專題14 倍長中線法與截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形（原卷版）

專題14倍長中線法與截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三形模型歸納模型歸納模型一：倍長中線法構(gòu)造全等三角形模型二：截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形【典例分析】【模型一：倍長中線法構(gòu)造全等三角形】△ABC中,AD是BC邊中線方式1：直接倍長延長AD到E，使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E（2）延長MD到N，使DN=MD，連接CN倍長中線法原理：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對(duì)頂角一般用“SAS”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對(duì)頂角一般用“SAS”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）【典例1】（2021春?吉安縣期末）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【變式1-1】（2021秋?肥西縣期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和9，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7【變式1-2】如圖，AE是△ABD的中線AB＝CD＝BD．求證：AB+AD＞2AE；【變式1-3】（2021秋?齊河縣期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【模型二：截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形】截長：1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線；2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。截長：1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線；2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短：1.延長短邊；2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起【典例2】（2020秋?富縣期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，AB＞AC，求證：AB﹣AC＞BD﹣CD．【變式2-1】（2020秋?順慶區(qū)校級(jí)期中）如圖：銳角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求證：AC+CD＝BD．【變式2-2】如圖所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．試判斷∠B與∠C之間的關(guān)系．【典例3】把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【變式3-1】（2012?昌平區(qū)模擬）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式3-2】（2021春?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC，EB為其對(duì)角線，EA＝ED．（1）如圖1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求證：EC平分∠BCD；（2）如圖2，∠A與∠D互補(bǔ)，∠DEA＝2∠CEB，若凸五邊形ABCDE面積為30，且CD＝AB＝4．求點(diǎn)E到BC的距離．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2021秋?新城區(qū)校級(jí)期中）已知AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝12，AC＝8，則中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不對(duì)2．（2021秋?南充期末）如圖，AD是△ABC的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，且DF＝DE．求證：BE∥CF．3．（2021秋?濱湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，已知：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長到點(diǎn)E，連接BE．（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．4．（2021秋?漢陽區(qū)校級(jí)月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（2）受到（1）啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.5．（2021秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB∥CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接寫出線段DF的長．6．已知，如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求證：AD+BC＝AB．7.（2020秋?建華區(qū)期末）閱讀下面文字并填空：數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求證：AB+BD＝AC．”李老師給出了如下簡要分析：要證AB+BD＝AC，就是要證線段的和差問題，所以有兩個(gè)方法：方法一：“截長法”．如圖2，在AC上截取AE＝AB，連接DE，只要證BD＝即可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出△≌△，得出∠B＝∠AED及BD＝，再證出∠＝，進(jìn)而得出ED＝EC，則結(jié)論成立．此種證法的基礎(chǔ)是“已知AD平分∠BAC，將△ABD沿直線AD對(duì)折，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)E處”成為可能．方法二：“補(bǔ)短法”．如圖3，延長AB至點(diǎn)F，使BF＝BD．只要證AF＝AC即可，此時(shí)先證∠＝∠C，再證出△≌△，則結(jié)論成立．“截長補(bǔ)短法”是