2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版理） 第4章 §45 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【考試要求】1.能畫出三角函數(shù)的圖象2了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助

圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2元]卜,F切函數(shù)在（一去9卜的性質(zhì).

【知識梳理】

1.用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

（I）在正弦函數(shù)y=sinx,x￡[0,2柯的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,（三，1）（兀，0），（苧，-1），

（2兀，0）.

⑵在余弦函數(shù)產(chǎn)cosx,x￡[0,2可的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,&0）,（兀,7）,年,0），

（2%，1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中&?Z）

函數(shù)j=sinxy=cosxy=tanx

圖象

定義域RR

值域LL11LI,11R

周期性27r27c

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

遞增區(qū)間2ht]

遞減區(qū)間[21-,21TC+JC]

對稱中心(kn,0)

對稱軸方程,,71

【常用結(jié)論】

1.對稱性與周期性

⑴正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是3個周期，相鄰的對稱

中心與對稱軸之間的距離是1個周期.

⑵正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.

2.奇偶性

若/to=4sin（（yx+e）（A，3KO），則

（1小）為偶函數(shù)的充要條件是8=]+E（kZ）.

（2次外為奇函數(shù)的充要條件是s=E（A￡Z）.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”）

（1）正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).（X）

（2）已知.丫=依出工+1,x￡R,則），的最大值為k+L（X）

（3）y=sin|x|是偶函數(shù).（J）

（4）若非零實(shí)數(shù)7是函數(shù)人r）的周期，則是非零整數(shù)）也是函數(shù)人x）的周期.（

【教材改編題】

1.若函數(shù)y=2sin2x—1的最小正周期為7,最大值為A,則（）

A.T=it,A=\B.7,=2TT,A=1

C.T=R,A=2D.T=2n,A=2

答案A

2.函數(shù)兀r）=-2ian（2x+g的定義域是（）

A.*￡RM)

J71

B.jxGRxW一五

C*￡RxWE+*￡Z);

D.{x￡R?

答案D

解析由2r+/及7t+5，&￡Z,

得x好+率k^Z.

3.函數(shù)y=3cos(2r一的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案［依幻1+第，kcz

解析因?yàn)閥=3cos(2x一5，

令2EW2x-1W2&7t+7t,kSZ,

求得尿+^WxWE+專，kQZ,

可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為E+*&兀+號］kRZ.

題型一三角函數(shù)的定義域和值域

例1(1)函數(shù)［的定義域?yàn)?

【anAi

答案〉,云：+&兀，&GZ|

解析要使函數(shù)有意義，

tanx—l^O,

貝/n

xW/+E,kGZ,

kRZ,

&￡Z.

故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1x卜工￡+而，且kez).

(2)函數(shù)y=sinx—cosx+sinxcosx的值域?yàn)?

答案［一甲，；

、1-/2

解析設(shè)f=sin4—cosx,則^usiMx+cosNx—2sin￥cosx,sinxcosx=~5~~,

且一巾WfW巾.

?211

，y=_2+，+］=~2^~1)2+1,

W［f,例.

當(dāng)t=\時，ymax=l；

當(dāng)f=-陋時，)'min=-1+；啦.

J函數(shù)的值域?yàn)椋邸獨(dú){立，1.

【教師備選】

1.函數(shù)y=/sinx—cosx的定義域?yàn)?

-《一

答案|_2E+￡,2E+引gZ)

解析要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosxNO.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出［0,2兀］上y=

sinx和y=cosx的圖象，

如圖所示.

在[0,2兀]內(nèi)，滿足sinx=cosx的）為:，于，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2兀，所以原函

數(shù)的定義域?yàn)椴穦2E+gxW2E+季k《Z}.

2.函數(shù)y（x）=sin2x+，5cosx—H￡[o,中的最大值是.

答案1

解析由題意可得

Vxe0,5，

:.cosxG[0,1].

，當(dāng)cosx=坐，即時，危）艱最大值為1.

思維升華（1）三角函數(shù)定義域的求法

求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)的圖象來求解.

（2）三角函數(shù)值域的不同求法

①把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin（?r+9）的形式求值域.

