經濟數(shù)學基礎（第六版）（上冊）課件 顧靜相 第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)

經濟數(shù)學基礎輔導第1講1.1

函數(shù)教學要求

理解函數(shù)、復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，了解函數(shù)性質；

掌握復合函數(shù)的復合過程．函數(shù)的概念

在日常生活經常遇到各種不同的量．這些量可以分為兩類，一類量在考察的過程中不發(fā)生變化，只取一個固定的值，我們把它稱作常量；另一類量在所考察的過程中是變化的，可以取不同數(shù)值，我們把它稱作變量．函數(shù)的概念

在理解常量與變量時，應注意：(1)常量和變量依賴于所研究的過程．同一個量，在某種情況下可以認為是常量，而在另一種情況下則可能是變量；反過來也是同樣的．這說明常量和變量具有相對性．(2)從幾何意義上講，常量對應著實數(shù)軸上的定點，變量則對應著實數(shù)軸上的動點．(3)一個變量所能取的數(shù)值的集合叫做這個變量的變動區(qū)域．函數(shù)的概念

有一類變量可以取介于兩個實數(shù)之間的任意實數(shù)值，叫做連續(xù)變量，連續(xù)變量的變動區(qū)域常用區(qū)間表示．函數(shù)的定義

定義1.1

設

x和

y是兩個變量，若當變量

x在非空數(shù)集

D內任取一數(shù)值時，變量

y依照某一規(guī)則

f總有一個確定的數(shù)值與之對應，則稱變量

y為變量

x的函數(shù)，記作

y=f(x)．這里，

x稱為自變量，

y稱為因變量或函數(shù).f是函數(shù)符號，它表示

y與

x的對應規(guī)則．有時函數(shù)符號也可以用其他字母來表示，如

y=g(x)或

y=

(x)等．函數(shù)的定義

集合

D稱為函數(shù)的定義城，相應的

y值的集合則稱為函數(shù)的值域．

當自變量

x在其定義域內取定某確定值

x0時，因變量

y

按照所給函數(shù)關系

y=f(x)求出的對應值

y0叫做當

x=x0時的函數(shù)值，記作

或

f(x0)．函數(shù)的概念

常用的函數(shù)表示法有三種：

解析法(又稱公式法)、表格法和圖形法．

當函數(shù)關系由不同的式子

(公式)分段表達的函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)是微積分中常見的一種函數(shù)．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(1)在分式

中，分母不能為零，所以

，解得

，且

x0，即定義域為

．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；解(2)在偶次根式中，被開方式必須大于等于零，所以有

，解得

-3

x

3，即定義城為[-3,3]．(3)在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零，所以有4x–3>0，解得

，即定義域為

．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(4)反正弦或反余弦中的式子的絕對值必須小于等于1，所以有

-1

2x-11，解得0

x

1，即定義域為[0,1]．(5)該函數(shù)為(3)，(4)兩例中函數(shù)的代數(shù)和，此時函數(shù)的定義域應為(3),(4)兩例中定義域的交集，即

．函數(shù)的概念例2設函數(shù)求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函數(shù)的定義域．函數(shù)的概念例2設函數(shù)求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函數(shù)的定義域．解

因為-

[-4,1)，所以f(-

)=sin(-

)=0；因為1[1,3)，所以f(1)=1；因為3.5[3,+)，所以

f(3.5)=5

3.5-1=16.1;函數(shù)的定義域為[-4,+)．函數(shù)的有界性

定義1.2設函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

D上有定義，如果存在一個正數(shù)M，對于所有的

x

D，恒有

，那么稱函數(shù)

f(x)在

D上是有界的．如果不存在這樣的正數(shù)

