專題11 三角形常見模型（熱考模型）（原卷版）

專題11三角形常見模型（熱考模型）模型歸納模型歸納模型一：飛鏢模型模型二：8字模型模型三：角平分線模型模型四：裁剪模型模型五：翻折模型【典例分析】【模型一：飛鏢模型】【典例1】探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【變式1-1】（2020春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長線上的一點，DE⊥AB于點E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°【變式1-2】（2017?東昌府區(qū)一模）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°【變式1-3】（2021春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，點C是∠BAD內(nèi)一點，連CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．150°【變式1-4】（2021?碑林區(qū)校級二模）如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，則∠A＝．【模型二：8字模型】【典例2】圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【變式2-1】（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【變式2-2】如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【變式2-3】已知，如圖，線段AD、CB相交于點O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系，請說明理由．【變式2-4】在學習并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系：；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關系，并說明理由．【典例3】如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°【變式3-1】如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【變式3-2】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為【模型三：角平分線模型】【典例4】在△ABC中，∠A＝40°：（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內(nèi)角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；（2）如圖（2）BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；（3）如圖（3）BO、CO分別是△ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；（4）根據(jù)上述三問的結(jié)果，當∠A＝n時，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關系（只需寫出結(jié)論）【變式4-1】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求證：∠P＝90°+∠A；（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．【變式4-2】在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如圖①，若∠BPC＝α，則∠A＝；（用α的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論）（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點Q，試探究∠Q與∠BPC之間的數(shù)量關系，并說明理由．【模型四：裁剪模型】【典例5】如圖，將一個三角形剪去一個角后，∠1+∠2＝240°，則∠A等于（）A．45° B．60° C．75° D．80°【變式5-1】如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2＝（）°．A．90 B．135 C．180 D．270【變式5-2】如圖，△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．150° D．270°【變式5-3】如圖，在△ABC中，∠C＝50°，按圖中虛線將∠C剪去后，∠1+∠2等于．【模型五：翻折模型】【典例6】我們在小學已經(jīng)學習了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點C落在點C'的位置．（1）如圖1，當點C落在邊BC上時，若∠ADC'＝58°，則∠C＝，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC'與∠C的數(shù)量關系是；（2）如圖2，當點C落在△ABC內(nèi)部時，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度數(shù)；（3）如圖3，當點C落在△ABC外部時，若設∠BEC'的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請求出∠C與x，y之間的數(shù)量關系．【變式6-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在邊AC上點E處，若∠B＝65°，則∠ADE的大小為（）A．40° B．50° C．65° D．75°【變式6-2】如圖，將△ABC沿著平行于BC的直線DE折疊，點A落在點A'處，若∠B＝44°，則∠A'DB的度數(shù)是（）A．108° B．104° C．96° D．92°【變式6-3】如圖，將△ABC一角折疊，若∠1+∠2＝80°，則∠B+∠C＝（）A．40° B．100° C．140° D．160°【夯實基礎】1．如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．45°2．如圖，點B是△ADC的邊AD的延長線上一點，DE平分∠CDB，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，則∠A的度數(shù)等于（）A．70° B．100° C．110° D．120°3．如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D，∠A＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°第6題圖4．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處．若∠A＝24°，則∠EDC等于（）A．69° B．67° C．66° D．42°5．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處．若∠A＝22°，則∠EDA等于（）A．46° B．56° C．36° D．77°6．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，點A落在四邊形DEBC內(nèi)部A'，當∠A＝30°時，∠1+∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．在直角△ABC中，∠C＝90°，沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2＝．8．如圖，在△ABC中，∠C＝40°，按圖中虛線將∠C剪去后，∠1+∠2等于．9．有一張直角三角形紙片，記作△ABC，其中∠B＝90°．按如圖方式剪去它的一個角（虛線部分），在剩下的四邊形ADEC中，若∠1＝165°，則∠2的度數(shù)為°．10．將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在點A'處，若∠1＝80°，∠2＝28°，則∠A的度數(shù)為．11．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，則∠1+∠2的度數(shù)為．12．如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．13．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系：；（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若∠D和∠B為任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．14．“8字”的性質(zhì)及應用：（1）如圖①，AD、BC相交于點O，得到一個“8字”ABCD，求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）圖②中共有多少個“8字”？（3）如圖②，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結(jié)論證明∠E＝（∠A+∠C）．15．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．直接寫出線段EF與BE，CF之間的數(shù)量關系：．（2）如圖2，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于點O，過O點作OE∥BC交AB于點E，交AC于點F．則EF與BE，CF之間的數(shù)量關系又如何？說明你的理由．【能力提升】16．如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，則∠A1＝．∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分線與∠A2009CD的平分線交于點A2010，得∠A2010，則∠A2010＝．17．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（