2023–2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記與巧練（人教版）第八章 二元一次方程組知識突破（原卷版）

第八章二元一次方程組（知識歸納+16題型突破）1.了解二元一次方程組及其解的有關(guān)概念；2.掌握消元法（代入或加減消元法）解二元一次方程組的方法；3.理解和掌握方程組與實際問題的聯(lián)系以及方程組的解；4.掌握二元一次方程組在解決實際問題中的簡單應(yīng)用；5.通過對二元一次方程組的應(yīng)用，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的理念.知識點一二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.特別說明：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.特別說明：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.特別說明：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.特別說明：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個.知識點二二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.特別說明：(1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.特別說明：當(dāng)方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.知識點三實際問題與二元一次方程組特別說明：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.【題型一二元一次方程的定義】例題：（2023下·湖南益陽·七年級?？计谥校┫铝蟹匠蹋孩?；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（

）A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）下列方程中①；②；③；④；⑤是二元一次方程的有（）個．A． B． C． D．2．（2023下·湖南衡陽·七年級?？计谥校┫铝懈魇街校海?）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．屬于二元一次方程的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型二根據(jù)二元一次方程的定義求參數(shù)的值】例題：若是關(guān)于的二元一次方程，則的值是（

）A．2 B．2或0 C．0 D．任何數(shù)【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于，的方程是二元一次方程，則.2．（2023上·江西撫州·八年級江西省撫州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的方程是二元一次方程，則．【題型三判斷是否是二元一次方程的解】例題：（2024上·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）下列四組數(shù)值是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）下列二元一次方程的其中一個解是的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）下列4組數(shù)值中，不是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【題型四二元一次方程的整數(shù)解】例題：（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在二元一次方程中，若，均為正整數(shù)，則該方程的解的組數(shù)有（

）A．組 B．組 C．組 D．組【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）方程在自然數(shù)范圍內(nèi)的解．2．（2023上·甘肅張掖·八年級?？茧A段練習(xí)）二元一次方程的正整數(shù)解有．【題型五判斷是否是二元一次方程組】例題：下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.下列方程組是二元一次方程組的有（

）①

②

③

④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.方程組（1），（2），（3），（4）中，屬于二元一次方程組有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型六判斷是否是二元一次方程組的解】例題：（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）下列方程組中，以為解的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·四川資陽·七年級?？计谥校┙鉃榈姆匠探M是（

）A． B． C． D．2．（2023下·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）解為的方程組是（

）A． B． C． D．【題型七利用代入/加減消元法解二元一次方程組】例題：（2024上·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末）解方程組：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？计谥校┙庀铝卸淮畏匠探M：(1)．(2)．2．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)；(2)．3．（2023上·遼寧丹東·八年級?？计谥校┙夥匠探M：(1)；(2)．4．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）用指定的方法解下列方程組：(1)（代入法）(2)（加減法）(3)(4)【題型八二元一次方程組的錯解復(fù)原問題】例題：（2024上·山西忻州·八年級校聯(lián)考期末）下面是淇淇同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組：解：由，得．③………………第一步，得．………………第二步將代入①，解得．………………第三步所以，原方程組的解為………………第四步(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做________法；以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是________．(2)第________步開始出現(xiàn)錯誤，具體錯誤是________；(3)直接寫出該方程組的正確解：________．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·七年級課時練習(xí)）下面是馬小虎同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的問題：解方程組：解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做________法，以上求解步驟中，馬小虎同學(xué)從第________步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出此題正確的解答過程．2．（2024上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期末）下面是小瑩同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程組解：得．③

…………第一步得．

…………第二步解得．把代入得．解得．

…………第三步所以該方程組的解是任務(wù)：(1)這種解二元一次方程組的方法是_________；在解方程的過程中體現(xiàn)了______的數(shù)學(xué)思想．(填正確的序號)加減消元

代入消元

數(shù)形結(jié)合

④轉(zhuǎn)化(2)小瑩的解法在第一步出現(xiàn)錯誤，寫出正確的步驟__________；正確步驟的依據(jù)是________________________．(3)請直接寫出原方程組的解__________．【題型九構(gòu)造二元一次方程組求解】例題：（2023下·貴州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江西吉安·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則．2．（2023下·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）已知，則．【題型十二元一次方程組中同解方程組】例題：（2023春·河南南陽·七年級?？茧A段練習(xí)）方程組與有相同的解，求a，b的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的方程組與的解相同，則．2．（2023下·云南昭通·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知方程組，與方程組的解相同．(1)求這個相同的解；(2)求方程的解．【題型十一二元一次方程組解決年齡問題】例題：（2023下·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）六年前，甲的年齡是乙的年齡的3倍，現(xiàn)在甲的年齡是乙的年齡的2倍，則甲比乙大歲．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）學(xué)生問老師：“您今年多大了”老師風(fēng)趣地說：“我像你這么大的時候，你才出生，你到我這么大時，我已經(jīng)36歲了，”那么老師和學(xué)生的年齡分別是（

