（特效提高）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 28 函數(shù)與方程題庫 理

2.8函數(shù)與方程

、選擇題

1.“水一2”是“函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間上存在零點(diǎn)兩”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件I).既不充分也不必要條件

解析：當(dāng)水一2時(shí)，函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間［―1,2］上單調(diào)遞減，此時(shí)F(—1)=3—a>0,

A2)=3+2X0,所以函數(shù)/V)=ax+3在區(qū)間，［—1,2］上存在零點(diǎn)廂當(dāng)函數(shù)F(x)=ax+3

在區(qū)間［-1,2］上存在零點(diǎn)8時(shí)，

有1)F(2)<0,即2,一3a—9〉0,

3

解得a>3或a<—~

答案：A

2.下列函數(shù)圖像與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()

解析：能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在含零點(diǎn)的區(qū)間(a,A)內(nèi)連續(xù)，并且有F(a)-F(b)V

0.A、B、D中函數(shù)不符合.

答案：C

3.函數(shù)f(x)=--+log2x的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

?tlfVf(l)=-l+log2l=-l<0,

f(2)=--+lo.g22=—>0,

22

Afd)?f(2)<0,故選B.

答案：B

4.若函數(shù)f(x)=V+m>+l有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(一8,-2)U(2,+~)D.(一8,-1)u(1,-Foo)

解析：由題意知，一元二次方程/+z?x+l=0有兩不等實(shí)根，可得△>0,即序一4>0,解

得加>2或成一2.

答案：C

5.函數(shù)f(x)=2'+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是().

A.(—2*—1)3.(—1,-0)

C.(0,1)D.(1,2)

解析F(x)=2*+3x在R上為增函數(shù)，且/'(—1)=2一|-3=—5,F(0)=l,則f(x)=2'+3x

在(一1,0)上有唯一的一個(gè)零點(diǎn).

答案B

6.方程寸+/萬-1=0的解可視為函數(shù)y=x+/的圖象與函數(shù)曠=1的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

若x'+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根汨，E，…，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(M，，)(/=1,2,…，公均在

直線尸x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

A.RB.0

C.(—6,6).D.(—8,—6)u(6,+°°)

4

解析(轉(zhuǎn)化法)方程的根顯然xHO,原方程等價(jià)于原方程的實(shí)根是曲線y=?

X

4

十&與曲線y=-的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而曲線尸f+a是由曲線尸f向上或向下平移㈤個(gè)單

X

位而得到的.

若交點(diǎn)(必，g(f=i,2,…，公均在直線尸才的同側(cè),

4

因直線尸x與y=［交點(diǎn)為：(一2,—2),(2,2)；

a>0,%V0,

所以結(jié)合圖象可得：<x+a>~2,或?x+&V2,

.x2一2,.啟2,

naW(—8,—6)U(6,4-0°)；選D.

答案D

【點(diǎn)評(píng)】轉(zhuǎn)化法能夠在一定程度上簡化解題過程.

7.已知函數(shù)r(*)=xe'-ax-l,則關(guān)于〃X)零點(diǎn)敘述正確的提().

A.當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)F(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)〃力必有一個(gè)零點(diǎn)是正數(shù)

C.當(dāng)aVO時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)&>0時(shí)，函數(shù)F5)只有一個(gè)零點(diǎn)

解析f(x)=0<=>e'=a+-

x

在同一坐標(biāo)系中作出尸e二與尸;的圖象，

可觀察出A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確.

答案B

二、填空題

8.用二分法研究函數(shù)，(*)=，+3*—1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算/XOkO,F(0.5)>0可得其

中一個(gè)零點(diǎn)*后____,第二次應(yīng)計(jì)算________.

解析：Vf(x)=x+3x-l是R上的連續(xù)函數(shù)，且AOXO,A0.5)>0,則〃*)在xW(0,0.5)

上存在零點(diǎn)，且第二次驗(yàn)證時(shí)需驗(yàn)證A0.25)的符號(hào).

