《金融數(shù)學(xué)》-利息度量

利息度量孟生旺

主要內(nèi)容累積函數(shù)有效利率（也稱為實際利率）單利和復(fù)利貼現(xiàn)函數(shù)有效貼現(xiàn)率（也稱為實際貼現(xiàn)率）名義利率名義貼現(xiàn)率利息力（連續(xù)復(fù)利）23如何度量速度？公里/小時，米/秒，……瞬時速度如何度量利息？利率（實際，名義）貼現(xiàn)率（實際，名義）利息力（連續(xù)復(fù)利）4利息（interest）：借用他人資金需支付的成本，或出讓資金獲得的報酬。利息存在的合理性資金的稀缺性時間偏好資本也是生產(chǎn)力利息的基本概念5本金（principal）：初始投資的資本金額。累積值（accumulatedvalue）：一段時期后收到的總金額。利息（interest）——累積值與本金之間的差額。6累積函數(shù)(Accumulationfunction)：時間零點的1元在時間t的累積值,記為a(t)。性質(zhì)：a(0)=1；a(t)通常是時間的增函數(shù)；當(dāng)利息是連續(xù)產(chǎn)生時，a(t)是時間的連續(xù)函數(shù)。

注：一般假設(shè)利息是連續(xù)產(chǎn)生的。累積函數(shù)7常見的幾個積累函數(shù)810ta(t)累積函數(shù)？例：假設(shè)累積函數(shù)為計算t=1時的500元

，在t=2的累積值。解：9ta(t)01122531010有效利率（effectiverateofinterest）有效利率i是期末獲得的利息金額與期初本金之比：11有效利率用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整個時期視為常數(shù)；通常使用的時間單位是年。如無特殊說明，利率是指年利率。注：例：把1000元存入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年末存款余額為1050元，求第一年和第二年的有效利率分別是多少？問題：整個存款期間的有效利率是多少？整個存款期間的年平均有效利率是多少？（后面討論）13單利(simpleinterest)單利的積累函數(shù)：14單利的累積函數(shù)

15考慮區(qū)間(t?1,t)：問題:為什么單利的有效利率越來越??？單利的有效利率只有本金產(chǎn)生利息，而利息不會產(chǎn)生新的利息。時間零點投資1元，每年末得到完全相同的利息i

，i稱為單利率。16單利的特點：17例：若年單利為8％，求投資2000元在4年后的積累值和利息。累積值為：利息為：某年月日~某年月日，如何確定時間t是多少年？t=投資天數(shù)

每年的天數(shù)（1）“實際/365”（actual/actual）：投資天數(shù)按兩個日期之間的實際天數(shù)計算，每年按365天計算。時間t的確定,t=投資天數(shù)

每年的天數(shù)（2）“實際/360”：投資天數(shù)按兩個日期之間的實際天數(shù)計算，每年按360天計算。稱為行家規(guī)則

(banker’srule)。時間t的確定,t=投資天數(shù)/每年的天數(shù)（3）“30/360”規(guī)則：每月按30天計算,每年按360天計算。兩個給定日期之間的天數(shù)按下述公式計算：其中起始日為Y1年M1月D1日，到期日為Y2年M2月D2日。21例：投資者在2014年6月14日存入基金10000元，2015年2月7日取出，基金的年單利利率為8%，請分別根據(jù)下列規(guī)則計算投資者可以獲得的利息金額：（1）“實際/365”規(guī)則（2）“實際/360”規(guī)則（3）“30/360”規(guī)則（1）精確天數(shù)為238，

在“實際/365”規(guī)則下，t

=238/365

利息金額為：（2）在“實際/360”規(guī)則下，t

=238/360

利息金額為：2014年6月14日-2015年2月7日（3）在“30/360”規(guī)則下，兩個日期之間的天數(shù)為：故t

=233/360

利息金額為：25“30/360”規(guī)則下的時間計算：DAYS360函數(shù)26單利的缺陷：不滿足一致性

例：100萬元按年單利利率5%投資2年，計算2年末的利息。

（1）一次性投資2年（2）先投資1年，到期后再投資1年。解：（1）100×5%×2=10（2）100×5%=5

(100+5)×5%=5.25

5+5.25=10.25單利的缺陷：不滿足一致性

證明：含義：分兩段投資將產(chǎn)生更多利息。問題：分段越來越多，產(chǎn)生的利息是否會趨于無窮大？練習(xí)：單利的年利率為i，如果把1年劃分為n個等間隔的時間段進(jìn)行投資，年末的累積值是多少？當(dāng)n