M，那么稱

f(x)在

D上是無界的.函數(shù)的有界性y=f(x)在(a,b)內有界的幾何意義是：曲線y=f(x)在(a,b)內被限制在

y=

M和

y=M兩條直線之間.函數(shù)的有界性y=f(x)在(a,b)內有界的幾何意義是：曲線y=f(x)在(a,b)內被限制在

y=

M和

y=M兩條直線之間.注意：1．當一個函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間（a,b）內有界時，正數(shù)M的取法不是唯一的．函數(shù)的有界性y=f(x)在(a,b)內有界的幾何意義是：曲線y=f(x)在(a,b)內被限制在

y=

M和

y=M兩條直線之間.注意：1．當一個函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間（a,b）內有界時，正數(shù)M的取法不是唯一的．2．有界性是依賴于區(qū)間的．函數(shù)的奇偶性

定義1.3設函數(shù)

y=f(x)在集合D上有定義，如果對任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么稱

f(x)為偶函數(shù)；函數(shù)的奇偶性

定義1.3設函數(shù)

y=f(x)在集合D上有定義，如果對任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么稱

f(x)為偶函數(shù)；如果對任意的

x

D，恒有f(

x)=

f(x)，那么稱

f(x)為奇函數(shù)．函數(shù)的奇偶性

由定義可知，對任意的x

D，必有-x

D，否則，f(

x)沒有意義．因此函數(shù)具有奇偶性時，其定義域必定是關于原點對稱的．函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的圖象關于

y軸對稱；

由定義可知，對任意的x

D，必有-x

D，否則，f(

x)沒有意義．因此函數(shù)具有奇偶性時，其定義域必定是關于原點對稱的．函數(shù)的奇偶性

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．

由定義可知，對任意的x

D，必有-x

D，否則，f(

x)沒有意義．因此函數(shù)具有奇偶性時，其定義域必定是關于原點對稱的．函數(shù)的奇偶性例3

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.函數(shù)的奇偶性例3

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.解（1）

因為所以是偶函數(shù).函數(shù)的奇偶性

（2）

因為同理所以既非奇函數(shù),也非偶函數(shù)．函數(shù)的奇偶性

（2）

因為同理所以既非奇函數(shù),也非偶函數(shù)．

（3）

因為所以是奇函數(shù)．函數(shù)的單調性

定義1.4設函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有定義，如果對于

(a,b)

內的任意兩點x1和

x2，

當

x1<x2時，有

f(x1)<f(x2)，那么稱函數(shù)

f(x)在(a,b)

內是單調增加的；函數(shù)的單調性

定義1.4設函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有定義，如果對于

(a,b)

內的任意兩點x1和

x2，

當

x1<x2時，有

f(x1)<f(x2)，那么稱函數(shù)

f(x)在(a,b)

內是單調增加的；如果對于

(a,b)

內的任意兩點x1和

x2，當

x1<x2時，有

f(x1)>f(x2)，那么稱函數(shù)

f(x)在(a,b)內是單調減少的．函數(shù)的單調性

單調增加或單調減少的函數(shù)，統(tǒng)稱為單調函數(shù)，使函數(shù)保持單調的區(qū)間叫做單調區(qū)間．函數(shù)的單調性

例4驗證函數(shù)

y=3x

2在區(qū)間（

,+

）內是單調增加的．函數(shù)的單調性

例4驗證函數(shù)

y=3x

2在區(qū)間（

,+

）內是單調增加的．

證

在區(qū)間（

,+

）內任取兩點

x1,

x2，當

x1<x2時，由f(x1)

f(x2)=(3x1

2)

(3x2

2)=3(x1

x2)<0即

f(x1)<f(x2)，所以

y=3x

2在區(qū)間（

,+

）內是單調增加的．函數(shù)的周期性

定義1.5對于函數(shù)

y=f(x)，如果存在非零常數(shù)

a，使得對于任意

x

D，有x+a

D，且f(x+a)=f(x)恒成立，那么稱此函數(shù)為周期函數(shù)．滿足這個等式的最小正數(shù)

a稱為函數(shù)的基本周期，簡稱為周期．函數(shù)的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

為周期的周期函數(shù)函數(shù)的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

為周期的周期函數(shù)

y=tanx，y=cotx是以

為周期的周期函數(shù)反函數(shù)

