經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 顧靜相 第3章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與偏導(dǎo)數(shù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教材輔導(dǎo)第11講3.1

中值定理3.2洛必達(dá)法則教學(xué)要求

了解羅爾定理和拉格朗日中值定理；

會(huì)用洛必達(dá)法則求未定式的極限．中值定理右圖中是一個(gè)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)

y=f(x)的圖象,它是一條光滑曲線，這條曲線的兩個(gè)端點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，即

f(a)=f(b)．可以看到，在這樣一條曲線上存在著點(diǎn)(

1,f(

1))，(

2,f(

2))，使其在這些點(diǎn)處具有水平切線，即函數(shù)在這樣的點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零．羅爾Rolle定理

定理3.1

如果函數(shù)

y=f(x)滿足條件：

（1）在[a,b]上連續(xù)；

（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

（3）

f(a)=f(b)，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使

f

(

)=0．中值定理例1設(shè)函數(shù)

．顯然

f(x)在區(qū)間

[0,3]

上滿足羅爾定理的前兩個(gè)條件，且

f(0)=0，f(3)=0，即第三個(gè)條件也成立．因?yàn)?/p>

，令

f

(x)=0，解得

x=2，2(0,3)．所以取

=2，則有

f

(

)=f

(2)=0．拉格朗日(Lagrange)中值定理

定理3.2

如果函數(shù)

y=f(x)滿足條件：

（1）在[a,b]上連續(xù)；

（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

．拉格朗日中值定理的幾何說明右圖中平移經(jīng)過曲線

y=f(x)兩個(gè)端點(diǎn)A、B的直線，移至與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)處，如圖中的

1的對應(yīng)點(diǎn)處．在(

1,f(

1))處的切線的斜率即為

f

(

1)，因?yàn)閮蓷l直線平行，所以f

(

1)與直線AB的斜率

kAB相等，即

f

(

1)=kAB．而

，拉格朗日中值定理的幾何說明而，于是有

，其中

1就是滿足定理結(jié)論的點(diǎn)．拉格朗日中值定理的推論

推論1如果函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

f

(x)都等于零，則在(a,b)內(nèi)f(x)是一個(gè)常數(shù).

推論2如果函數(shù)

f(x)與函數(shù)

g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即f

(x)=g

(x)，則

f(x)與

g(x)在區(qū)間

內(nèi)只相差一個(gè)常數(shù)．即

f

(x)=g(x)=C．

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)與

g(x)都在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，而且在

(a,b)內(nèi)

g

(x)0,那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)與

g(x)都在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，而且在

(a,b)內(nèi)

g

(x)0,那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

．

上式中，如果

g(x)=x，就是拉格朗日定理，所以拉格朗日定理是柯西定理的特例．兩種未定式

在求極限過程中，常常遇到這樣的情形：

如

，當(dāng)

x

0時(shí)分子、分母同時(shí)趨于0，稱為

型未定式．

又如

，當(dāng)

x

+

時(shí)分子、分母同時(shí)趨于+

，稱為

型未定式．洛必達(dá)法則（一）設(shè)函數(shù)

f(x)與

g(x)滿足條件:（1）

；（2）f(x)與

g(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)

x0可除外)可導(dǎo)，且

；（3）

（或

）.則(或

).(11.1)洛必達(dá)法則（一）例2

求

．洛必達(dá)法則（一）例2

求

．解

當(dāng)

x

0時(shí)，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則（一）由于仍是

型未定式，再用洛必達(dá)法則（一）洛必達(dá)法則（一）解

當(dāng)

x

0時(shí)，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則（一）由于仍是

型未定式，再用洛必達(dá)法則（一）洛必達(dá)法則（二）設(shè)函數(shù)

f(x)與

g(x)滿足條件:（1）

；（2）f(x)與

g(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)

x0可除外)可導(dǎo)，且

；（3）

（或

）.則(或

).

