.00540.18480.1140.21410.35640.09740.192從圖5可以看出，模型3的風險與收益關(guān)系與模型1和模型2的結(jié)果幾乎完全一致。圖3 模型3中風險與收益的關(guān)系圖4模型3中風險與偏好系數(shù)的關(guān)系圖5 模型3中收益與偏好系數(shù)的關(guān)系四模型評價與推廣本文我們建立了投資收益與風險的雙目標優(yōu)化模型，通過控制風險使收益最大，保證收益使風險最小，以及引入收益——風險偏好系數(shù)，將兩目標模型化為了單目標模型，并使用matlab7.1求解，所得結(jié)果具有一定的指導意義。但是，本文沒有討論收益和風險的評估方法，在實際應用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時，用最大風險代表組合投資的風險未必合理，因此，對不同風險度量下的最優(yōu)投資組合進行比較研究是進一步的改進方向。五總結(jié)歷經(jīng)兩周的時間終于完成了這次課設，在這次實踐課程中，我真的遇到了不少的問題，在同學，老師的幫助以及在圖書館和網(wǎng)站搜集資料，解決了所有遇到的問題。尤其在問題分析的過程中，是難度最大也是問題最多的環(huán)節(jié)，感覺總是把問題分析的不夠全面透徹，經(jīng)常顧及這個方面而忽視了另一方面，最后我請教了同學，終于完成了問題分析并且建立了模型。在完成這一環(huán)節(jié)后，接下來的任務都是我獨立完成，也遇到了不少的困難，但都是較易解決的。通過這次實踐，我確實學到了不少，學會了使用MATLAB，也知道了分析問題的方法。六參考文獻[1]MATLAB程序設計與實例應用。張錚等。北京：中國鐵道出版社，2003.10

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