浙江省杭州外國語學校2024-2025學年九年級上學期開學數學試題

2024-2025學年浙江省杭州外國語學校九年級（上）開學數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在中，，那么等于（）A． B． C． D．2．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（）A．① B．② C．③ D．④3．如圖，點在半上，四邊形均為矩形．設，則下列各式中正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，連接，下列結論錯誤的是（）A． B．平分C． D．點為線段的黃金分割點5．已知二次函數的與的部分對應值如表：…013……131…則下列判斷中正確的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線與軸交于負半軸C．當時， D．方程的正根在3與4之間6．二次函數和正比例函數的圖象如圖所示，則方程的兩根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定7．如圖，直徑為10的上經過點和點是軸右側優(yōu)弧上一點，則的余弦值為（）A． B． C． D．8．如圖，在半徑為1的中，直徑把分成上、下兩個半圓，點是上半圓上一個動點（與點不重合），過點作弦，垂足為的平分線交于點，設，下列圖象中，最能刻畫與的函數關系的圖象是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9．分解因式：______．10．如圖，線段于點于點，點為線段上一動點，且以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，則的長為______．11．如圖，在扇形中，，點是上的一個動點（不與重合），，垂足分別為．若，則扇形的面積為______．12．已知二次函數圖象的對稱軸為，其圖象如圖所示，現有下列結論：①，②，③，④，⑤．正確的序號是______．三、解答題：本題共4小題，共42分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．13．（本小題10分）（1）計算：；（2）解分式方程：．14．（本小題10分）如圖，四邊形中，平分為的中點，連接．（1）求證：；（2）若，求的值．15．（本小題14分）已知五個點，拋物線經過其中的三個點．（1）求證：兩點不可能同時在拋物線上；（2）點在拋物線上嗎？為什么？（3）求和的值．16．（本小題8分）如圖，在矩形中，（是大于0的常數），為線段上的動點（不與重合）．連接，作與射線交于點，設．（1）求關于的函數關系式；（2）若，求為何值時，的值最大，最大值是多少？（3）若，要使為等腰三角形，的值應為多少？

答案和解析1．【答案】B【解析】解：，，是直角三角形，，，故選：B．根據中，可利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，再根據正弦的定義可得答案．此題主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，關鍵是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形就是直角三角形．2．【答案】A【解析】解：第①塊出現一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．利用段完整的弧結合垂徑定理確定圓心即可．本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．3．【答案】D【解析】解：連接、根據矩形的對角線相等，得，．再根據同圓的半徑相等，得．故選D．本題主要根據矩形的性質以及垂徑定理進行做題．此題主要能夠根據矩形的對角線相等把線段進行轉換，根據同圓的半徑相等即可證明．4．【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，黃金分割點，線段垂直平分線性質的應用，主要考查學生的推理能力．求出的度數即可判斷；求出和的度數，求出的度數，即可判斷；根據三角形面積即可判斷；求出，得出，求出，即可判斷．【解答】解：A、，，，正確，B、是垂直平分線，，，，是的角平分線，正確，C，根據已知不能推出的面積和面積相等，錯誤，D、，，，，，，，，，即點是的黃金分割點，正確，故選：C．5．【答案】D【解析】解：由圖表可得，該函數的對稱軸是直線，有最大值，拋物線開口向下，故選項A錯誤，拋物線與軸的交點為，故選項B錯誤，和時的函數值相等，則時，，故選項C錯誤，方程的正根在3與4之間，故選項D正確，故選：D．根據題意和表格中的數據可以得到該函數的對稱軸、開口方向，從而可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．本題考查拋物線與軸的交點、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數的性質解答．6．【答案】A【解析】解：設的兩根為，由二次函數的圖象可知，．