蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊1.18 第1章 一元二次方程（單元測試·培優(yōu)卷）（含答案）

第1章一元二次方程（單元測試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．若關于的一元二次方程的一個根為，則的值為（

）A． B． C． D．或2．用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．3．已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則此方程的根是（

）A． B． C． D．4．已知是方程和方程的一個實數(shù)根，則方程一定有實數(shù)根（

）A． B． C． D．5．已知a、b為實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．56．若分式方程有增根，則a的值是（

）A．1 B．3 C． D．7．已知等腰的一條邊為，其余兩邊的邊長恰好是方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C．或 D．或8．若使函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實數(shù)，則下面的關系中一定滿足要求的是（

）A． B． C． D．9．由著名導演張藝謀執(zhí)導的電影《第二十條》因深刻體現(xiàn)了普法的根本是人們對公平正義的勇敢追求，創(chuàng)下良好口碑，自上映以來票房連創(chuàng)佳績．據(jù)不完全統(tǒng)計，第一周票房約5億元，以后兩周以相同的增長率增長，三周后票房收入累計達約20億元，設增長率為，則方程可以列為（

）A． B．C． D．10．如圖①，在矩形中（），動點從點出發(fā)，沿勻速運動，運動到點處停止．設點的運動路程為，的周長為，與的函數(shù)圖象如圖②所示，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．若是方程的根，則的值是．12．已知是方程的一個根，則的值為．13．若方程的兩根為，則方程的兩根為．14．已知關于x的一元二次方程有實數(shù)根，設此方程的一個實數(shù)根為t，令，則y的取值范圍是．15．定義：如果兩個一元二次方程分別有兩個實數(shù)根，且至少有一個公共根，那么稱這兩個方程互為“聯(lián)根方程”．已知關于x的兩個一元二次方程和互為聯(lián)根方程，那么a的值為．16．新定義，若關于x的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．（1）與是“同類方程”，則；（2）現(xiàn)有關于x的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是．17．某中學計劃在一塊長，寬的矩形空地上修建三塊全等的矩形草坪，如圖所示，余下空地修建成同樣寬為a的小路．（1）若，則草坪總面積為平方米．（2）若草坪總面積恰好等于小路總面積，那么，此時的路寬a是米．18．如圖，在平面直角坐標系中，點點B在x軸正半軸上，且，則的長是．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）解方程：(1)；(2)．20．（8分）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，請你寫出一個滿足條件的m值，并求出此時方程的根．21．（10分）關于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．22．（10分）已知．（1）化簡T；（2）若a、b是方程的兩個根，求T的值．23．（10分）已知：一次函數(shù)（）的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點和．