(11.2)洛必達(dá)法則（二）例3

求

．洛必達(dá)法則（二）例3

求

．解

當(dāng)

x

0+時(shí)，有l(wèi)ncotx∞和lnx∞，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則（二）洛必達(dá)法則

若把

x

x0改為

x

，法則(I)和法則(II)仍然成立.洛必達(dá)法則

若把

x

x0改為

x

，法則(一)和法則(二)仍然成立.例4

求

．洛必達(dá)法則例4

求

．解

當(dāng)

x

+∞時(shí)，有

0和

0，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則(一)洛必達(dá)法則例5

求

（

n為自然數(shù)）．洛必達(dá)法則例5

求

（

n為自然數(shù)）．解

當(dāng)

n>0時(shí)，由

x

+∞，得ex∞和

xn∞，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則(二)洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):（1）洛必達(dá)法則只適用于求

和

型未定式的極限，因此每次用法則(一)和法則(二)時(shí)必須檢查所求極限是否為

和

型未定式；（2）如果

仍是

和

型，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則；洛必達(dá)法則（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必達(dá)法則失效，這時(shí)應(yīng)該用其它方法來求極限．洛必達(dá)法則（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必達(dá)法則失效，這時(shí)應(yīng)該用其它方法來求極限．

例如

，由于

不存在，故洛必達(dá)法則失效．但可以通過簡單的恒等變換來求極限：

．其它類型的未定式

除

型和

型未定式外，還有另外五種未定式極限：

．這幾種未定式極限的計(jì)算，可把它們化為

型或

型，再用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算．其它類型的未定式例6

求

．其它類型的未定式例6

求

．解

這是

型未定式，它可以先化為

型未定式，再用洛必達(dá)法則(二)求解．已化為

型其它類型的未定式例6

求

．解

這是

型未定式，它可以先化為

型未定式，再用洛必達(dá)法則(二)求解．已化為

型一般地，有

，α>0．其它類型的未定式例7

求

．其它類型的未定式例7

求

．解

這是

型未定式，它可以先化為

型未定式，再用洛必達(dá)法則(一)求解．已化為

型其它類型的未定式例8

求

．其它類型的未定式例8

求

．解

這是

型未定式．由于被求極限的函數(shù)是冪指形式，故先設(shè)：

，然后取對數(shù)

，并取極限

，

化為

型未定式，再用洛必達(dá)法則(二)求解．即其它類型的未定式例8

求

．解

其它類型的未定式

對

和型未定式，由于被求極限的函數(shù)一般都是冪指形式，故先設(shè)

，然后取對數(shù)

，并取極限

，化為

型或型未定式，再用洛必達(dá)法則求解．中值定理與洛必達(dá)法則謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第12講3.3函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)要求

掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性方法．函數(shù)的單調(diào)性

從幾何直觀上分析，容易看到，下圖中的曲線是上升的，其上每一點(diǎn)處的切線與

x軸正向的夾角都是銳角，切線的斜率大于零，即f(x)

在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于零；函數(shù)的單調(diào)性相反地，下圖中的曲線是下降的，其上每一點(diǎn)處的切線與

x軸正向的夾角都是鈍角，切線的斜率小于零，即

f(x)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)小于零．函數(shù)單調(diào)性的判別定理

定理3.4設(shè)函數(shù)

y=f(x)

在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)．

（1）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)>0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)增加；

（2）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)<0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)減少．函數(shù)單調(diào)性的判別定理

定理3.4設(shè)函數(shù)

y=f(x)

在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)．

（1）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)>0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)增加；

（2）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)<0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)減少．

如果將定理中的開區(qū)間換成其它各種區(qū)間（包括無限區(qū)間），定理的結(jié)論仍成立．

保持

f

(x)不變號的區(qū)間，就是函數(shù)

y=f(x)

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)單調(diào)性的判別例1求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)單調(diào)性的判別例1求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)；因?yàn)?/p>

，令

，得

x1=1，x2=2；

函數(shù)單調(diào)性的判別例1求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)；因?yàn)?/p>

，令

，得

x1=1，x2=2；

以點(diǎn)

x1=1，x2=2為分點(diǎn)，將函數(shù)定義域分為三個(gè)子區(qū)間：(-∞,1)，(1,2)，(2,+∞)；當(dāng)

x∈(-∞,1)時(shí)，f

(x)>0；當(dāng)

x∈(1,2)時(shí)，f

(x)<0；當(dāng)

x∈(2,+∞)時(shí)，f

(x)>0；函數(shù)單調(diào)性的判別當(dāng)

x∈(-∞,1)時(shí)，f

(x)>0；當(dāng)

x∈(1,2)時(shí)，f

(x)<0；當(dāng)

x∈(2,+∞)時(shí)，f

(x)>0；所以該函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,1)