②把sinx或cosx看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

③利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2021?北京）函數(shù)"t）=cosx—cos2r,試判斷函數(shù)的奇儡性及最大值（）

A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2

C.奇函數(shù)，最大值為?D.偶函數(shù)，最大值為與

OO

答案D

解析由題意,

J(—x)=cos(—x)—cos(~2x)

=cosx—cos2x=J(x)t

所以該函數(shù)為偶函數(shù)，

又/(X)=COSA—cos2x=—2COS2X+COSX+1=-2(cosX-

19

所以當(dāng)COSX=W時，7U）取最大值R

(2)函數(shù),y=lg(sin2x)+d9一4的定義域?yàn)?/p>

答案［-3,-Ju(0,f)

解析,??函數(shù)y=lg(sin2x)+為9-f,

sin2A>0,

???應(yīng)滿足，

9-r^O,

It.

f十攵兀，

解得，2其中A￡Z,

.-3WxW3,

:.—3Wx<—E或Ow專

???函數(shù)的定義域?yàn)椋?3,一熱（0,

題型二三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性

例2（1）（2019?全國II）下列函數(shù)中，以方為周期且在區(qū)間與3上單調(diào)遞增的是（）

A.y（x）=|cos2x|B.J（x）=|sinZv|

C.y（x）=cos|x|D./(x)=sinW

答案A

解析A中，函數(shù)於）=|cos2x|的周期為去當(dāng)正保號時，"（”），函數(shù)段）單調(diào)遞增,

故A正確；B中，函數(shù)加:）=|sin2x|的周期為1當(dāng)住，時，2x^（今五），函數(shù)貝幻單調(diào)

遞減，故B不正確；C中，函數(shù)咒T）=COS|A1=COSX的周期為2兀，故C不正確；D中，兀到=

sinxyx20,

sinW=.由正弦函數(shù)圖象知，在x20和x<0時，/（x）塔以2兀為周期，但在整

—sinx,x<0,

個定義域上力r）不是周期函數(shù)，故D不正確.

（2）函數(shù)共幻=3$足3一弓+力+1,gO,兀），且加:）為偶函數(shù)，則8=，9圖象的

對稱中心為.

答案?（:+-I0

解析若y（x）=3sin（2x-1+夕）+1為偶函數(shù)，則一1+。=&兀+5&GZ,

即9=^+E,k0L,

又,.,伊金⑴，兀）,

.5兀

??勿=不.

??fix)=3sinf2x++l=3cos2x+1,

由2r=方+hr,4￡Z得x=：+苧，ZrGZ,

?g)圖象的對稱中心為仔+亨，1),Z￡Z.

【教師備選】

1.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的為()

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=tan|x|D.y=(x—1)°

答案B

解析??.cos|x|=cosx,?“=85|》是周期函數(shù).其余函數(shù)均不是周期函數(shù).

2.函數(shù)風(fēng)丫）=3§皿3—力+夕），3七（0，兀），若人動為奇函數(shù)，則9=.

答案f

解析若危）=3sin（2x-為奇函數(shù)，

則一]+3=E,左￡Z,

即9=1+E，keZ,

又:伊七①，7t）,

_冗

???—?

思維升華（1）奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=4sinsx或y=Atanajx

的形式，而偶函數(shù)一般可化為.y=Acoss的形式.

（2）周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)尸Asin（tox+9）,y=Acos（s+9）（5>0）的周期為金，函數(shù)y=

Atan（3r+3）（s>0）的周期為看求解.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2021?全國乙卷）函數(shù)段）=sin芯+cos鐮小正周期和最大值分別是（）

A.3冗和節(jié)B.37r和2

C.6兀和小D.6冗和2

答案C

解析因?yàn)楹瘮?shù)兀v）=sin與+cos]

=&sing+"

所以函數(shù)1x)的最小正周期丁=竿=6兀，最大值為啦.

3

⑵已知40=ACOS(GX+3)(A>0,00,0<8<兀)是定義域?yàn)槭系钠婧瘮?shù)，且當(dāng)x=3時，y(x)取得

最小值一3,當(dāng)儂取得最小正數(shù)時，貝1)+大2)+43)+…土?2022)的值為()

A.^B.—6—3小

C.1D.-1

答案B

解析,?7。)=Acos(ou+p)(AX),tu>0,?！葱∝?是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

.??8=5+E,k《Z,則伊=看

則/W=—Asin(i)x.

當(dāng)x=3時，?x)取得最小值一3,

故A=3,sin3(y=1,

，3/=]+2E，&￡Z.

"的最小正數(shù)為親

^?flx)=—3sin會，

.\ZU)的周期為⑵

???川)+?2)+火3)+???+川2)=0,

?7/U)+/(2)+y(3)+…七?2022)

=168X0+犬1)+42)+…+負(fù)6)

=-6—3巾.

