安徽省皖江名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題 含解析

數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解出集合B，再進(jìn)行集合的并集運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則可求，進(jìn)而可得共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由，可得，所以，所以.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：C.3.已知平面向量、滿足，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由題意可得，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)，又，，因?yàn)椋?，所以在以為圓心，4為半徑的圓上，又，則，即.故選：A.4.樹(shù)人學(xué)校開(kāi)展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分配成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（）A.20種 B.40種 C.60種 D.80種【答案】C【解析】【分析】利用分組分配問(wèn)題分類討論一一計(jì)算即可.【詳解】由題意可知兩名男生必須分開(kāi)在兩組，則有1女1男一組，余下一組；2女1男一組，余下一組；3女1男一組，余下一組；4女1男一組，余下一組；所以分配方法.故選：C5.有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個(gè)零件，則它是次品的概率（）A.0.054 B.0.0535 C.0.0515 D.0.0525【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)任取一個(gè)零件，由第1，2，3臺(tái)車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，根據(jù)全概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)任取一個(gè)零件，由第1，2，3臺(tái)車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，則，，，，，任取一個(gè)零件是次品的概率，故選：B6.已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)中點(diǎn)為C，由條件得出與的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線的距離解不等式即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，∴，故，則，.故選：C．7.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.14【答案】A【解析】【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】先作出的大致圖象，如下令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個(gè)不等根，且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時(shí)符合題意，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即，此時(shí)有兩個(gè)整數(shù)根或，而要滿足有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當(dāng)時(shí)有，則，解方程得的另一個(gè)正根為，又，此時(shí)五個(gè)整數(shù)根依次是，顯然最大的根和最小的根和為.故選：A8.“三角換元思想”是三角函數(shù)中基本思想.運(yùn)用三角換元法可以處理曲線中的最值問(wèn)題.譬如：已知，求的最大值.我們令，，則.這樣我們就把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問(wèn)題.已知是曲線上的點(diǎn)，則的最大值為（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】D【解析】分析】設(shè)，可得，令，進(jìn)而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.【詳解】設(shè)，由，可得，則，設(shè)，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取最大值，最大值為，所以的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A.直線與平面所成的角等于B.四棱錐的體積為C.兩條異面直線和所成的角為D.二面角的平面角的余弦值為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷A；由平面即可求出四棱錐的體積判斷B；由異面直線所成角的定義及求法即可判斷C；由平面角的定義及余弦定理即可判斷D．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，而平面，平面，得，平面則平面，所以是直線與平面所成的角為，故A正確；點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度為，則，故B正確；易證，所以異面直線和所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)闉榈冗吶切危詢蓷l異面直線和所成的角為，故C正確；連接，由，所以，又，所以為二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.的前n項(xiàng)和為C.的前100項(xiàng)和為100 D.的前30項(xiàng)和為357【答案】AD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，兩式相減可求出，檢驗(yàn)滿足，可判斷A；由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可判斷B；由分組求和法可判斷C，D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，所以，顯然當(dāng)時(shí)，滿足，故，故A正確；由等差數(shù)列求和公式知的前項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤；令，的前100項(xiàng)和為：，故C錯(cuò)誤；令，所以的前30項(xiàng)和為：，故D正確.故選：AD.11.中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原（成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)時(shí)的雙紐線，P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 B.OP的最大值是C.面積的最大值為2 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙紐線的定義求出曲線的方程，逐一判斷各選項(xiàng)的真假即可.【詳解】設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，對(duì)于A：整理可得：，則，可得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)椋?，所以，所以，即曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，故B正確；對(duì)于C：，令，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，所以，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用雙紐線的定義求得曲線方程是關(guān)鍵，進(jìn)而利用不等式求得最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______.【答案】##【解析】【分析】把所給式子兩邊平方相加可求得結(jié)果.【詳解】由，可得①，由，可得②，所以①+②，可得,所以，所以.故答案為：.13.橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)M為其上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，由余弦定理得，再結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)，焦點(diǎn)，.因?yàn)闉殁g角，所以，即.整理得：.因?yàn)辄c(diǎn)Mx,y在橢圓上，代入得解得又因?yàn)?，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.故答案為：.14.“算24”游戲是以除去大小王的52張撲克牌為載體，任意抽取4張，把撲克牌對(duì)應(yīng)的4個(gè)整數(shù)（，，，）通過(guò)加減乘除（沒(méi)有乘方開(kāi)方）以及括號(hào)運(yùn)算，使最后的運(yùn)算結(jié)果是24的一個(gè)數(shù)學(xué)游戲.因?yàn)楹蛽淇伺频幕ㄉ珶o(wú)關(guān)，所以游戲可以看作在集合中每次任選1個(gè)數(shù)，選4次得到4個(gè)整數(shù)，記為數(shù)組，因?yàn)樗?4和選取4個(gè)數(shù)的順序無(wú)關(guān)，可以假設(shè).比如.顯然游戲不同的牌組就對(duì)應(yīng)不同的數(shù)組，那么所有不同的數(shù)組一共有______個(gè).如果數(shù)組為，寫出一個(gè)結(jié)果為24的算式______.【答案】①.1820②.【解析】【分析】分類討論中相等的個(gè)數(shù)，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解；若數(shù)組為，直接運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)組，且，若中四個(gè)數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個(gè)；若中三個(gè)數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個(gè)；若有且僅有2個(gè)數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個(gè)；若中有2組2個(gè)數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個(gè)；若中沒(méi)有數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個(gè)；所以所有不同的數(shù)組一共有個(gè)；如果數(shù)組為，則.故答案：1820；.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為，面積為S，且.（1）求B；（2）若，，D為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理計(jì)算即可；（2）利用余弦定理先求c，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式及其運(yùn)算律計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由三角形面積公式及條件可知：，由余弦定理知，所以，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)余弦定理有，所以，易知，所以，即.16.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理逆定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，與交于Q點(diǎn)，在底面矩形中，易知，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，易知，所以，由題意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由上可知，，，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，，則，取，則，設(shè)，其中，則，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.17.高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得2分，選對(duì)其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為.在一次模擬考試中：（1）小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；（2）小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？【答案】（1）（2）②【解析】【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可，（2）分別求解三種情況下的期望，即可比較期望大小求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可知，，若該題有2個(gè)選項(xiàng)正確，則，若該題有3個(gè)選項(xiàng)正確，則，則分布列如下：X046P所以，解之得；【小問(wèn)2詳解】不妨記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，若小明選擇方案①，記小明該題得分為，則的可能取值為2，3，對(duì)應(yīng)概率為：，故；若小明選擇方案②，記小明該題得分為，則的可能取值為，對(duì)應(yīng)概率為：，，故，若小明選擇方案③，記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為，對(duì)應(yīng)概率為：，.故，，故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案②.18.已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可聯(lián)立求解曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合不等式即可求解，【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，故雙曲線方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)，則，將其代入雙曲線方程，又，解得，此時(shí)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)Ax1,聯(lián)立，故，則，化簡(jiǎn)得，此時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，故，因此，綜上可得.19.給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，；②若，定義；③若函數(shù)在包含某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式.例如在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式為根據(jù)以上三段材料，完成下面