蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊2.20 弧長、扇形面積與圓錐側(cè)面積（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）（含答案）

專題2.20弧長、扇形面積與圓錐側(cè)面積（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·湖北武漢·中考真題）一個(gè)扇形的弧長是，其圓心角是150°，此扇形的面積為（

）A． B． C． D．2．（22-23九年級上·廣東湛江·期中）如圖，PA、PB是的切線，A、B為切點(diǎn)，若OA=2，，則弧長

）

A． B． C． D．3．（2023·河北邯鄲·三模）如圖1是邊長為的等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以為圓心，AB長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的面積是（

）

A．1 B．2 C． D．4．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以長為半徑作，，，三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．如果一個(gè)曲邊三角形的周長為，則此曲邊三角形的面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，是的切線，連接交于點(diǎn)C，若的半徑為2，，連接，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．6．（2024·江蘇蘇州·二模）若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積與底面積的比為（

）A． B． C． D．7．（2023·云南紅河·一模）如圖，從邊長為的正方形鐵皮中，剪下一塊圓心角為的扇形鐵皮，要把它做圓錐形容器（接縫忽略不計(jì)），那么這個(gè)圓錐形容器的高為（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，，將弦繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E落在上，延長，交于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．9．（2024·甘肅武威·三模）如圖，將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A． B． C． D．10．（23-24九年級下·湖北鄂州·階段練習(xí)）如圖圓錐的橫截面，，，一只螞蟻從B點(diǎn)沿圓錐表面到母線去，則螞蟻行走的最短路線長為（