答案：(0,0.5)A0.25)

2X—1/o

9.已知函數(shù)F(力=2：'-八若函數(shù)&(?=&*)—勿有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的

-x—2x

取值范圍是

解析：畫出圖象，令g(x)=F(x)—0=0,即/'(x)與尸m的圖象的交點(diǎn)

有3個(gè),???0＜欣1.

答案：(0,1)

x2-2|x|H—,xW0

10.函數(shù)f(x)=112的零點(diǎn)個(gè).數(shù)為_______.

|lgx|-l,x>0

解析作出函數(shù)f(x)的圖象，從匿象中可知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有4個(gè).

答案：4

11.若函數(shù)/U)=財(cái)+執(zhí)收0)有一個(gè)零點(diǎn)是2,那么函數(shù)g(x)=加一ax的零點(diǎn)是

解析由已知條件2a+b=0,即6=-24

g(x)=-2ax-ax=—

則g(x)的零點(diǎn)是x=0,X=-1.

答案0,

12.已知函數(shù)f(x)=e'—2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________.

解析由原函數(shù)有零點(diǎn)，可將問題轉(zhuǎn).化為方程e'—2x+a=0有解問題，即方程a=2x—/

有解.令函數(shù)g(x)=2x—e',則g'(x)=2—e',令g'(x)=0,得x=ln2,所以g(x)在(一

8,In2)上是增函數(shù)，在(In2,+s)上是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為：g(ln2)=21n

2-2.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，所以，a￡(—8,21n2—2].

答案(一8,21n2-2]

三、解答題

13.若方程用(-9+3萬一加=18(3—才)在彳￡(0,3)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)勿的取值范圍.

解析：原方程可化為一(入-2)2+1=0(0<k3),

設(shè)％=—(*—2)2+1(0<^<3),y?=m,J產(chǎn)弋之尸”

在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像(如圖所示).37——

由原方程在(0,3)內(nèi)有唯一解，知必與刑的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，

可見m的取值范圍是一3⑦W0或力=/.

14.對(duì)于函數(shù)/Xx),若存在胸￡上使F(照)=照成立，則稱照為FG)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)

f(x)=aV+(b+1)x+b—1(aWO)

(1)當(dāng)8=1,力=—2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)4函數(shù)Ax)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=l，6=—2時(shí)，f(x)=x-x-Z,

由題意可知x=f—x—3,得小=—1,E=3

故當(dāng)a=l,b=-2時(shí)，/(動(dòng)的不動(dòng)點(diǎn)是一1,3.

⑵Vx)=/+(Z?+l)x+b—1(aWO)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，x=ax+(Z?+1)Z?—1,

即ax-\-bx-\-b—1=0恒有兩相異實(shí)根，

，4=彥一49+4a>0(代R)恒成立.

于是=(4a)2—16a<0解得0<aVl,

故當(dāng)力￡R,打*)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí),OV/VL

15.已知函數(shù)〃*)=4'+/-2'+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn).

思路分析由題意可知，方程4'+勿?2'+1=0僅有一個(gè)實(shí)根，再利用換元法求解.

解析???F(X)=4*+R-2,+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

即方程(292+0?2"+1=0僅有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)2'=￡(方>0),則#+加2+1=0.

當(dāng)4=0時(shí)，即病一4=0,

工勿=-2時(shí)，1=1；加=2時(shí)，￡=.—1(不合題意，舍去)，

2*=1,x=0符合題意.

當(dāng)4>0時(shí)，即加>2或Z-2時(shí)，

-+.〃"+1=0有兩正或兩負(fù)根，

即/、(》有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn).

，這種情況不符合題意.

綜上可知：勿=一2時(shí)，F(xiàn)(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x=0.

【點(diǎn)評(píng)】方程的思想是與函數(shù)思想密切相關(guān)的，函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，方

程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，本題就是函數(shù)的零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)?化為方程根的問題.

2

1G.已知函數(shù)/'(x)=—/十2ex十〃/—I,g{x)=A+—(A>0).

(1)若g(>)=加有零點(diǎn)，求勿的取值范圍；

(2)確定勿的取值范圍，使得g(x)—f(x)=O有兩個(gè)相異實(shí)根.

2

解析：(1)法一：:2(才)=才+522，最=26,

等號(hào)成立的條件是*=e,

故