（3）（2022.鄭州模擬）設(shè)函數(shù)J（x）=2sin（2x—§+土，則下列敘述正確的是（

A.1工）的最小正周期為2幾

B.危）的圖象關(guān)于直線廣盍對稱

C.加）在他［上的最小值為七

D.於）的圖象關(guān)于點(diǎn)管，0）對稱

答案C

解析對于A,?的最小正周期為:=儲

故A錯誤；

對于B,?.?sin（2X專一§=-gw±l,

故B錯誤；

對于C,當(dāng)1Ji時，2x—y,y,

353

2+----

si44+■4

工於）在冬兀］上的最小值為一土，故C正確;

33

27-C十-=-

3-44

?7/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)停，g對稱，故D錯誤.

題型三三角函數(shù)的單調(diào)性

命題點(diǎn)i求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3函數(shù)式x）=sin（-2x+W）的單調(diào)遞減區(qū)間為

答案［桁一盍，E+招（AWZ）

解析7W=sin（—Zr+鼻）

=sin[-（2x-f）]

=-sin（2x-f）,

由2foc—,W2x—‘W2E+.kGZ,

得H-令簿2￡Z.

故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

n,.5九~|八?

E一行，女兀+五（女WZ）.

延伸探究y（x）=sin（—Zr+三）在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

答案［。闈和［晉"］

解析令4=-kit—7C既+5尚苑一，kRZ,

B=［0,7c］,

.?.AC8=［o,哥U［普,冗］,

??孫）在［0,用上的單調(diào)遞減區(qū)間為［o,用和［卷4

命題點(diǎn)2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

例4（1）若函數(shù)加）=sins（M>0）在區(qū)間［o,上單調(diào)遞增，在區(qū)間^上單調(diào)遞減，則編

3

答案-

2

，

原點(diǎn)

＞0）過

sx（3

=sin

:/（幻

解析

，

GJXW

當(dāng)OW

增；

單調(diào)遞

ins

y=s

J時，

XWW

即OW

莖

口后

當(dāng)畀

.

遞減

單調(diào)

tox

sin

，y=

普時

WxW

即白

,

1a）

1a）

遞增.

卜單調(diào)

J

在0.

〃）＞0）

〃）丫（

=4n

由?。?/p>

總代

，知

遞減

單調(diào)

外上

在K，

3

.

2.

..69=

是

值范圍

口的取

減，則

單調(diào)遞

）上

停冗

+g在

（sx

sin

用O=

,函數(shù)

＞0

知公

（2）已

L

1

5

-

答案-

I

4

2*

J

G?0,

由菱

解析

.It

.It

.It

（DTt

+4,

4<??兀

cox+

+4〈

付"2

j

］,k

+當(dāng)

2E

+看

為2E

區(qū)間

遞減

單調(diào)

nx的

尸si

因?yàn)?/p>

.

7C._

.7T_

①兀

，

+2反

4避

彳+

,

kGZ

,

冗.c,

.兀）3

兀，

+2攵

1W5

s兀十

{

L

kG

+3,

★22

￡/公

42+

解得

又由必+￡—(2攵+3石0,&EZ,

5

-eZ

4

解得2=0,

2*fl

所以①仁

【教師備選】

考)已知函數(shù)段)=sin(cwx+3)((co>0,l9l<3,工=一千為/(x)的零點(diǎn)，x

(2022?定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校月

=今為y=/(x)圖象的對稱軸，且_/(x)在焦，韻上單調(diào)，則①的最大值為()

A.11B.9C.7D.1

答案B

解析因?yàn)楣?一牙為次>)的零點(diǎn),

尸今為了=段)圖象的對稱軸,

所以7=云〃GN）,

加2〃+127r7t

即［―石=E（〃WN）,

所以①=2〃+1(〃￡N),即①為正奇數(shù).

因?yàn)槎?在偌,§)

上單調(diào),

則m言多

即巧吟

解得①W12.

當(dāng)①=11時，一丁+@=E,女WZ,

1T

因?yàn)槿?

所以3=一/,此時阿=5皿（1以一壬）.

當(dāng)詞S,豺時，

11A4136'36Z

所以“V）在信，器）上不單調(diào)，不滿足題意；

當(dāng)①=9時，一半+e=E,%￡Z,

Jr

因?yàn)镸W》

所以9=；，

此時人V）=sin（9x+：）

當(dāng)送儒，19時，

9*+鋁停T）>

此時Hx）在儒，題上單調(diào)遞減，符合題意.