時會怎樣？注：此時的

i不再是單利利率，而是利息力（連續(xù)復(fù)利）29復(fù)利(compoundinterest)單利：本金保持不變。復(fù)利：前期的利息收入計入下一期的本金，即“利滾利”。例：假設(shè)年初投資1000元，年利率為5％，則年末可獲利50元，因此在年末有1050元可以用來投資。第二年按照1050元來計算，將在年末獲得52.5元利息。問題：在利率相等的情況下，復(fù)利的累積值總是大于單利嗎？30復(fù)利的積累函數(shù)31有效利率=復(fù)利利率復(fù)利的有效利率32單利與復(fù)利的比較（假設(shè)年利率相等）單利的有效利率逐期遞減，復(fù)利的有效利率為常數(shù)。當(dāng)0<t<1時，單利比復(fù)利產(chǎn)生更大的積累值。當(dāng)t>1時，復(fù)利比單利產(chǎn)生更大的積累值。當(dāng)t=0或1時，單利和復(fù)利產(chǎn)生相同的累積值。復(fù)利單利3334復(fù)利的威力t35ExerciseItisknownthat1000investedfor4yearswillearn250ininterest,i.e.,thatthevalueofthefundafter4yearswillbe1250.Determinetheaccumulatedvalueof4500investedatthesamerateofcompoundinterestfor10years.36Solution:37貼現(xiàn)（discount）累積：在時間零點投資1元，在時間

t

的累積值是多少？貼現(xiàn)：在時間零點投資多少，才能在時間

t

累積到1元?貼現(xiàn)函數(shù)：時間t

的1元在時間零點的價值，記為a-1(t)。0t1a(t)a-1(t)138常用的貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)單利的貼現(xiàn)函數(shù)復(fù)利的貼現(xiàn)函數(shù)注：除非特別申明，今后一概使用復(fù)利。39(1+i)

累積因子：accumulationfactort年累積因子：t-yearaccumulationfactor

貼現(xiàn)因子：discountfactorvt

t年貼現(xiàn)因子：t-yeardiscountfactor幾個術(shù)語：40

有效貼現(xiàn)率（實際貼現(xiàn)率）：d

(effectiverateofdiscountwithcompoundinterest)有效貼現(xiàn)率等于一個時期的利息收入與期末累積值之比：期初本金期末累積值利息=期末累積值-期初本金（期初比期末少百分之幾？）（期末比期出多百分之幾？）例：年有效貼現(xiàn)率為d，請計算年末的1元相當(dāng)于年初的多少？解：假設(shè)年末的1元相當(dāng)于年初的X，則當(dāng)期的利息為1-X。

由貼現(xiàn)率的定義，有411?

d10142有效利率i與有效貼現(xiàn)率d的關(guān)系（1）1

?

d101當(dāng)年利息：d年末的1元在年初的現(xiàn)值為：1?d根據(jù)利率的定義：43有效利率i與有效貼現(xiàn)率d的關(guān)系（2）11+i01當(dāng)期利息：i根據(jù)貼現(xiàn)率的定義：44證明：注：年末的i相當(dāng)于年初的d。有效利率i與有效貼現(xiàn)率d的關(guān)系（3）45v=1–d解釋：年末的1在年初的現(xiàn)值可以表示為v，或1–d。011v（1－d）有效利率i與有效貼現(xiàn)率d的關(guān)系（4）證明：問題：如何用d表示貼現(xiàn)函數(shù)？46i–d=id有效利率i與有效貼現(xiàn)率d的關(guān)系（5）證明：47解釋：本金有d元差額，導(dǎo)致的利息差額是id。本金累積值利息11+ii1-d1d本金差額：d利息差額：i

-di–d=id48

例:

i=5%=1/20,

d=1/21證明：有效利率i與有效貼現(xiàn)率d的關(guān)系（6）49貼現(xiàn)函數(shù)：累積函數(shù)與貼現(xiàn)函數(shù)的不同表示方式