）cmA． B． C．3 D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，為⊙O的直徑，弦，垂足為點(diǎn)E，，連接BD，若，則的長為．12．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，是正六邊形的外接圓，半徑是6，則的長是．13．（23-24九年級上·山東臨沂·期末）如圖，已知點(diǎn)是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，弧的長為，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）14．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作圓，該圓與邊恰好相切于點(diǎn)，連接，若圖中陰影部分面積為，則．15．（2024·四川德陽·二模）如圖，正六邊形的邊長為6，連接，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，得扇形，將扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐底面圓的半徑為．16．（23-24九年級上·山東淄博·期末）如圖，把矩形紙片分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片，分別裁出扇形和半徑最大的圓．若它們恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則．17．（23-24九年級下·吉林長春·期中）如圖，筆記本電腦水平放置在桌面上、圖2是它的示意圖，張角，頂部邊緣對應(yīng)處離桌面的高度．當(dāng)將電腦屏幕繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至張角時(shí)（點(diǎn)是的對應(yīng)點(diǎn)），頂部邊緣處繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處轉(zhuǎn)過的弧長為cm．（結(jié)果保留）18．（2024·山東臨沂·二模）如圖，是的外接圓，，，若扇形（圖中陰影部分）正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的高為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．（23-24九年級上·浙江紹興·期中）如圖，在中，，以為直徑的半圓交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)（1）若弧的度數(shù)為，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，，求弧的長．20．（8分）（2023·云南紅河·一模）如圖，是的直徑，為的切線，為上的一點(diǎn)，，延長交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：為的切線；（2）若圓心到弦的距離為2，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）21．（10分）（23-24九年級上·吉林·期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，是的切線，與的延長線相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長（結(jié)果保留）．22．（10分）（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，四邊形是正方形，以邊為直徑作，點(diǎn)E在邊上，連接交于點(diǎn)F，連接并延長交于點(diǎn)G，．（1）求證：；（2）若，求劣弧的長．（結(jié)果保留π）23．（10分）（2024·廣東陽江·一模）綜合與實(shí)踐主題：制作圓錐形生日帽．素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽．在制作好的生日帽中，，，C是的中點(diǎn)，現(xiàn)要從點(diǎn)A到點(diǎn)C再到點(diǎn)A之間拉一條裝飾彩帶，求彩帶長度的最小值．24．（12分）（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）閱讀理解：(1)【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓”．這類題目主要是兩種類型．①類型一：“定點(diǎn)+定長”：如圖1，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．解：若以點(diǎn)A（定點(diǎn)）為圓心，（定長）為半徑作輔助圓，（請你在圖1上畫圓）則點(diǎn)C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到______°．②類型二：“定角+定弦”：如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn)，且滿足，求線段長的最小值．解：∵，∴，∵，∴，∴______，（定角）∴點(diǎn)P在以（定弦）為直徑的上，請完成后面的過程．(2)【問題解決】如圖3，在矩形中，已知，，點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，則線段的最小值為______．(3)【問題拓展】如圖4，在正方形中，，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上移動，且滿足．連接和，交于點(diǎn)P．點(diǎn)E從點(diǎn)D開始運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長．參考答案：1．B【分析】先求出該扇形的半徑，再求其面積即可；【詳解】解：該扇形的半徑為：，∴扇形的面積為：，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查扇形面積的求解，掌握扇形面積的求解公式是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】此題考查了切線的性質(zhì)以及弧長公式．注意求得的度數(shù)，熟記弧長公式是關(guān)鍵．由PA、是的切線，，即可求得的度數(shù)，然后由弧長公式求得答案．【詳解】解：、是的切線，，，∴∠OAP=∠OBP=90°，，，的長為：．故選：B3．C【分析】根據(jù)題意的長就是邊的長，由弧長公式求得扇形的圓心角的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)扇形面積公式即可求解．【詳解】解：設(shè)，，，解得：，圓心角的度數(shù)為：扇形的面積是，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了弧長公式的應(yīng)用，扇形的面積計(jì)算，掌握公式和理解圖形變化前后對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)此三角形是由三段弧組成，所以根據(jù)弧長公式可得半徑，即正三角形的邊長，根據(jù)曲邊三角形的面積等于三角形的面積與三個(gè)弓形的面積和，邊長為的等邊三角形的面積為，即可求解．【詳解】解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為r，解得，即正三角形的邊長為2，此曲邊三角形的面積為故選A【點(diǎn)撥】本題考查了扇形面積的計(jì)算．此題的關(guān)鍵是明確曲邊三角形的面積等于三角形的面積與三個(gè)弓形的面積和，然后再根據(jù)所給的曲線三角形的周長求出三角形的邊長．5．B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，扇形面積等知識．熟練掌握切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，扇形面積是解題的關(guān)鍵．由是的切線，可得，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵是的切線，∴，∴，∴，故選：B．6．C【分析】本題主要考查了圓錐的計(jì)算，設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開扇形的半徑為R，由地面圓的周長等于側(cè)面展開圖的弧長，可得，所以，再計(jì)算圓錐的側(cè)面積與底面積的比即可．【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開扇形的半徑為R，由題意得，∴，∵，，∴．故選：C．7．C【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，扇形的弧長計(jì)算，勾股定理等知識點(diǎn)，先根據(jù)弧長公式求出圓錐的底面圓的周長，再求出圓錐的底面圓的半徑，最后勾股定理求出圓錐形容器的高即可，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓錐的底面圓的周長為，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則，解得：r=1則這個(gè)圓錐形容器的高為，故選：．8．D【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，不規(guī)則圖形的面積，解直角三角形，過點(diǎn)D作直徑，過點(diǎn)F作于H，連接，，推出，，由圓周角定理證得，即可求得，則，進(jìn)而求得，解直角三角形求得，根據(jù)扇形面積減去三角形面積計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作直徑，過點(diǎn)F作于H，連接，，