定義1.6設函數(shù)

y=f(x)值域為R，如果對于R中的每一個

y值，都有一個確定的且滿足

y=f(x)的

x值與之對應，那么得到一個定義在

R

上的以

y為自變量，x為因變量的新函數(shù)，我們稱它為

y=f(x)的反函數(shù)，記作

x=f-1(y)．并稱=f(x)為直接函數(shù)．反函數(shù)

定義1.6設函數(shù)

y=f(x)值域為R，如果對于R中的每一個

y值，都有一個確定的且滿足

y=f(x)的

x值與之對應，那么得到一個定義在

R

上的以

y為自變量，x為因變量的新函數(shù)，我們稱它為

y=f(x)的反函數(shù)，記作

x=f-1(y)．并稱=f(x)為直接函數(shù)．當然也可以說y=f(x)是

x=f-1(y)的反函數(shù)，就是說，它們互為反函數(shù)．反函數(shù)

例5求

y=4x

1的反函數(shù)．

解

由

y=4x

1得到

，然后交換

x

和

y，得

．即

是

y=4x

1的反函數(shù)．復合函數(shù)

定義1.7設

y

是

u的函數(shù)

y=f(u)，u

是

x的函數(shù)

u=

(x)．如果

u=

(x)的值域或其部分包含在

y=f(u)的定義域中，那么

y通過中間變量

u成為x的函數(shù)，稱為

x的復合函數(shù)，記作

y=f[

(x)]．其中，x

是自變量，u

稱作中間變量．復合函數(shù)

例如，函數(shù)

u=x2的值域是

[0,+)，而函數(shù)

y=sinu的定義域是

(

,+)，故

y通過中間變量

u能構成

x的復合函數(shù)

y=sinu=sinx2．復合函數(shù)注意：1．不是任何兩個函數(shù)都可以構成一個復合函數(shù)的．

如

，不能復合

例如，函數(shù)

u=x2的值域是

[0,+)，而函數(shù)

y=sinu的定義域是

(

,+)，故

y通過中間變量

u能構成

x的復合函數(shù)

y=sinu=sinx2．復合函數(shù)注意：1．不是任何兩個函數(shù)都可以構成一個復合函數(shù)的．

如

，不能復合

2．復合函數(shù)不僅可以有一個中間變量，還可以有多個中間變量，這些中間變量是經過多次復合產生的．復合函數(shù)注意：

3．復合函數(shù)通常不一定是由純粹的基本初等函數(shù)復合而成，而更多的是由基本初等函數(shù)經過四則運算形成的簡單函數(shù)構成的，這樣，復合函數(shù)的合成和分解往往是對簡單函數(shù)的．復合函數(shù)

例6將函數(shù)

y=lnu，u=4

v2，v=cosx表成復合函數(shù)．復合函數(shù)

例6將函數(shù)

y=lnu，u=4

v2，v=cosx表成復合函數(shù)．

解將中間變量u=4

v2代入函數(shù)中，得

y=lnu=ln(4

v2)，再將

v=cosx代入函數(shù)中，得

y=lnu=ln(4

v2)=ln(4

cos2x)

．復合函數(shù)

例7將復合函數(shù)

分解成較簡單的函數(shù)．復合函數(shù)

例7將復合函數(shù)

分解成較簡單的函數(shù)．

解設，則；

設，則

．所以，

可以看成是由

，

，

三個函數(shù)復合而成．函數(shù)謝謝大家！

經濟數(shù)學基礎輔導第二講1.2極限的概念教學要求

理解極限的定義，了解左、右極限的概念．函數(shù)的極限

定義1.9

設函數(shù)f(x)在(a為正常數(shù))時有定義，如果當

x的絕對值無限增大時，函數(shù)

f(x)趨于一個常數(shù)

A，則稱當

x→∞時函數(shù)

f(x)以

A為極限．記作

或

f(x)→

A

(x→∞)．函數(shù)的極限

定義1.9′

設函數(shù)f(x)在x>a時有定義，如果當

x>0且無限增大時，函數(shù)

f(x)趨于一個常數(shù)