累積函數(shù)：問題：

（1）利率變化時，貼現(xiàn)率如何變化？（2）貼現(xiàn)率變化時，利率如何變化？5051利率貼現(xiàn)率利率i和貼現(xiàn)率d的關(guān)系問題：如果利率趨于無窮？52貼現(xiàn)率利率貼現(xiàn)率d和利率i的關(guān)系問題：如果貼現(xiàn)率趨于1？例：已知年有效利率為5%。回答下述問題：（1）100萬元貸款在年末的利息是多少？（2）如果在貸款起始日收取利息，應(yīng)該收取多少利息？（3）有效貼現(xiàn)率是多少？（4）寫出累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)。（5）分別用有效利率和有效貼現(xiàn)率計算，5年末到期的100萬元在時間零點的價值是多少？5354例：面值為100元的一年期債券的價格為95元。

一年期儲蓄存款的利率為5.25％。投資者有100萬元需要投資，應(yīng)該選擇存款還是購買債券？55解：比較貼現(xiàn)率：零息債券的貼現(xiàn)率d＝5%儲蓄的貼現(xiàn)率d＝i/(1+i)=4.988％比較利率：零息債券的利率儲蓄的利率為5.25％56累積函數(shù)：貼現(xiàn)函數(shù)：小結(jié)57等價關(guān)系：11+i1?

d1158ExerciseAninvestordeposits20,000inabank.Duringthefirst4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi.Duringthenext4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi?0.02.Attheendof8yearsthebalanceintheaccountis22081.10.Whatwouldtheaccountbalancehavebeenattheendof10yearsiftheannualeffectiverateofinterestwerei+0.01foreachofthe10years?020,0004810ii?0.0222081.10?i+0.0159theequationofvalueistheaccountbalanceafter10yearswouldbeSolution:60ExerciseItisknownthataninvestmentof750willincreaseto2097.75attheendof25years.Findthesumofthepresentvaluesofpaymentsof5000eachwhichwilloccurattheendsof10,15,and25years.7502097.755010152025500050005000？61Solution:Theknownfact:Thepresentvalueofthreepaymentsof5000after10,15,and25yearswillbe本章主要內(nèi)容累積函數(shù)，有效利率貼現(xiàn)函數(shù)，有效貼現(xiàn)率名義利率名義貼現(xiàn)率利息力（連續(xù)復(fù)利）6263回顧有效利率、有效貼現(xiàn)率：每年支付一次64累積函數(shù)：貼現(xiàn)函數(shù)：65等價關(guān)系11+i1?

d166有效利率：一年復(fù)利一次。名義利率：一年復(fù)利多次，或多年復(fù)利一次。例：3個月期的存款年利率為1.8%例：3年期的存款年利率為4%最常見的年名義利率：一年復(fù)利多次（年）名義利率？67考慮下述兩筆貸款：貸款100萬，年利率為12％，年末支付利息12萬。貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。第一個12％是年有效利率，第二個是年名義利率。例：理財產(chǎn)品的投資期限是1個月，月末可以獲得0.5%的收益。表述：理財產(chǎn)品的期限是30天，預(yù)期年收益率是6%。含義：6%是名義利率區(qū)間的有效利率×每年的區(qū)間數(shù)=年名義利率6869名義利率的表述季度的有效利率為3%：年利率為12%，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息；年利率為12%，每年復(fù)利4次；年利率為12%，每季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息；年利率為12%，每季度復(fù)利一次。70名義利率的相關(guān)術(shù)語相關(guān)術(shù)語利息結(jié)轉(zhuǎn)期：interestconversionperiod；每月結(jié)轉(zhuǎn)一次：convertiblemonthly；每月支付一次：payablemonthly；每月復(fù)利一次：compoundmonthly；71年名義利率

i(m)

表示每年復(fù)利m次，每1/m年支付一次利息。例：i(4)=8%表示每年復(fù)利4次，每季度的有效利率為2%。例：i(12)=6%表示每年復(fù)利12次，每月的有效利率為0.5%。例：i(1/5)=10%

表示每5年復(fù)利1次，5年期的有效利率為50%。例：i(1/2)=9%

表示每2年復(fù)利1次，2年期的有效利率為18%。名義利率的符號表示7273問題：三月期的年利率為1.6％，存1000元滿3個月可得多少利息？答案：i(4)＝1.6%，三個月的有效利率為1.6%÷4=0.4%，存1000元滿3個月可得利息1000×0.4%=4元。74問題：5年期定期存款的年利率為6％，存1000元滿5年可得多少利息？答案：i(1/5)＝6%，5年期的有效利率為6%×5=30%，存1000元滿5年可得利息1000×30%=300元。75名義利率與有效利率的關(guān)系：

