高等數(shù)學（第五版）課件 陳如邦 第二章 導數(shù)與微分

第二章導數(shù)與微分第一節(jié)

導數(shù)的概念

在上面的兩個具體問題中，盡管實際背景不一樣，但從抽象的數(shù)量關系來看卻是一樣的，都是當自變量的改變量趨于零時，計算函數(shù)的改變量與自變量的改變量比值的極限.在數(shù)學中，把這種類型的極限叫做函數(shù)的導數(shù).

左、右極限都存在且相等.左、右極限和

可導性與連續(xù)性都是函數(shù)的特性，那它們有什么關系嗎？

②

計算比值

③

計算極限

②

計算比值

③

計算極限

過曲線上一點且垂直于該點處的切線的直線，法線的斜率與切線的斜率互為負倒數(shù).

但連續(xù)卻不一定可導.

兩邊取極限，

所以可導必連續(xù)，

可導性連續(xù)性VS通過上面比較可導性與連續(xù)性的定義，我們可以看到它們之間存在密切的關系：一個函數(shù)在某點的導數(shù)可以通過極限來定義，而連續(xù)性也是通過極限來定義的.因此可導與連續(xù)有著本質(zhì)的聯(lián)系.

綜上可知：

但其逆不真.第二章導數(shù)與微分第二節(jié)

導數(shù)的運算

前一節(jié)中我們利用導數(shù)的定義，給出了幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式．但根據(jù)定義求導數(shù)往往很繁瑣，運算量大，有時甚至是不可行的．本節(jié)討論求導數(shù)的一般法則，以及常用函數(shù)的求導公式，使求導的運算變得更為簡單易行．

證明：

根據(jù)導數(shù)定義，F(xiàn)(x)的導數(shù)為

證明：

根據(jù)導數(shù)定義，G(x)的導數(shù)為

證明：

根據(jù)導數(shù)定義，H(x)的導數(shù)為

例2.求證

證:

類似可證:

②

③

解

′′′例4二、反函數(shù)的導數(shù)

證明：

三、復合函數(shù)的求導法則

復合函數(shù)求導法則又稱鏈式法則.運用時，首先要分清復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)（或簡單的初等函數(shù)）復合而成，這是正確使用復合函數(shù)求導法則的關鍵；其次是由外到內(nèi)，逐層求導.在使用時可以寫出中間變量再求導，也可以不寫中間變量直接求導.

從以上例子可以看出，復合函數(shù)求導法則有時還與求導的四則運算混合在一起使用．這時原則上仍按由外及里的次序考慮．如例3(1)外層為復合對數(shù)運算，內(nèi)層為和的求導，因此先復合后加法；例3(2),(3)外層為乘法運算，內(nèi)層為復合，因此先用乘法公式，后用復合求導.

四、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

四、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

四、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式第二章導數(shù)與微分第三節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)

二對數(shù)求導法

取對數(shù)，化乘除為加減，化乘方、開方為乘除，然后再利用隱函數(shù)求導法，

幾個因子通過乘、除、乘方、開方所構成的比較復雜函數(shù)的求導問題.

解

先在等式的兩邊同時取對數(shù)，得

1、取對數(shù)求導法；

解

方法一

方法二

三、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

在解析幾何中參數(shù)方程

上述公式為參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導函數(shù)求導公式.

解方法一.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)公式可得

方法二.

基于復合函數(shù)求導法則,我們學習了隱函數(shù)導數(shù)的求法和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)的求法，兩種方法都蘊含著“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”這一辯證唯物主義的哲學原理.撥開隱函數(shù)、參數(shù)方程的華麗外表，可以發(fā)現(xiàn)它們背后隱藏的是復合函數(shù).求導方法提示我們，我們通常常會被表面現(xiàn)象或假象所迷惑，只有通過深入思考和分析，才可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的真實，才能掌握事情的本質(zhì).“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”是一種辯證唯物主義的哲學原理，它可以幫助我們更好地認識事物、理解事物，避免被表面現(xiàn)象和假象迷惑。要求我們要具備敢于質(zhì)疑的勇氣，具備提出問題、分析問題和解決問題的能力，只有這樣才可以揭示出事物的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，才可以更加準確的認識世界.第二章導數(shù)與微分第四節(jié)高階導數(shù)

第二章導數(shù)與微分第五節(jié)函數(shù)的微分

一、微分的概念

從定義可以看出求微分主要在于求導數(shù).

這就是說，

2．微分的幾何意義

即

導數(shù)與微分的聯(lián)系：

思考題解答說法不對.

從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.1．微分的基本公式

二、微分的運算

求復合函數(shù)的微分有兩種方法：

一種是先用復合函數(shù)的求導法則求出復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，再乘以自變量的微分；

另一種是用一階微分形式的不變性求微分.

微分的乘法法則

三、微分在近似計算中的應用例5

當一塊正方形金屬薄片受到溫度變化的