A，則稱當

x→+∞時函數(shù)

f(x)以

A為極限．記作

或

f(x)→

A

(x→+∞)．函數(shù)的極限

定義1.9″

設函數(shù)f(x)在x<

a時有定義，如果當

x<0且x的絕對值無限增大時，函數(shù)

f(x)趨于一個常數(shù)

A，則稱當

x→-∞時函數(shù)

f(x)以

A為極限．記作

或

f(x)→

A

(x→-∞)．函數(shù)的極限例1求．

函數(shù)的極限例1求．

解函數(shù)的圖象如右圖所示．當

x→+∞時，

無限變小，函數(shù)值趨于1；x→-∞

時，函數(shù)值同樣趨于1，所以有

=1．

函數(shù)的極限

定義1.10

設函數(shù)y=f(x)在x0的某個鄰域(點

x0本身可以除外)內有定義，如果當

x趨于x0(但x≠x0)時，函數(shù)

f(x)趨于一個常數(shù)

A，則稱當

x趨于x0時，

f(x)以

A為極限．記作

或

f(x)→

A

(x→x0)

，亦稱當

x→x0時，

f(x)的極限存在．否則稱當

x→x0時，f(x)的極限不存在．左極限與右極限

定義1.11

設函數(shù)y=f(x)在x0右側的某個鄰域(點

x0本身可以除外)內有定義，如果當

x>x0趨于x0時，函數(shù)

f(x)趨于一個常數(shù)

A，那么稱當

x趨于x0時，f(x)的右極限是

A.記作

或

f(x)→

A

．左極限與右極限設函數(shù)y=f(x)在x0左側的某個鄰域(點

x0本身可以除外)內有定義，如果當

x<x0趨于x0時，函數(shù)

f(x)趨于一個常數(shù)

A，那么稱當

x趨于x0時，

f(x)的左極限是

A．記作

或

f(x)→

A

．極限存在的充分必要條件

定理1.1當

x→x0時，

f(x)以

A為極限的充分必要條件是

在點

x0處左、右極限存在且都等于A．即

．例2設試判斷

是否存在．

左極限與右極限例2設試判斷

是否存在．

解先分別求

f(x)當

x→1時的左、右極限：，左極限與右極限左、右極限各自存在且相等，所以

存在，且

．例3

判斷

是否存在．

左極限與右極限例3

判斷

是否存在．

左極限與右極限解當x→0+時，

，

，即

；當x→0-時，

，

，即

．左極限存在，而右極限不存在，由充分必要條件可知

不存在．

極限的概念謝謝大家！

經濟數(shù)學基礎輔導第三講1.3無窮小量與無窮大量教學要求理解無窮小的概念和性質，會對無窮小進行比較．無窮小量與無窮大量

定義1.12若函數(shù)

y=f(x)在自變量

x的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中，

f(x)為無窮小量，簡稱無窮?。疅o窮小量與無窮大量

定義1.12若函數(shù)

y=f(x)在自變量

x的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中，

f(x)為無窮小量，簡稱無窮?。?/p>

例如，當

x→0時，sinx，

，

x3是無窮小量；

當

x→1時，(x-

1)3

是無窮小量；

當

x→∞時，

，

是無窮小量．我們經常用希臘字母

α，β，γ

來表示無窮小量．無窮小量與無窮大量注意：(1)定義中所說的變化過程，包括1.2節(jié)所定義的函數(shù)極限的六種形式；(2)無窮小的定義對數(shù)列也適用；(3)無窮小量是以零為極限的變量，不要把一個很小的數(shù)誤認為是無窮小量；(4)不能籠統(tǒng)地說某個函數(shù)是無窮小量，必須指出它的極限過程．因為無窮小量是與極限過程相聯(lián)系的．在某個變化過程中的無窮小量，在其他過程中則不一定是無窮小量．極限與無窮小之間的關系