76名義利率與有效利率的關(guān)系：

例：時間零點投資100萬元，年利率為12%。計算1個月末的累積值：（1）上述利率是有效利率（復(fù)利利率）（3）上述利率是名義利率，每年復(fù)利12次解：77例：時間零點投資100萬元，年利率為12%，請在下述條件下計算1年末的累積值：（1）述利率是有效利率（復(fù)利利率）（2）上述利率是名義利率，每年復(fù)利12次解：7879Example：Whichrateismorefavorabletoaninvestor:5%compoundsemi-annually4.95%compounddaily(note:ayearis365days)80給定年名義利率（10%），有效利率隨復(fù)利次數(shù)的增加而上升復(fù)利次數(shù)有效利率110.00%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%81問題：給定年名義利率i(m)，即令i(m)=

，若復(fù)利次數(shù)m為無窮大，年有效利率是多少？82復(fù)利次數(shù)有效利率110.00%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%∞10.52%給定年名義利率（10%），有效利率隨復(fù)利次數(shù)的增加而上升83例：年名義利率為6%，每8個月復(fù)利一次，請寫出累積函數(shù)的表達(dá)式。解:每年復(fù)利m=12/8=1.5次，所以84課后練習(xí)：銀行儲蓄業(yè)務(wù)的年名義利率如下，請計算對應(yīng)的有效利率。存款利率（％）3個月6個月1年2年3年5年1.802.252.523.063.694.1485存款利率：名義利率和有效利率的比較定

期3個月6個月1年2年3年5年名義利率1.802.252.523.063.694.14有效利率1.8122.2632.523.0153.5623.834小于1年時，有效利率大于名義利率；

超過1年時，有效利率小于名義利率。86Exercise：EricdepositsX

intoasavingsaccountattime0,whichpaysinterestatanominalrateofi,compoundedsemiannually.Mikedeposits2X

intoadifferentsavingsaccountattime0,whichpayssimpleinterestatanannualrateofi.EricandMikeearnthesameamountofinterestduringthelast6monthsofthe8thyear.Calculatei.8788名義貼現(xiàn)率

(nominalannualrateofdiscount)

例：月有效貼現(xiàn)率為1%，則年名義貼現(xiàn)率為12%季度的有效貼現(xiàn)率為2%，則年名義貼現(xiàn)率為8%89名義貼現(xiàn)率的符號表示

名義貼現(xiàn)率：d

(m)

是指每1/m年的有效貼現(xiàn)率為。90名義貼現(xiàn)率與有效貼現(xiàn)率的關(guān)系：在1/m時期內(nèi)，名義貼現(xiàn)率是與有效貼現(xiàn)率d等價的單貼現(xiàn)率。91Example：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名義貼現(xiàn)率為6％，半年復(fù)利1次，第6年末的值為$1000，求現(xiàn)值）解：92名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系

和

是

年內(nèi)的有效利率和有效貼現(xiàn)率，故93例：確定每季度復(fù)利一次的利率，使它等價于每月復(fù)利一次的6％的貼現(xiàn)率。解：94名義貼現(xiàn)率為10%復(fù)利次數(shù)有效貼現(xiàn)率1(每年)10.00%2(每半年)9.75%4(每季)9.63%12(每月)9.55%52(每周)9.53%365(每天)9.52%∞9.52%若令d(m)=

，則當(dāng)m為無窮大時，有：95小結(jié)：各種等價度量工具之間的數(shù)值大小關(guān)系？m=1:12i=0.05d=i/(1+i)im=((1+i)^(1/m)-1)*mdm=(1-(1-d)^(1/m))*mmatplot(m,cbind(im,dm),type='l',lwd=3,ylab='',main='隨著復(fù)利次數(shù)m的增加，名義利率和名義貼現(xiàn)率的變化過程 （假設(shè)有效利率為5%）')legend(4,0.05,c('名義利率','名義貼現(xiàn)率'),lty=1:2,col=1:2,lwd=2,box.col='white')abline(h=i,lty=2,col=4)abline(h=i/(1+i),lty=2,col=4)abline(h=log(1+i),lty=2,col=4)Example：Jeffdeposits10intoafundtodayand20fifteenyearslater.Interestiscreditedatanominaldiscountrateofd