設方程的兩根為，則，，，．故選A．設的兩根為，由二次函數的圖象可知，設方程的兩根為再根據根與系數的關系即可得出結論．本題考查的是拋物線與軸的交點，熟知拋物線與軸的交點與一元二次方程根的關系是解答此題的關鍵．7．【答案】C【解析】解：如圖，連接并延長交與點，連接，同弧所對的圓周角相等，，是的直徑，，，，，，即的余弦值為．故選：C．首先根據圓周角定理，判斷出；然后根據是的直徑，判斷出，在中，用的長度除以的長度，求出的余弦值為多少，進而判斷出的余弦值為多少即可．（1）此題主要考查了圓周角定理的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2）此題還考查了銳角三角函數值的求法，要熟練掌握．8．【答案】A【解析】解：連接，，．，．．．，．故選：A．連接，根據條件可判斷出，即是定值，與的大小無關，所以函數圖象是平行于軸的線段．要注意的長度是小于1而大于0的．解決有關動點問題的函數圖象類習題時，關鍵是要根據條件找到所給的兩個變量之間的函數關系，尤其是在幾何問題中，更要注意基本性質的掌握和靈活運用．9．【答案】【解析】解：原式，故答案為：．原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此題考查了因式分解-提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關鍵．10．【答案】1或3或8．【解析】解：設．以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，①當時，，解得．②當時，，解得或，當以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似時，的長為1或3或8，故答案為1或3或8．分兩種情形構建方程求解即可．本題考查了相似三角形的判定，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵11．【答案】【解析】解：連接，，分別為的中點，為的中位線，．又在中，，，扇形的面積為：．故答案是：．連接，由垂直于垂直于，利用垂徑定理得到分別為的中點，即為三角形的中位線，即可求出的長．利用勾股定理、，且，可以求得該扇形的半徑．此題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形面積的計算以及三角形的中位線定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．12．【答案】④⑤【解析】解：拋物線開口向下，，拋物線對稱軸為直線，，，②錯誤．拋物線與軸交點在軸上方，，，①錯誤．由圖象可得時，，③錯誤．由圖象可得時，為最大值，，即，④正確．時，，拋物線對稱軸為直線，時，，，，，，⑤正確．故答案為：④⑤．由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，然后根據對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．本題主要考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數系數符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點確定．13．【答案】解：（1）；（2），方程可化為，方程兩邊同乘，得，解得，檢驗：當時，，所以不是分式方程的解；當時，，所以是分式方程的解；所以原分式方程的解是．【解析】（1）先根據有理數的乘方、算術平方根、負整數指數冪的運算法則計算，再合并即可；（2）分式方程兩邊同乘，將分式方程化為整式方程求解即可．本題考查了解分式方程，實數的運算，熟練掌握運算法則以及解分式方程的步驟是解題的關鍵．14．【答案】（1）證明：平分，，，，，．（2）解：為中點，，，平分，，，，，，，，，．【解析】（1）由平分，可證得，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得；（2）易證得，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．15．【答案】解：（1）拋物線的對稱軸為，而兩點縱坐標相等，由拋物線的對稱性可知，關于直線對稱，又與對稱軸相距2，與對稱軸相距3，兩點不可能同時在拋物線上；（2）假設點在拋物線上，則，解得，因為拋物線經過5個點中的三個點，將代入，得出的值分別為，所以拋物線經過的點是，又因為，與矛盾，所以假設不成立．所以不在拋物線上；（3）由題意，拋物線可能經過或者，將兩點坐標代入中，得，解得，，在拋物線上．或將兩點坐標代入中，得，解得，，在拋物線上．綜上所述，或．【解析】（1）由拋物線可知，拋物線對稱軸為，而兩點縱坐標相等，應該關于直線對稱，但與對稱軸相距與對稱軸相距3，故不可能；（2）假設點在拋物線上，得出矛盾排除點在拋物線上；（3）兩點關于對稱軸對稱，一定在拋物線上，另外一點可能是點或點，分別將或、兩點坐標代入求和的值．本題考查了二次函數圖象上點的坐標特點．關鍵是明確圖象上點的坐標必須滿足函數解析式．16．【答案】解：（1），，又，，，即，解得；（