定理1.2

函數(shù)

f(x)以

A為極限的充分必要條件是：f(x)可以表示為

A與一個無窮小量

α

之和．即

，

其中

limα=0．無窮小量與無窮大量

定義1.13若在自變量

x的某個變化過程中，函數(shù)

是無窮小量，即則稱在該變化過程中，

f(x)為無窮大量，簡稱無窮大，記作Limf(x)=∞．

無窮小量與無窮大量

例如，當

x→0時，

是無窮大量；

當

x→0+

時，cotx，

是無窮大量；

當

x→∞時，x+2，x2是無窮大量．無窮小量與無窮大量注意：(1)關于無窮大量的定義，對數(shù)列也適用．(2)無窮大量是一個變化的量，一個不論多么大的數(shù)，都不能作為無窮大量．(3)函數(shù)在變化過程中絕對值越來越大且可以無限增大時，才能稱無窮大量．(4)當我們說某個函數(shù)是無窮大量時，必須同時指出它的極限過程．無窮小量與無窮大量的關系

當

x→0時，x3是無窮小量，是無窮大量；

當

x→∞時，x+2是無窮大量，

是無窮小量．這說明無窮小量和無窮大量存在倒數(shù)關系．無窮小量的性質

性質1.1有限個無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量．

性質1.2有界變量乘無窮小量仍是無窮小量．

性質1.3常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量．

性質1.4無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．例4求．

無窮小量的性質例4求．

無窮小量的性質解因為

，所以

是有界變量；當

x→0時，x

是無窮小量．根據(jù)性質1.2，乘積

是無窮小量．即

．記

，

，

，它們都是

時的無窮小量．但，

，

．

無窮小量的階

定義1.14設

α、β

是同一變化過程中的兩個無窮小量，

(1)若

，則稱

α是比

β

高階的無窮小量．也稱

β

是比

α

低階的無窮小量．

(2)若(c

是不等于零的常數(shù))，則稱

α

與

β

是同階無窮小量．若

c=1，則稱

α與

β

是等價無窮小量．

無窮小量的階無窮小量與無窮大量謝謝大家！

經濟數(shù)學基礎輔導第4講1.4極限的性質與運算法則教學要求

掌握極限的四則運算法則．極限的性質

性質1.5（唯一性）若極限limf(x)存在，則極限值唯一．

性質1.6（有界性）若極限

存在，則函數(shù)

f(x)在

x0的某個空心鄰域內有界．極限的性質

性質1.7（保號性）若

，且

A>0(或

A<0)，則在

x0

的某空心領域內恒有

f(x)>0(或

f(x)<0)．若

，且在

x0的某空心鄰域內恒有

f(x)≥0(或

f(x)≤0)，則

A≥0(或A≤0)．求極限的四則運算法則定理1.3若，

，則(1);(2);(3)當

時，

．

求極限的四則運算法則定理1.3若，

，則(1);(2);(3)當

時，

．

四則運算法則可以推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘法的情況．

四則運算法則的推論

推論設存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，那么(1)；(2)

．

四則運算法則的推論

推論設存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，那么(1)；(2)

．

注意：(1)法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存在．(2)商的極限的運算法則有個重要前提，即分母的極限不能為零．

四則運算求極限的方法例1求．

四則運算求極限的方法例1求．

解因為分母在

x=0

處，

，所以用公式（3.1）得：

．

四則運算求極限的方法例2求．

四則運算求極限的方法例2求．

解先求分母的極限：，此時由于分母極限為零，不能直接使用運算法則．在分母為零的情況下,求極限的方法將取決于分子極限的狀況．本題中容易求得分子極限不等于零．這時我們先來考慮原來函數(shù)倒數(shù)的極限．