由旋轉(zhuǎn)知：，，，，是的直徑，，，，，∴，，，．故選：D．9．A【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，解直角三角形；作于，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得等于半徑的一半，即，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出，則，所以，則利用弧長公式可計(jì)算出弧AB的長，再求出底面圓的半徑為，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知，，則由此可得，在中，，同理可得，在中，由三角形內(nèi)角和定理，得．弧AB的長為．設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為，則，．圓錐的高為．故選A．10．D【分析】本題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖，弧長公式和解直角三角形，掌握弧長公式和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．先將圓錐的側(cè)面展開圖畫出來，利用垂線段最短可判斷的長為螞蟻爬行的最短路線長，根據(jù)弧長公式求出的度數(shù)，然后利用特殊角的三角函數(shù)在即可求出的長度．【詳解】圓錐的側(cè)面展開圖如下圖：作圓錐的底面直徑,底面周長為，設(shè)，則有解得，，在中，∴螞蟻從B點(diǎn)出發(fā)沿圓錐表面到處覓食，螞蟻?zhàn)哌^的最短路線長為故選：D.11．【分析】本題考查了弧長的計(jì)算，求出圓心角和半徑，再根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】解：連接，，是的直徑，弦，，，，，，，，，的長為．故答案為：．12．【分析】本題考查了圓心角和弧的度數(shù)，由正六邊形，得到，便可得是等邊三角形，即可求解，掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由正六邊形，∴，又∵是的半徑，∴，∴是等邊三角形，∵的半徑是6，∴，故答案為：．13．3【分析】本題主要考查了陰影組合圖形的面積．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握半圓的三等分點(diǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，弧長公式，扇形面積公式，同底等高的兩個(gè)三角形面積相等．連接、和，根據(jù)C，D是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，可得，推出是等邊三角形，推出，得到CD∥AB，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，求解即可．【詳解】連接、、．設(shè)半圓的半徑為r，∵C，D是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴CD∥AB，∴，∵弧的長為，∴，解得：，∴．故答案為：3214．【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，連接，過作于G，先判斷，都是等腰直角三角形，則可求出，，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接，過作于G，∵圓與邊恰好相切于點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∵陰影部分面積為，∴，∴，即，解得，故答案為：．15．【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，含30度直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形弧長計(jì)算，圓的周長公式等知識；涉及的知識點(diǎn)較多．過點(diǎn)B作于H；由正六邊形的性質(zhì)得，；在中，由勾股定理求得，從而求得，則可求得的長，再根據(jù)圓錐底面周長等于扇形弧長，即可求得圓錐底面圓的半徑．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作于H，∵正六邊形，，又，，；同理可知，，在中，，則，由勾股定理得：，，的長，∴圓錐底面圓的半徑為，故答案為：．16．【分析】本題考查了圓錐的相關(guān)計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．設(shè)，則，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，根據(jù)題意，得：，整理得：∴解得：，即：．故答案為：．17．【分析】本題考查了弧長的計(jì)算、直角三角形的性質(zhì)．首先可求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求得、OA'的長，再由題意可得的度數(shù)，最后利用弧長公式即可求解；【詳解】解：．，，，頂部邊緣A處繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到處時(shí)轉(zhuǎn)過的弧長為．故答案為：．18．35【分析】本題考查三角形的外接圓和外心、圓周角定理、圓錐的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是求出圓錐的半徑和母線長．根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)，可以得到的度數(shù)，從而可以得到的度數(shù)，然后根據(jù)，可以得到的長，再根據(jù)圓錐和側(cè)面展開圖的關(guān)系，即可求得圓錐的高．【詳解】解：連接，，，，，，，，∴是等邊三角形，，設(shè)扇形圍成的圓錐的底面半徑為，則，解得，∴該圓錐的高為：，故答案為：35．19．(1)(2)4【分析】本題考查了弧長的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)圓的圓心為O，如圖，連接，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接，求出∠BOD=60°，可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)圓的圓心為O，如圖，連接，∵是圓O的直徑，∴AD⊥BD，又∵，∴，∵弧的度數(shù)為，，，∵AD⊥BD，即，∴，∵，；（2）解：連接，∵點(diǎn)D、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，，∵OB=OD，∴是等邊三角形，∴，∵，，，∴，弧的長為．20．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及扇形的計(jì)算，掌握切線問題中的兩種輔助線的作法及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由，，可得，，又為切線，可知，可得為切線；（2）過點(diǎn)作，垂足為，由及，求出半徑，進(jìn)而求出．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，即，是的直徑，是的切線，，，又為半徑，為的切線；（2）解：過點(diǎn)作，垂足為，，，，∴，∵，∴，，∴，∴，，．21．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是∶（1）利用圓周角定理，切線的性質(zhì)可得出，，利用余角的性質(zhì)可得出，利用等邊對等角可得出，然后等量代換即可得證；（2）利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后利用弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明∶∵是的直徑，∴，即，∵是的切線，∴，即，∴，∵，∴，∴，即；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴．22．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)四邊形是正方形，AB為的直徑，得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，AB為的直徑，∴，∴，，∴，在與中，，∴；（2）解：連接，∵，，∴，∴，∵，∴的長度為．【點(diǎn)撥】本題考查了弧長的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．