高等數(shù)學（第五版）課件 陳如邦 第十一章 概率

第十一章概率第一節(jié)

隨機事件與概率一、隨機事件1.隨機現(xiàn)象在生產(chǎn)實踐、科學實驗和日常生活中，人們觀察到的現(xiàn)象是各種各樣的，但歸納起來大體上可分為兩類：

另一類是隨機現(xiàn)象，即在同樣的條件下重復進行一系列試驗，每次試驗的可能結(jié)果不止一個，且事先不能預(yù)知將會出現(xiàn)哪一種結(jié)果，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性.例如，向上拋擲一枚均勻硬幣，落下后可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果是什么；某射手向同一目標射擊多次，各次射擊的彈著點不盡相同，并且每次射擊之前無法預(yù)知彈著點的確切位置；抽樣檢驗產(chǎn)品質(zhì)量的結(jié)果等等.人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)隨機現(xiàn)象雖然就每次試驗結(jié)果來說，具有不確定性，但在大量重復試驗下，其結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.例如，多次拋擲一枚均勻的硬幣，得到正面朝上的次數(shù)大約是總拋擲次數(shù)的一半；某射手向同一目標射擊的彈著點按照一定的規(guī)律分布等等.這種在大量重復試驗下，其結(jié)果所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，我們稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.2.隨機試驗

盡管這些試驗結(jié)果的情況不一樣，但它們都具有以下三個特點：（1）試驗在相同的條件下可以重復進行；（2）試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是明確可知道的，并且不止一個；（3）每次試驗之前不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.將具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗.3.隨機事件

隨機事件具有以下特點：（1）在一次試驗中是否發(fā)生是不確定的，即隨機性；（2）在相同的條件下重復試驗時，發(fā)生可能性的大小是確定的，即統(tǒng)計規(guī)律性.

二、事件的關(guān)系及運算在研究隨機試驗時常常會涉及多個事件，而這些事件之間往往是有關(guān)系的.了解事件間的相互關(guān)系，便于我們通過對簡單事件的了解，去研究較復雜事件的規(guī)律.既然事件可以用集合來表示，那么事件的關(guān)系和運算自然可以按照集合論中集合之間的關(guān)系和運算來處理.

三、隨機事件的概率隨機事件在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即有其偶然性的一面.但是在相同的條件下進行大量的重復試驗就會發(fā)現(xiàn)隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律性.不同事件發(fā)生的可能性有大小之分，而且這種可能性的大小是事件本身固有的一種屬性，它是可以用數(shù)字來度量的.概率就是刻劃事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標.我們先介紹概率的統(tǒng)計定義.1.事件的頻率與概率的統(tǒng)計定義

試驗者投擲次數(shù)摩

根204810610.5181蒲

豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維

尼30000149940.4998表11-1“投擲硬幣”試驗的幾個著名的記錄

2.概率的古典定義

古典概型是等可能概型.實際應(yīng)用中屬于古典概型的情況是很多的，例如：擲硬幣、摸球、產(chǎn)品質(zhì)量檢驗等試驗，都屬于古典概型.

在解此例時，我們是采用羅列基本事件的方法，這種方法直觀、清楚，但是太繁瑣.在很多場合下，由于基本事件的總數(shù)很大，這種方法實際上是行不通的.因此在大多場合下，我們是利用計算排列數(shù)、組合數(shù)的方法，來分析求解古典概型問題的.

3.概率的性質(zhì)由概率的定義，可以推出概率的一些基本性質(zhì)：

第十一章概率第二節(jié)

隨機事件概率的計算一、概率的加法公式

二、條件概率與乘法公式

例3

某企業(yè)有職工400名，其中男女職工各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為20人與40人.現(xiàn)從中任選一名職工，試問：該職工技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？已知選出的是男職工，他的技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？

這一關(guān)系是從本例得出的，但它具有普遍意義.

