高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 陳如邦 第四章 不定積分

第四章不定積分第一節(jié)

不定積分的概念與性質(zhì)

下面我們考慮其逆命題——在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使得下列等式成立：

我們把這種求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算稱為求原函數(shù).一、原函數(shù)的概念

原函數(shù)的重要結(jié)論

原函數(shù)存在定理

2、由于初等函數(shù)在定義區(qū)間上都是連續(xù)的，因此初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)必存在，但有些初等函數(shù)的原函數(shù)雖然存在,卻無法用初等函數(shù)表示出來.

二、不定積分的概念

例1

求

解

解例2

求

三、基本積分公式

由于求不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算,因而為了求出一個(gè)函數(shù)的不定積分,首先要明確它是哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),把基本求導(dǎo)公式反過來,便得到不定積分的基本公式，即

例3

求

例4

求

例5

求

四、不定積分的性質(zhì)

注

性質(zhì)1,2揭示了微分(或?qū)?shù))與不定積分之間的互逆關(guān)系.例6

求

注性質(zhì)3可以推廣到有限個(gè)函數(shù)和差的情形.

注

在求不定積分時(shí),除了要利用性質(zhì)3,4外,經(jīng)常還需要對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形,將其化成基本積分公式的形式,進(jìn)而求出積分.例7

例8

例9

五、不定積分的幾何意義

例10

解

根據(jù)題意得

第四章不定積分第二節(jié)換元積分法一、第一類換元積分法

利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì),只能求出一部分函數(shù)的不定積分,因此我們還需要尋求一些特殊方法.第一類換元積分法是把微分公式與換元思想相結(jié)合的一種方法,其基本思想是：通過換元，將所求不定積分轉(zhuǎn)化為基本積分公式來求.引例

分析

將上述過程聯(lián)立起來可寫為

湊微分

換元求積分回代

由此，我們得到第一類換元積分法：

如果由基本積分公式可以求得

那么

將上述過程聯(lián)立起來，寫成下面四個(gè)步驟:

湊微分換元求積分我們稱這種方法為第一類換元積分法.

回代例1

求

解

例2

求

解

湊微分是求不定積分的關(guān)鍵，下面是一些常用的微分公式：在熟練掌握了上述四個(gè)步驟以后，我們可以省略第二步“換元”,從而把這四個(gè)步驟簡(jiǎn)化為兩步:

例3

求

解法一

解法二

例4

求

解例5

求

解

例6

求

解

例7

求

例8

求

解

例9

求

解

例10

求例11

求

例12

求

（令：t=cosx）

二、第二類換元積分法引例

引例分析

本例也是進(jìn)行換元求積分,但與第一類換元法不同,我們稱之為第二類換元積分法.定理

如果

這種方法稱為第二類換元積分法.

忽略變量符號(hào)的不同,下列示意圖反映了這兩類換元法之間的關(guān)系,從左到右就是第一類換元法,從右到左則是第二類換元法.2、根據(jù)換元函數(shù)形式的不同,我們常把第二類換元法分為代數(shù)換元積分法和三角換元積分法兩類，其主要目的是化去被積函數(shù)中的根式。

說明：1.代數(shù)換元積分法

例13

求

例14求

2.三角換元積分法

例16

求

例17

求

第四章不定積分第三節(jié)分部積分法分部積分法是另一重要的積分方法,

記

等式兩邊同時(shí)求不定積分得

或?qū)憺?1)

(2)分部積分法

由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，

例1

求

注

例1如果采用下面的方法，即

例2

求

例4

求

例6

求

解

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法和分部積分法，在求解不定積分時(shí)，我們往往需要綜合使用上述方法，想要熟練的運(yùn)用這些公式解決不定積分的計(jì)算問題，就要不斷的進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用。例7

求

例8

求

所以

例9

求