compoundedquarterlyforthefirst10years,andatanominalinterestrateof6%compoundedsemiannuallythereafter.Theaccumulatedbalanceinthefundattheendof30yearsis100.Calculated.1020015years30years10010years97Solution：1020015years30years10010years98回顧：有效利率可以度量資金在一年內(nèi)的增長強度（年平均）。名義利率可以度量資金在一個小區(qū)間（如一個月）的增長強度（月平均）。問題：如何度量資金在每一個時點上的增長強度？在名義利率中，如果時間區(qū)間無窮小，名義利率就度量了資金在一個時點上的增長強度。稱作利息力。利息力(forceofinterest)99定義：利息力度量資金在每一時點上（無窮小的時間區(qū)間）增長的強度。在時間區(qū)間[t,t+h]的有效利率為對應(yīng)的年名義利率為（1年包含1/h個小區(qū)間）

為時刻t的利息力。定義：設(shè)積累函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，則時刻t的利息力為問題：為什么不用a

(t)度量利息的增長強度？101單利的利息力單利的累積函數(shù)單利的利息力為單利的利息力是時間的遞減函數(shù)（參見下圖）。102103復(fù)利的利息力因為所以復(fù)利的利息力為復(fù)利的利息力是常數(shù)！與時間無關(guān)。稱為復(fù)利的利息力。故復(fù)利的累積函數(shù)可以表示為104用利息力表示的累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)：

兩邊從0到t積分，得故有

105利息力的另一個解釋：復(fù)利條件下，當(dāng)m

的名義利率是利息力：106問題：當(dāng)m趨于無窮時，名義貼現(xiàn)率d(m)與利息力的關(guān)系？利息力的相關(guān)概念：連續(xù)收益率？連續(xù)復(fù)利？對數(shù)收益率？股票的日收益率？例：股價：100,101,102對數(shù)收益率：107108貼現(xiàn)力(forceofdiscount)在t時刻的貼現(xiàn)力為利息力=貼現(xiàn)力：109利率概念辨析實際利率與名義利率：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，實際利率是扣除了通脹率以后的利率；名義利率是包含通脹率的利率。用i表示名義利率，

r表示實際利率，

表示通脹率，則

(1+i)=(1+r)(1+

)1元1.1元1元/個1元/個名義利率=10%通脹率=0%實際利率=10%1個1.1個0時刻1年后1元1元1元/個2元/個名義利率=0%通脹率=100%實際利率=-50%1個0.5個0時刻1年后1元1.32元1元/個1.2元/個名義利率=32%通脹率=20%實際利率=10%1個1.1個0時刻1年后113例：面包當(dāng)前的單價是1元：當(dāng)前的1元，可買1個面包。若1年后變?yōu)?.1元，則名義利率為10%。若沒有通脹，則可買1.1個面包。實際利率為10%。若1年后變?yōu)?.32元，則名義利率為32%。若通脹率為20%，面包單價變?yōu)?.2元，則1年后的1.32元可買1.1個面包。實際利率仍然為10%。關(guān)系：（1+32%）=(1+10%)(1+20%)114近似計算：

(1+i)=(1+r)(1+

)i=r+

+r

i

r+

或r

i?

即實際利率近似等于名義利率減去通脹率。例：當(dāng)前存入100元，1年后獲得110元。如果通脹率為10%，則實際利率為0。115利率和貼現(xiàn)率：在計算現(xiàn)值時，利率有時被誤稱為貼現(xiàn)率。計算現(xiàn)值可以用利率、貼現(xiàn)率、利息力：116小結(jié)117Acustomerisofferedaninvestmentwhereinterestiscalculatedaccordingtothefollowingforceofinterest:Thecustomerinvests1000attimet=0.Whatnominalrateofinterest,compoundedquarterly,isearnedoverthefirstfour–yearperiod?Exercise118Solution:119Exercise：Brucedeposits100intoabankaccount.Hisaccountiscreditedinterestatanominalrateofinteresticonvertiblesemiannually.Atthesametime,Peterdeposits100intoaseparateaccount.Peter’saccountiscreditedinterestataforceofinterestofd.After7years,thevalueofeachaccountis200.Calculate(i-d

).120121Attime0,KisdepositedintoFundX,whichaccumulatesataforceofinterestdt=0.006t2.Attimem,2KisdepositedintoFundY,whichaccumulates