和

(2,+∞)，單調(diào)減少區(qū)間為(1,2)．函數(shù)單調(diào)性的判別例2求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)單調(diào)性的判別例2求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞)；因?yàn)?/p>

，

(x

≠

-1)；所以函數(shù)在

(-∞,-1)∪(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)增加．函數(shù)單調(diào)性的判別例3

試證當(dāng)

x>0

時(shí)，

．函數(shù)單調(diào)性的判別例3

試證當(dāng)

x>0

時(shí)，

．證

只需證明當(dāng)

x>0

時(shí)，有

．因?yàn)?/p>

f(x)在

[0,+∞)連續(xù)，在

(0,+∞)

可導(dǎo)，且

，函數(shù)單調(diào)性的判別當(dāng)

x>0

時(shí)，

，f(x)單調(diào)增加，且

f(0)=0．所以，當(dāng)

x>0

時(shí)，f(x)>0，即

．函數(shù)的單調(diào)性謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第13講3.4

函數(shù)的極值教學(xué)要求

理解函數(shù)極值的概念；

掌握求函數(shù)極值的方法．函數(shù)極值的定義

定義3.1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義．(1)如果對該鄰域內(nèi)任意的

x(x

x0)，總有

f(x)<f(x0)，則稱

f(x0)為函數(shù)

f(x)的極大值，并且稱點(diǎn)x0為

f(x)的極大值點(diǎn)；函數(shù)極值的定義

定義3.1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義．(1)如果對該鄰域內(nèi)任意的

x(x

x0)，總有

f(x)<f(x0)，則稱

f(x0)為函數(shù)

f(x)的極大值，并且稱點(diǎn)x0為

f(x)的極大值點(diǎn)；(2)如果對該鄰域內(nèi)任意的

x(x

x0)，總有

f(x)>f(x0)，則稱

f(x0)為函數(shù)

f(x)的極小值，并且稱

點(diǎn)x0為

f(x)的極小值點(diǎn)．

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．函數(shù)極值的概念

函數(shù)

f(x)在

x1，x4兩點(diǎn)處取得極大值，而在x2，x5兩點(diǎn)處取得極小值，其中極大值

f(x1)小于極小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx函數(shù)極值的概念

函數(shù)

f(x)在

x1，x4兩點(diǎn)處取得極大值，而在x2，x5兩點(diǎn)處取得極小值，其中極大值

f(x1)小于極小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx

在函數(shù)的極值點(diǎn)處，曲線或者有水平切線，如

f

(x1)=0,f

(x5)=0，或者切線不存在，如在點(diǎn)x2,x4處

f

(x)不存在．但是，有水平切線的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如點(diǎn)

x3．由此可知，極值點(diǎn)應(yīng)該在導(dǎo)數(shù)為

0或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)中尋找．極值點(diǎn)的必要條件

定理3.5如果

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極值且在

x0處可導(dǎo)，則

f

(x0)=0

．極值點(diǎn)的必要條件

定理3.5如果

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極值且在

x0處可導(dǎo)，則

f

(x0)=0

．

幾何意義：如果函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0處具有極值，且曲線

y=f(x)在點(diǎn)

(x0,f(x0))處有不垂直于

x軸的切線，則該切線平行于

x軸．

使

f

(x0)=0的點(diǎn)，稱為函數(shù)

f(x)的駐點(diǎn)．極值點(diǎn)的必要條件注意：1.可導(dǎo)函數(shù)

f

(x0)=0是點(diǎn)

x0為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件．也就是說，使

f

(x0)=0成立的點(diǎn)（駐點(diǎn)）并不一定是極值點(diǎn)，例如

f(x)=x3的駐點(diǎn)

x0=0不是它的極值點(diǎn)．極值點(diǎn)的必要條件注意：1.可導(dǎo)函數(shù)

f

(x0)=0是點(diǎn)

x0為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件．也就是說，使f

(x0)=0成立的點(diǎn)（駐點(diǎn)）并不一定是極值點(diǎn)，例如

f(x)=x3的駐點(diǎn)

x0=0不是它的極值點(diǎn)．2.使

f

(x)不存在的點(diǎn)

x0可能是函數(shù)

f(x)