故CW的最大值為9.

思維升華（1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間

求形如.y=Asin（cox+/）或y=Acos@x+9）a中①>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“（ox+s”為一個整

體，通過解不等式求解.但如果”<0,可借助誘導(dǎo)公式將①化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.

（2）已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2021?新高考全國I）下列區(qū)間中，函數(shù)凡r）=7sin（x-g的單調(diào)遞增區(qū)間是

（）

A.（0,號B《,兀）

。（心為D?爵,2九）

答案A

解析令一為+2EWx—/Wa+2E,kGZ,得一號+2EWxW,+2E,A￡Z.取k=0,則一名

WxW爭因?yàn)椋?,f）[一?y],所以區(qū)間（0,號是函數(shù)段）的單調(diào)遞增區(qū)間.

（2）（2022?開封模擬）己知函數(shù)y=sin（cox+§

（①>0）在區(qū)間（一/§上單調(diào)遞增，則①的取值范圍是（）

A.（0,1B.1

答案A

解析當(dāng)一*時，

neo.n,nneo.it

-不+鏟①嗎

當(dāng)x=0時，cor+尹/

因?yàn)楹瘮?shù)尸，3+縱》0）在區(qū)間（一去§上單調(diào)遞增,

解得“w*

因?yàn)棰?gt;0,所以⑦的取值范圍是（0,1

課時精練

1.y=|cos月的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[—9JB.[0,河

D.修,2冗]

T

答案D

解析將y=cosx的圖象位于x軸下方的部分關(guān)于x軸對稱向上翻折，x軸上方（或x軸上）的

圖象不變，即得y=|cosx|的圖象（如圖）.

故選D.

2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

學(xué)同（女

A心+4E,+4￡Z）

B&+軟，|+42伏WZ)

C居+4版,4+4EC「Z)

D1'+4匕房+4后(ZWZ)

答案B

解析由題意，得2sinjx—120,

全￡5+2E系+2%兀卜0,

則g+軟，1+4^ez).

3.函數(shù)貝x)=sin(x+尚COS(L總是(

)

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)

B.最小正周期為兀的偶函數(shù)

C.最小正周期為2兀的非奇非偶函數(shù)

D.最小正周期為兀的非奇非偶函數(shù)

答案D

解析由題意可得

./(x)=sinKMT)

=sin

?,-^)=2-2COSI

故人外的最小正周期丁=:=電由函數(shù)奇偶性的定義易知，人外為非奇非偶函數(shù).

sinX+Y

4.函數(shù)/U)=M4■口在［一九，河的圖象大致為()

答案D

物用占4Xsin(-x)+(-.y)

解析由犬_的_8式_])+(_刈2

—sinx—x

A得於)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A；

cosx+x2-,A),

11

又電24+2兀

>1,

.*兀）=_］［冗2>0,排除B,C.

5.關(guān)于函數(shù)Wx）=sin2x-cos2x,下列命題中為假命題的是（）

A.函數(shù)y="r）的周期為冗

B.直線x=今是y=/（x）圖象的一條對稱軸

C.點(diǎn)你0）是產(chǎn)心）圖象的一個對稱中心

D.），=/5）的最大值為吸

答案B

解析因?yàn)?（A）=sin2xcos2x

=V5sin（2x-￡）,

所以凡6的最大值為加，故D為真命題；

因?yàn)閟=2,故7=竽=兀，故A為真命題；

當(dāng)尸:時，2r-j=f,終邊不在）:軸上，故直線尸:不是尸危）圖象的一條對稱軸，

故B為假命題；

當(dāng)尸與時，2A-2=0,終邊落在k軸上，

o4

故點(diǎn)/，°）是y=yu）圖象的一個對稱中心，故C為真命題.

6.（2022.廣州市培正中學(xué)月考）關(guān)于函數(shù)啟）=sinkl+|sinx|,下列敘述正確的是（）

A.是奇函數(shù)

B.府）在區(qū)間&［上單調(diào)遞增

c.“丫）的最大值為2

D.兀0在［一兀，河上有4個零點(diǎn)

答案C

解析x)=sin|—x|+|sin(—x)|

=sinU1+|sinx\=fl\),

?x)是偶函數(shù),A錯誤；

當(dāng)兀)時，y(x)=sinx+sinK=2sinx,

單調(diào)遞減，B錯誤；

,/(x)=sin|x|+|sinx|W1+1=2,

且，e)=2,c正確；

在［一冗，兀］上，當(dāng)一冗〈工<0時，

fix)=sin(—x)+(—sinx)=_2sinx>0,

當(dāng)0<r<7r時，/(x)=sinx+sinx=2sinx>0,

y(x)的零點(diǎn)只有兀，o,一兀共三個，D錯誤.