）A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、102．（2022上·全國·八年級專題練習(xí)）根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【題型十二二元一次方程組解決古代問題】例題：（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中記載：今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數(shù)、羊價各幾何？其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？【變式訓(xùn)練】1．（2024上·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學(xué)校考期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”其大意是：今有幾個人共同出錢購買一件物品．每人出9錢，利余4錢；每人出7錢，還缺6錢．問人數(shù)、物品價格各是多少？2．（2023上·山東青島·八年級校考階段練習(xí)）古代有一個官兵分布的問題：“一千官兵一千布，一官四尺無零數(shù)，四兵才得布一尺，請問官兵多少數(shù)？”大意如下：一千名軍官和士兵分一千尺布，一名軍官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．問軍官和士兵各有多少名？3．（2023下·吉林長春·七年級?？计谥校┝蟹匠探M解古算題：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢六十，乙得甲太半而亦錢六十，甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢60．如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢60．甲、乙兩人各帶了多少錢？【題型十三二元一次方程組解決行程問題】例題：（2023下·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）某城市規(guī)定：出租車起步價允許行駛的最遠路程為千米，超過千米的部分按每千米另收費，甲說：“我乘這種出租車走了千米，付了元”；乙說：“我乘這種出租車走了千米，付了元”請你算一算這種出租車的起步價是多少元？以及超過千米后，每千米的車費是多少元？【變式訓(xùn)練】1．（2023下·七年級課時練習(xí)）小勇和哥哥在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑．他們從同一起點沿相反方向同時出發(fā)，每隔25秒鐘相遇一次．現(xiàn)在，他們從同一起跑點沿相同方向同時出發(fā)，經(jīng)過25分鐘哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？(2)哥哥經(jīng)過25分鐘追上小勇時，小勇跑了多少圈？2．（2024·全國·七年級競賽）甲乙兩人分別從兩地出發(fā)相向而行（不同時），甲騎自行車，乙步行．兩人在距地450米處第一次相遇，甲繼續(xù)騎車到地后返回地拿東西，同時將速度提高，在距地350米處追上乙．到達地后立即前往地，在距地250米處再次與乙相遇，最后兩人同時到達目的地．求兩地的距離．3．（2023下·浙江杭州·七年級?？茧A段練習(xí)）從王老師家到學(xué)校有一段上坡路、一段的平路和一段下坡路，王老師每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度為，平路的平均速度為，下坡路的平均速度為，那么王老師從家到學(xué)校需，從學(xué)校到家需．求從王老師家到學(xué)校的上坡路和下坡路的路程．【題型十四二元一次方程組解決工程問題】例題：（2023下·云南昆明·七年級?？茧A段練習(xí)）巴川河是銅梁的母親河，為打造巴川河風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為米的河道整治任務(wù)由A、兩個工程隊先后接力完成．工程隊每天整治米，工程隊每天整治米，共用時天．(1)求A、兩工程隊分別整治河道多少天？(2)若A工程隊整改一米的工費為元，工程隊整改一米的工費為元，求完成整治河道時，這兩工程隊的工費共是多少？【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山西太原·八年級山西實驗中學(xué)?？计谥校┓诤幼鳛樘械摹澳赣H河”，記錄著太原悠久的歷史，是太原具有里程碑意義的寶貴資源．為打造汾河太原段濱河區(qū)景觀，現(xiàn)有一段長為289米的河道治理任務(wù)，分別由甲、乙兩個工程隊先后接力完成．甲工程隊每天治理13米，乙工程隊每天治理9米，共用時25天．(1)課堂上小宇和小軍兩位同學(xué)分別列出了尚不完整的方程組如下：小宇：，小軍：，請在上面方框中補全兩位同學(xué)所列的方程組；并根據(jù)小宇同學(xué)所列的方程組，指出未知數(shù)，表示的意義．小宇：表示______；表示______．(2)請求出甲、乙兩工程隊分別治理河道多少米？（寫出完整的解答過程）2．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學(xué)校?？茧A段練習(xí)）安居小區(qū)業(yè)主安先生準(zhǔn)備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊完成此項完程．由于工期過長，安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作．已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天．(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天；(2)若甲工程隊工作10天后，與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的；(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元，求甲工程隊參加工作多少天？【題型十五二元一次方程組解決數(shù)字問題】例題：（2023上·江蘇·七年級校考周測）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和為，若把個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對調(diào)，則所得的數(shù)比原數(shù)的倍小，求原來的兩位