的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，如,

，顯然

f

(0)不存在，但在

x0=0處卻取得極小值

f(0)=0．極值點(diǎn)的第一判別法

定理3.6設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0的鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)

(允許

f

(x0)不存在)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過x0點(diǎn)時(shí)，若

(1)f

(x)由正變負(fù)，則x0是極大值點(diǎn)；(2)f

(x)由負(fù)變正，則x0是極小值點(diǎn)；(3)f

(x)不改變符號，則x0不是極值點(diǎn).極值點(diǎn)的第一判別法

定理3.6設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0的鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)

(允許

f

(x0)不存在)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過x0點(diǎn)時(shí)，若

(1)f

(x)由正變負(fù)，則x0是極大值點(diǎn)；(2)f

(x)由負(fù)變正，則x0是極小值點(diǎn)；(3)f

(x)不改變符號，則x0不是極值點(diǎn).

極值點(diǎn)第一判別法通常叫做極值存在的充分條件．求函數(shù)極值的步驟（1）確定函數(shù)

f(x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)f

(x)；（2）解方程

f

(x)=0，求出

f(x)在其定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)；

（3）找出

f(x)的連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的所有點(diǎn)；（4）討論

f

(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右兩側(cè)附近符號變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn)；（5）求出極值點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值（極大值和極小值）．用第一判別法求函數(shù)極值例1求函數(shù)

的極值．用第一判別法求函數(shù)極值例1求函數(shù)

的極值．解（1）函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

x1=0，x2=1；（3）該函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（4）駐點(diǎn)將定義域分成三個(gè)子區(qū)間

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．用第一判別法求函數(shù)極值解……

駐點(diǎn)將定義域分成三個(gè)子區(qū)間

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．

當(dāng)x

(-∞,0)時(shí)，f

(x)>0；

當(dāng)x

(0,1)時(shí)，f

(x)<0；所以

x1=0是

f(x)的極大值點(diǎn)，極大值是f(0)=2；

又當(dāng)

x

(0,1)時(shí)，f

(x)<0；

當(dāng)

x

(1,+∞)時(shí)，f

(x)<0；所以

x2=1不是

f(x)的極值點(diǎn)．用第一判別法求函數(shù)極值例2求函數(shù)

的極值．用第一判別法求函數(shù)極值例2求函數(shù)

的極值．解（1）函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

x1=8；（3）f

(x)在點(diǎn)

x2=0處不存在；（4）導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)

x2=0和駐點(diǎn)

x1=8，將定義域分成三個(gè)子區(qū)間

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．用第一判別法求函數(shù)極值解……

導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)

x2=0和駐點(diǎn)

x1=8，將定義域分成三個(gè)子區(qū)間

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．

當(dāng)

x

(-∞,0)時(shí)，f

(x)<0；

當(dāng)

x

(0,8)時(shí)，f

(x)>0；所以

x2=0是函數(shù)

f(x)的極小值點(diǎn)，極小值是

f(0)=0．

又當(dāng)

x

(0,8)時(shí)，f

(x)>0；

當(dāng)

x

(8,+∞)時(shí)，f

(x)<0；所以

x1=8是

f(x)的極大值點(diǎn)，極大值是

f(8)=4.極值點(diǎn)的第二判別法

定理3.7設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且

f

(x0)=0，

（1）若

f

(x0)<0，則函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極大值；

（2）若

f

(x0)>0，則函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極小值

（2）若

f

(x0)=0，則不能判斷

f(x0)是否是極值．極值點(diǎn)的第二判別法

極值點(diǎn)第二判別法也是極值存在的充分條件，它表明在函數(shù)

f(x)的駐點(diǎn)

x0處，若二階導(dǎo)數(shù)

f

(x0)

0，那么該駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)，可以用

f

(x0)的符號判定

f(x0)是極大值還是極小值.