7.寫出一個周期為兀的偶函數(shù)/(?=.(答案不唯一)

答案cos2x

8.(2022?上外浦東附中檢測)若在0,內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)值滿足等式cos2H■由sin2r=k

+1,則實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

答案0WN1

解析函數(shù)Kr)=cos2x+，§sin

=2sin(2A,+§,

當(dāng)0,”才，

fix)=2sin(2t+*)單調(diào)遞增；

?「兀7c]J.

當(dāng)X電,小時，

4%)=2sin(2x+專)單調(diào)遞減，

,A0)=2sin1=1,

/?=2sin2=2'

/?)=2sin普=-1,

所以在[。，f內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)值滿足等式cos2t+小sin2x="+l,

則1WA+1V2,

所以O(shè)Wkl.

9.已知函數(shù)/(x)=4sin3sin(<yx+§—l(m>0)的最小正周期為兀.

(1)求儂及兀r)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵求人￥)圖象的對稱中心.

解(1)/(4)=4sincoxQsinctzv+坐costux)—1

=2sin%x+2小sintwxcoscox—1

=1—cos2tor+小sin2a)x-1

=*73sin2<wx—cos2cox

=2sin(2sx-g.

???最小正周期為m

.27T

.*.6>=1,.*.y(x)=2sin

令一5+2EW2x—1W5+2E,kGZ,

解得一k￡Z,

o3

?g)的單調(diào)遞增區(qū)間為一日+E，1+E]

(AGZ).

⑵令2x—1=E.kez.

解得1=合+竽，k￡Z,

.g)圖象的對稱中心為信+竽，。)，MZ.

10.(2021?浙江)設(shè)函數(shù)1y(x)=sinx+cosx(x￡R).

⑴求函數(shù)尸I/G+9｝的最小正周期；

⑵求函數(shù)在[。，冷上的最大值.

解(1)因?yàn)槎?=sin%+cosx,

所以/(工+m=sin(x+5)+cosg+W)

=cosx-sinx,

所以產(chǎn)(/(x+W)

2=(cosx—sinx)2

=1-sin2x.

所以函數(shù)尸I/G+初2的最小正周期T=y=7r.

(2?(L：)=sin(x-g4-COS^X-

=y［2sinx,

所以尸兀叨'(l：)

=y［2sinx(sinx+cosx)

=，5(sinxcosx+sin2x)

=V2^sin2L：COS2K+，

=sin(2x-+孚

當(dāng)0,時，2x一狂［一；，竽］

所以當(dāng)2x—；=今，即尸華時，

函數(shù)尸在［。，手上取得最大值，且＞2=1+坐

11.(2022?蘇州模擬)已知函數(shù)貫x)=sin(2v+g,則下列結(jié)論不正確的是()

A.x=一看是函數(shù)?r)的一個零點(diǎn)

B.函數(shù)段)在區(qū)間［一含制上單調(diào)遞增

C.函數(shù)於)的圖象關(guān)于直線尸去對稱

D.函數(shù)/(*)是偶函數(shù)

答案D

解析對于A選項(xiàng)，因?yàn)?(—g=sin0=0,

故尸一看是函數(shù)危）的一個零點(diǎn)，A對;

對于B選項(xiàng)，當(dāng)一招MrW盍?xí)r，

ItIIt?冗

一/太+產(chǎn)菱,

所以函數(shù)兀0在區(qū)間［一招，75

上單調(diào)遞增，B對;

對于C選項(xiàng)，因?yàn)閷ΨQ軸滿足2x+U+E,k《Z,

解得1=專+亨，當(dāng)2=0時，彳=云，C對；

對于D選項(xiàng)，

令ga）=/（T）=sin［2（T）+（|

則庶）=0，

?（一凱sin（一舒ro,

故函數(shù)不是偶函數(shù)，D錯.

12.（2022?廈門模擬）已知函數(shù)人r）=cos2（x一制一cos2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.4外的最大值為夸匚

B./）的圖象關(guān)于點(diǎn)口0）對稱