（1）求一次函數(shù)的表達式；（2）將直線沿軸負方向平移個單位，平移后的直線與反比例函數(shù)圖像恰好只有一個交點，求的值．24．（12分）為慶祝我校建校60周年，學校計劃用25000元為從世界各地歸來參加校慶的校友在某商場訂購A、B兩種紀念品．已知A紀念品的訂購單價是B紀念品訂購單價的，用于購買A紀念品的資金與購買B紀念品的資金之比為，且訂購的A紀念品比B紀念品多50件．（1）求A、B兩種紀念品的訂購單價各是多少？（2）商場按訂購單價計算，A紀念品的利潤率為，B紀念品的利潤率．但在實際購買時，由于學校需求量增加，且無法追加資金，商場考慮到A、B兩種紀念品的庫存足夠多，為盡快減少庫存，于是同意將A、B兩種紀念品在原訂購單價的基礎上，分別每件都降價a元出售，學校也在原計劃訂購量的基礎上各追加購買件．這樣，商場按降價后的價格和數(shù)量售出這兩種紀念品獲得的總利潤比按原訂購單價和訂購數(shù)量售出所獲得的總利潤少元，求a的值．參考答案：1．C【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根據(jù)可得，進而求解，掌握一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的一個根為，∴，∴，又∵，∴，∴，故選：．2．B【分析】本題考查配方法解一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的配方法即可求出答案解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法．【詳解】解：方程，∴，∴，∴，故選：B．3．C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識．先根據(jù)關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，得到，求出，即可得到一元二次方程為，解方程即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴關于x的一元二次方程為，解得．故選：C4．B【分析】本題考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟練掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解題的關鍵．由題意知，，，則，即，可求，則，即，公式法解方程，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，，，∴，即，解得，，即，∴，即，解得，，，∴方程一定有實數(shù)根，故選：B．5．B【分析】設，則原方程換元為，可得，，即可求解．【詳解】解：設，則原方程換元為，，解得，（不合題意，舍去），的值為3．故選：B．【點撥】本題考查了解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關鍵．6．B【分析】本題考查的是分式方程的增根，在分式方程變形的過程中，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做分式方程的增根．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程計算即可求出的值．【詳解】解：去分母得：，分式方程有增根，，，把代入，得，，經(jīng)檢驗：時分式方程有增根，符合題意．故選B．7．B【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關系，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，分為等腰三角形的底和腰兩種情形，討論求解即可得到答案，應用分類討論解答是解題的關鍵．【詳解】解：當為底時，由題意得，解得，此時一元二次方程為，解得，∵，∴不能構(gòu)成三角形，∴不合，舍去；當為腰時，將代入方程得，，解得或，當時，一元二次方程為，解得，，三邊長為，可以構(gòu)成三角形；當時，一元二次方程為，解得，，∵，∴不能構(gòu)成三角形，∴不合，舍去，綜上，，故選：．8．A【分析】本題是函數(shù)有意義的條件與一元二次方程的解相結(jié)合的問題．函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0．函數(shù)的自變量取值范圍是一切實數(shù)，即分母一定不等于0，即方程無解．即，即可解得、的關系．【詳解】解：∵函數(shù)的自變量取值范圍是一切實數(shù)，∴分母一定不等于0，∴無解，即，解得：或．當時，一定滿足要求．故選：A．9．D【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．根據(jù)第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約億元、第三天票房約億元，根據(jù)三天后票房收入累計達約20億元，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：第一天票房約5億元，增長率為x，第二天票房約億元，第三天票房約億元．依題意得：．故選：D．10．B【分析】設的長為a，由函數(shù)圖象可知，根據(jù)第一次周長為12時列方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴．設的長為a，由函數(shù)圖象可知，當周長第一次為12時，點P運動到點D，當周長第二次為12時，點P運動到點C，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴．故選B．【點撥】本題考查了動點問題的函數(shù)土象，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關鍵．11．1【分析】本題考查一元二次方程的根的定義、代數(shù)式求值，解題的關鍵是熟練運用整體代入思想．根據(jù)一元二次方程的根的定義，將代入，求出，即可求出的值．【詳解】解：∵是方程的一個根，，，，故答案為：1．12．2027【分析】根據(jù)方程根的定義，轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的求值解答．本題考查了方程根的定義，代數(shù)式的整體思想求值，掌握方程根的定義，活用整體思想是解題的關鍵．【詳解】∵a是方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：2027．13．【分析】本題主要考查了配方法的應用、直接開平方等知識點，掌握整體思想是解題的關鍵．由可得，再對配方得到，然后運用直接開平方法求解即可．【詳解】解：可得，，，所以．故答案為：．14．/【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義，不等式的性質(zhì)，熟練的運用一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．由一元二次方程根的判別式先求解，根據(jù)一元二次方程的解的定義得出代入代數(shù)式，進而即可求解．【詳解】解：關于x的一元二次方程有實數(shù)根，，解得：，設此方程的一個實數(shù)根為，，，即故答案為：．15．【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分別將，代入，求出a的值即可．求出方程的兩個解是解題的關鍵．【詳解】解：，分解因式為，解得或①當時，，整理得，∵，∴方程無解；②當時，，∴或（舍去）故答案為：．16．6【分析】此題主要考查了配方法的應用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)“同類方程”的定義，可得出b的值．（2）根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】解：（1）與是“同類方程”，即與是“同類方程”，∴，解得，故答案為：（2）∵與是“同類方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴當時，取得最大值為6．故答案為：6．17．301【分析】本題考查全等圖形、代數(shù)式求值，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數(shù)式和方程．（1）根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)，可以用的代數(shù)式表示出草坪的面積，然后將的值代入計算即可；（2）根據(jù)草坪總面積恰好等于小路總面積，可以得到關于的一元二次方程，從而可以求得此時的路寬．【詳解】解：（1）由圖可得，草坪的總面積是，當時，，即時，草坪總面積為30平方米，故答案為：30；（2）由圖可得，草坪的總面積是，路的總面積是，∵草坪總面積恰好等于小路總面積，，解得(舍去)，即此時的路寬為1米，故答案為：1．18．/【分析】本題考查坐標與圖形，勾股定理，設，勾股定理求出，過點作，易得為等腰直角三角形，求出的長，等積法列出方程進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，過點作，

∵，∴為等腰直角三角形，∴，設，則：，∴，∵，∴，∴，解得：或（舍去），∴；故答案為：．19．(1)；(2)，．【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解方程的步驟與方法，根據(jù)方程的特點，選擇合適的方法解方程是解決問題的關鍵．（1）用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【詳解】（1）解：，，，∴；（2），其中，∴，∴，，．20．(1)(2)取，，(答案不唯一)【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程；（1）由兩個不相等的實數(shù)根得，解不等式即可求解；（2）由m為正整數(shù)可求的值，取一個將的值代入原方程，并解方程即可求解；正確解方程，掌握一元二次方程根的判別式：“方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程有無的實數(shù)根．”是解題的關鍵．【詳解】（1）解：；方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，解得：，的取值范圍是．（2）解：，且m為正整數(shù)，或，可取，原方程化為，解得，．21．(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系；熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，即可列出關于的不等式，求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，根的定義可得，，，，根據(jù)可得，再根據(jù)可得，求解即可得出的值．【詳解】（1）解：∵關于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，整理得：，解得：．（2）解：∵、是一元二次方程的解，∴，，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，解得：（不符合題意舍棄），故的值為．22．(1)；(2)．【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關系、分式的減法，熟練掌握分式的運算和一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵．（1）先通分，利用同分母分式減法計算即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系得到，整體代入（1）中的化簡結(jié)果計算即可．【詳解】（1）解：（2）∵a、b是方程的兩個根，∴∴23．(1)(2)【分析】（1）將點和代入反比例函數(shù)的解析式，求得的值，確定點坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意，寫出一次函數(shù)變化后的新的圖像的解析式，然后根據(jù)方程的根的判別式即可求得值．【詳解】（1）解：∵點和是反比例函數(shù)的圖像上的點，∴，，解得，，∴，，∵，在一次函數(shù)（）的圖像上，∴，解得，所以，一次函數(shù)的表達式是；（2）將直線沿