若二階導(dǎo)數(shù)

f

(x0)=0，那么該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)還要用第一判別法進(jìn)行判別．用第二判別法求函數(shù)極值例3求函數(shù)

的極值．用第二判別法求函數(shù)極值例3求函數(shù)

的極值．解

函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且

；令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

x1=1，

，x3=-1；該函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．用第二判別法求函數(shù)極值例3求函數(shù)

的極值．解……因?yàn)?/p>

，，所以

x1=1是

f(x)的極小值點(diǎn)，極小值是

f(1)=0；

是

f(x)的極大值點(diǎn)，極大值是

．用第二判別法求函數(shù)極值解……

由于

，不能用第二判別法判別

x3=-1是否為極值點(diǎn)．改用第一判別法，

當(dāng)

x

(-∞,-1)時(shí)，f

(x)>0；

而當(dāng)

時(shí)，f

(x)>0；故由第一判別法可知，x3=-1不是

f(x)的極值點(diǎn)．最大值、最小值及其求法

因此，求連續(xù)函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間

[a,b]上的最大值和最小值，只需分別求出

f(x)在其駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)以及端點(diǎn)

a,b處的函數(shù)值．這些函數(shù)值中的最大者就是函數(shù)在

[a,b]上的最大值，最小者就是函數(shù)在

[a,b]上的最小值．最大值、最小值及其求法

當(dāng)

x0

[a,b]是

f(x)的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)時(shí)，那么對任意的

x

[a,b]，都有

f(x0)≥

f(x)，或

f(x0)≤

f(x)．

也就是說，最大值、最小值是對整個(gè)區(qū)間而言的，它可能在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)取得（則它必是極值點(diǎn)），也可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得．最大值、最小值及其求法例4求函數(shù)

在區(qū)間[-4,4]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法例4求函數(shù)

在區(qū)間[-4,4]上的最大值和最小值．解

因?yàn)?/p>

，令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

x1=-1，x2=3．計(jì)算

f(x)在區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)x1，x2處的函數(shù)值，得f(-4)=-71，f(4)=-15，f(-1)=10，f(3)=-22比較各函數(shù)值得，f(x)在區(qū)間[-4,4]上的最大值為

f(-1)=10，最小值為

f(-4)=-71．最大值、最小值及其求法例5求函數(shù)

在區(qū)間

[-2,2]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法解

因?yàn)?/p>

，令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

，且導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)

x2=1處不存在．計(jì)算

f(x)在區(qū)間端點(diǎn)及點(diǎn)

x1，x2處的函數(shù)值，得

例5求函數(shù)

在區(qū)間

[-2,2]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法解……

比較各函數(shù)值得，f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為

f(-2)=2.88，最小值為

．函數(shù)的極值謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第14講3.5利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)教學(xué)要求

掌握判斷函數(shù)圖形的凹凸性及拐點(diǎn)方法．函數(shù)的凹凸與拐點(diǎn)

在研究函數(shù)圖像的變化狀況時(shí)，了解它上升和下降的規(guī)律是有用的，但上升和下降不能完全反映圖像的變化．如圖所示的函數(shù)圖像在區(qū)間內(nèi)始終是上升的，但卻有不同的彎曲狀況.

它從左端點(diǎn)開始，曲線先向上彎曲，通過點(diǎn)P后變?yōu)橄蛳聫澢耍虼耍芯亢瘮?shù)圖像時(shí)，考察它的彎曲方向以及改變彎曲方向的點(diǎn)是完全必要的．yxOabPy=f(x)曲線凹凸的定義

定義3.2如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凹的，如圖14-1；

如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凸的，如圖14-2．圖14-1圖14-2曲線凹凸的幾何意義

由圖14-1發(fā)現(xiàn)，對于凹曲線，當(dāng)

x逐漸增加時(shí)，其上每一點(diǎn)切線的斜率是逐漸增加的，即導(dǎo)函數(shù)

f

(x)是單調(diào)增加函數(shù)；而圖12-2中的凸曲線，其上每一點(diǎn)切線的斜率是逐漸減少的，從而

f

(x)是單調(diào)減少函數(shù)．圖14-1圖14-2曲線凹凸的判別定理

定理3.8設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，(1)若a<x<b

時(shí)，恒有

f

(x)>0，則曲線

y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的；(2)若a<x<b

時(shí)，恒有

f

(x)<0，則曲線

y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的．曲線拐點(diǎn)的概念

定義3.3曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).