四則運算求極限的方法即是

x→1時的無窮?。蔁o窮小量與無窮大量的倒數(shù)關系，得到

．

，

四則運算求極限的方法結論：如果記

，其中

為常數(shù)．那么

．即n次多項式

當

x

x0

時的極限就是

在

x0處的函數(shù)值

．

四則運算求極限的方法

又記

，其中

為常數(shù)．那么當

時，有理分式的極限為：

（4.1）四則運算求極限的方法

又記

，其中

為常數(shù)．那么當

時，有理分式的極限為：

（4.1）當x

時，有理分式函數(shù)()的極限為：

（4.2）

利用無窮小性質求極限的方法例3求．

利用無窮小性質求極限的方法例3求．

解因為

，

所以不能直接利用商的極限運算法則．但是

，故

．

利用無窮小性質求極限的方法解因為

，

所以不能直接利用商的極限運算法則．但是

，故

．

即當

x2

時，

是無窮?。蔁o窮小量與無窮大量的倒數(shù)關系，得

．

利用無窮小性質求極限的方法例4求．

利用無窮小性質求極限的方法例4求．

解因為即當

x

時，

是無窮小．

利用無窮小性質求極限的方法例4求．

解因為即當

x

時，

是無窮?。?/p>

又

sinx

是有界變量，由無窮小量性質3“有界變量乘無窮小量仍是無窮小量”，得

．

極限的性質與運算法則謝謝大家！

經濟數(shù)學基礎輔導第5講1.5兩個重要極限教學要求

會用兩個重要極限求函數(shù)的極限．極限存在的準則

準則Ⅰ如果函數(shù)

f(x)，g(x)，h(x)在同一變化過程中滿足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A．極限存在的準則

準則Ⅰ如果函數(shù)

f(x)，g(x)，h(x)在同一變化過程中滿足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A．

準則Ⅱ如果數(shù)列{xn}單調有界，那么一定存在．兩個重要極限第一重要極限：兩個重要極限第一重要極限：由第一重要極限得：利用第一重要極限求極限的方法例1求．

利用第一重要極限求極限的方法例1求．

解令

t=arcsinx，則

x=sint，且當

x0

時

t0．于是

．

利用第一重要極限求極限的方法例2求．

兩個重要極限第二重要極限：利用第一重要極限求極限的方法例2求．

解令

，則當

x

時

t0．于是

．

兩個重要極限第二重要極限：如果令

，那么當

x

時，u

0，于是上式可化為

．

兩個重要極限第二重要極限：如果令

，那么當

x

時，u

0，于是上式可化為

．

結論：

可以化為兩個重要極限第二重要極限：如果令

，那么當

x

時，u

0，于是上式可化為

．

結論：

可以化為教材中“連續(xù)復利問題”的例子就是第二重要極限的一個應用，大家要認真地閱讀．利用第二重要極限求極限的方法例3求．

利用第二重要極限求極限的方法例3求．

解因為

，由結論

，得

．

利用第二重要極限求極限的方法例4求．

利用第二重要極限求極限的方法例4求．

解令u=2x+1，則

，當

x

時，u

，于是有

．

利用第二重要極限求極限的方法例4求．

解令u=2x+1，則

，當

x

時，u

，于是有

．

兩個重要極限謝謝大家！

經濟數(shù)學基礎輔導第6講1.6函數(shù)的連續(xù)性教學要求

理解函數(shù)在一點連續(xù)性的概念，初等函數(shù)的連續(xù)性；

了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質；

會判別間斷點的類型，會求連續(xù)函數(shù)的極限．連續(xù)函數(shù)的概念

定義1.17設函數(shù)

y=f

(x)