2．乘法公式

三、全概率公式概率論中往往希望從已知的簡單事件的概率推算出復雜事件的概率.為了達到這個目的，我們經(jīng)常把一個復雜事件分解成若干個互不相容的簡單事件之和，再通過分別計算這些簡單事件的概率，最后利用概率的可加性得到最終結(jié)果.全概率公式在這里起著重要的作用.

為了介紹全概率公式，我們先引入完備事件組的概念.

四、事件的獨立性

五、伯努利(Bernoulli)概型在一些實際問題中，我們關(guān)心的是試驗中某個事件是否會發(fā)生.例如，拋擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面；從一批產(chǎn)品中任取一件觀察它是否為正品；射擊一次觀察是否擊中目標.這種只考慮兩種可能結(jié)果的試驗稱為伯努利試驗.

第十一章概率第三節(jié)

離散型隨機變量及其分布一、隨機變量的概念在第一節(jié)中，我們引進了隨機現(xiàn)象、隨機試驗、隨機事件等概念，在刻畫隨機事件時，我們采用語言描述等較繁瑣的定性方法，且只是考慮個別（至多是幾個）隨機事件的概率.為了深入全面地研究隨機現(xiàn)象，充分認識隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，使定量的數(shù)學處理成為可能，就必須將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，把隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，建立類似實函數(shù)的映射，這是“結(jié)果數(shù)量化”的有效可行的簡單方法，這種隨機試驗結(jié)果與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，我們稱之為隨機變量.隨機變量的引入，使我們能夠利用微積分的方法來研究隨機試驗，用隨機變量來描述隨機現(xiàn)象是概率論中最重要的方法.

上述3例中，隨機試驗的結(jié)果都可以直接用數(shù)量來表示，但也有一些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量表示的，而是表現(xiàn)為某種屬性，此時也可數(shù)量化.

由此可見，引入隨機變量后，對隨機事件的研究即可轉(zhuǎn)化為對隨機變量的研究，為利用微積分這個數(shù)學工具創(chuàng)造了條件.

二、離散型隨機變量及其分布

例如：例1中隨機變量ξ的分布律為

例4

設(shè)隨機變量ξ的分布律為求常數(shù)c.

三、幾種常用的離散型隨機變量的分布

兩點分布是最簡單又常見的概率分布，例如拋硬幣試驗，檢驗產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，藥物的毒性試驗等都可以用兩點分布來描述.

顯然，兩點分布是二項分布的特殊情況.

具有泊松分布的隨機變量在實際應(yīng)用中是很多的，例如，某一時段進入某商店的顧客數(shù)，某一地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)，一天內(nèi)110報警臺接到的報警的次數(shù)，在一個時間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)等等，都服從泊松分布.

例9

一個工廠中生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為0.005，任取1000件，計算（1）其中至少有兩件是廢品的概率；（2）其中不超過5件廢品的概率.

第十一章概率第四節(jié)

連續(xù)型隨機變量及其分布一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度

反之，若一個函數(shù)具有上述兩條性質(zhì)，則它一定是某個連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù).

二．分布函數(shù)

2．離散型隨機變量的分布函數(shù)

3．連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)

三、幾種常用的連續(xù)型隨機變量的分布

正態(tài)分布是最常見的一種分布，在實際應(yīng)用中，許多隨機變量服從或接近服從正態(tài)分布，例如，測量誤差、農(nóng)作物的收獲量、人的身高與體重、射擊時彈著點與靶心的距離和某地區(qū)的年降水量等都可認為服從正態(tài)分布.

有下列計算概率的公式：

四、隨機變量函數(shù)的分布

第十一章概率第五節(jié)

隨機變量的數(shù)字特征一、離散型隨機變量的數(shù)學期望

求該射手的平均每槍擊中的環(huán)數(shù).

所以在研究隨機變量取值的平均值時，不僅要考慮它的各個取值，還應(yīng)同時考慮取各個值相對應(yīng)的概率.

由定義可知，數(shù)學期望就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均，它刻劃了隨機變量取值的平均大小.由于一個隨機變量完全由它的分布所決定，因此隨機變量的期望又稱為分布