拐點(diǎn)既然是凹與凸的分界點(diǎn)，那么在拐點(diǎn)的左、右鄰近

f

(x)

必然異號，因而在拐點(diǎn)處有

f

(x)=0或

f

(x)不存在．

與駐點(diǎn)的情形類似，使

f

(x)=0的點(diǎn)只是可能的拐點(diǎn)．究竟它是否為拐點(diǎn)，還要根據(jù)

f

(x)在該點(diǎn)的左、右鄰近是否異號來確定.曲線的凹凸與拐點(diǎn)

求拐點(diǎn)的一般步驟：

（1）求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

f

(x)；

（2）令

f

(x)=0，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

（3）對步驟（2）求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、右區(qū)間中

f

(x)的符號，如果異號則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；如果同號則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例1 求曲線

y=x4

-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例1 求曲線

y=x4

-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例1 求曲線

y=x4

-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．當(dāng)x

(-∞,0)時(shí)，f

(x)>0，區(qū)間(-

,0)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)

x

(0,1)時(shí)，f

(x)<0，區(qū)間(0,1)為曲線的凸區(qū)間；曲線的凹凸與拐點(diǎn)解

因?yàn)?/p>

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．當(dāng)x

(-∞,0)時(shí)，f

(x)>0，區(qū)間(-

,0)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)

x

(0,1)時(shí)，f

(x)<0，區(qū)間(0,1)為曲線的凸區(qū)間；當(dāng)

x

(1,+∞)時(shí)，f

(x)>0，區(qū)間(1,+

)為曲線的凹區(qū)間；所以，曲線的拐點(diǎn)為(0,1)和(1,0)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例2 求曲線

y=(2x-1)4+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例2 求曲線

y=(2x-1)4+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例2 求曲線

y=(2x-1)4+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．當(dāng)

x

(-∞,0.5)時(shí)，f

(x)>0，區(qū)間

(-

,0.5)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)x

(0.5,+∞)時(shí)，f

(x)>0，區(qū)間(0.5,+

)為曲線的凹區(qū)間；所以，曲線的凹區(qū)間為

(-

,+

)，沒有凸區(qū)間，也沒有拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例3 求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例3 求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

，

；當(dāng)

x=4時(shí)，y

不存在，且

y

在(-

,+

)內(nèi)沒有使

y

=0的點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例3 求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

，

；當(dāng)

x=4時(shí)，y

不存在，且

y

在(-

,+

)內(nèi)沒有使

y

=0的點(diǎn)．當(dāng)

x

(-∞,4)時(shí)，f

(x)>0，區(qū)間

(-∞,4)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)x

(4,+∞)時(shí)，f

(x)<0，區(qū)間(4,+

)為曲線的凸區(qū)間；所以，曲線的拐點(diǎn)為(4,2)．曲線的漸近線

有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間，其圖形向無窮遠(yuǎn)延伸，如雙曲線、拋物線等．有這樣特性的、且在向無窮遠(yuǎn)延伸時(shí)曲線將接近某一條直線，這樣的直線叫做曲線的漸近線．曲線的漸近線定義

定義3.4如果曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無窮時(shí)，該點(diǎn)與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線．曲線的漸近線1．水平漸近線

設(shè)曲線y=f(x)，如果

，則稱直線

y=c為曲線

y=f(x)的水平漸近線．

如果極限

不存在，那么曲線無水平漸近線．曲線的漸近線2．鉛垂?jié)u近線

如果曲線

y=f(x)在點(diǎn)

x0

處間斷，且

，則稱直線

x=x0

為曲線

y=f(x)的鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線例4求曲線

的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線例4求曲線

的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線．

解

因?yàn)?/p>

，所以直線

y=1是曲線的水平漸進(jìn)線．

又因?yàn)?/p>

2是

的間斷點(diǎn)，且

，所以直線

x=2是曲線的鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線3．斜漸近線

設(shè)曲線y=f(x)，如果有=0成立，則稱直線

y=ax+b為曲線

y=f(x)的斜漸近線．其中

，

．曲線的漸近線例5求曲線

的漸近線．

曲線的漸近線例5求曲線

的漸近線．

解

因?yàn)?/p>

不存在，所以曲線無水平漸近線.

因?yàn)?/p>

x=-1是

的間斷點(diǎn)，且

，所以直線

x=-1是曲線的鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線又因?yàn)?/p>