在點

x0

的某個鄰域內有定義，如果當

x→x0時，函數(shù)

f(x)的極限存在，且等于

f(x)在點

x0處的函數(shù)值

f(x0)，即

，

則稱函數(shù)

f(x)在點

x0處連續(xù)．

連續(xù)函數(shù)的概念結論:1．若函數(shù)

y=f

(x)在點

x0處連續(xù)，則

f(x)在點

x0處的極限一定存在；反之，若

f(x)在點

x0處的極限存在，則函數(shù)

f(x)在點

x0處不一定連續(xù)．2．若函數(shù)

y=f

(x)在點

x0處連續(xù)，在求x→x0時

f

(x)的極限，只需求出

f

(x)在點

x0處的函數(shù)值

f(x0)即可．

連續(xù)函數(shù)的概念結論:3．當函數(shù)

y=f

(x)在點

x0處連續(xù)時，有

．這個等式的成立意味著在函數(shù)連續(xù)的前提下，極限符號與函數(shù)符號可以互相交換．

連續(xù)函數(shù)的概念

若函數(shù)

u=

(x)當

x→x0時極限存在且等于

u0，即而函數(shù)

y=f

(u)在點

u0處連續(xù)，則復合函數(shù)

y=f

[

(x)]當

x→x0時極限存在，且

．

定義1.18如果函數(shù)

y=f

(x)

在區(qū)間

(a,b)內任意一點都是連續(xù)，則稱

f

(x)

在區(qū)間

(a,b)內連續(xù)．

若函數(shù)

y=f

(x)在區(qū)間

(a,b)內連續(xù)，且

，

，則稱

f

(x)在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù)．連續(xù)函數(shù)的概念初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1.4若函數(shù)

f(x)

與

g(x)

在點

x0

處連續(xù)，則這兩個函數(shù)的和

f(x)+

g(x)

、差

f(x)g(x)、

積

f(x)

g(x)

、商

（當g(x0

)0時）在點

x0

處連續(xù)．

初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1.4若函數(shù)

f(x)

與

g(x)

在點

x0

處連續(xù)，則這兩個函數(shù)的和

f(x)+

g(x)

、差

f(x)g(x)、

積

f(x)

g(x)

、商

（當g(x0

)0時）在點

x0

處連續(xù)．

定理1.5

設函數(shù)

u=

(x)在點

x0

處連續(xù)，

y=f(u)

在點

u0

處連續(xù)，且

u0=

(x0)，則復合函數(shù)y=f[

(x)]

在點

x0處連續(xù).

初等函數(shù)的連續(xù)性結論

基本初等函數(shù)在其定義域內都是連續(xù)函數(shù)．

由基本初等函數(shù)經過四則運算以及復合步驟所構成的初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的．

因此，求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內某點的極限，只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值即可．連續(xù)函數(shù)求極限的方法例1求．

連續(xù)函數(shù)求極限的方法例1求．

解因為是求有理分式的極限，由二項式的展開式得分子的最高次冪是

，分母的最高次冪是

，所以用公式（4.2

）得：

．

連續(xù)函數(shù)求極限的方法例2求．

連續(xù)函數(shù)求極限的方法例2求．

解因為

，所以不能利用商的極限運算法則，也不能利用（4.1）式求之．又因為

，所以可有理化，即分子、分母同乘

，得：連續(xù)函數(shù)求極限的方法例4求．

解因為

，所以不能利用商的極限運算法則，也不能利用（3.1）式求之．又因為

，所以可有理化，即分子、分母同乘

，得：連續(xù)函數(shù)求極限的方法解因式分解連續(xù)函數(shù)求極限的方法解因式分解函數(shù)的間斷點定義1.19設函數(shù)

y=f

(x)

在點

x0

的某個鄰域內有定義，如果y=f

(x)

在點

x0

處不連續(xù)，那么稱點

x0為f

(x)

的間斷點．

函數(shù)的間斷點如果f

(x)

在點

x0

處有下列三種情況之一，則點

x0

是f

(x)

的一個間斷點．

(1)在點

x0

處

f

(x)

沒有定義；

(2)不存在；

(3)雖然存在，但

．

函數(shù)的連續(xù)性

例3考察函數(shù)

在點

x=

1

處的連續(xù)性．函數(shù)的連續(xù)性

例3考察函數(shù)

在點

x=

1

處的連續(xù)性．

解因為

在點

x=

1

處沒有定義，所以x=

1是f(x)的一個間斷點．函數(shù)的連續(xù)性

例3

討論函數(shù)

在點

x