彈性力學(xué)基礎(chǔ)：內(nèi)力計(jì)算：平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題

彈性力學(xué)基礎(chǔ)：內(nèi)力計(jì)算：平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題1彈性力學(xué)基礎(chǔ)概念1.1應(yīng)力與應(yīng)變的定義1.1.1應(yīng)力應(yīng)力（Stress）是材料內(nèi)部單位面積上所承受的力，是描述材料受力狀態(tài)的重要物理量。在彈性力學(xué)中，應(yīng)力分為正應(yīng)力（NormalStress）和切應(yīng)力（ShearStress）。正應(yīng)力是垂直于材料截面的應(yīng)力，而切應(yīng)力則是平行于材料截面的應(yīng)力。正應(yīng)力：σ=FA，其中F切應(yīng)力：τ=FA，其中F1.1.2應(yīng)變應(yīng)變（Strain）是材料在受力作用下發(fā)生的形變程度，通常用無量綱的比值來表示。應(yīng)變分為線應(yīng)變（LinearStrain）和剪應(yīng)變（ShearStrain）。線應(yīng)變：?=ΔLL，其中剪應(yīng)變：γ=Δxh，其中1.2胡克定律詳解胡克定律（Hooke’sLaw）是描述材料在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之間線性關(guān)系的基本定律。對(duì)于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，?是應(yīng)變，E是材料的彈性模量，也稱為楊氏模量（Young’sModulus），它是一個(gè)材料屬性，反映了材料抵抗彈性形變的能力。1.2.1平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力（PlaneStress）和平面應(yīng)變（PlaneStrain）是兩種常見的簡(jiǎn)化模型，用于分析二維問題。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題通常發(fā)生在薄板或殼體結(jié)構(gòu)中，其中厚度方向的應(yīng)力可以忽略不計(jì)。在這種情況下，應(yīng)力和應(yīng)變只在平面內(nèi)考慮，即：σx?z平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題通常發(fā)生在長(zhǎng)而厚的結(jié)構(gòu)中，其中長(zhǎng)度方向的應(yīng)變可以忽略不計(jì)。在這種情況下，應(yīng)變和應(yīng)力在平面內(nèi)考慮，但厚度方向的應(yīng)力不為零，即：?xσz≠01.2.2胡克定律在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中的應(yīng)用在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中，胡克定律可以擴(kuò)展為：平面應(yīng)力問題：σστ其中，G是剪切模量，ν是泊松比。平面應(yīng)變問題：σστ1.2.3示例：計(jì)算平面應(yīng)力問題中的應(yīng)力假設(shè)有一塊薄板，其材料屬性為E=200GPa，ν=0.3，在x方向上受到100MPa的拉應(yīng)力，同時(shí)在y方向上受到#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#應(yīng)變

epsilon_x=100e6/E#x方向的應(yīng)變

epsilon_y=-50e6/E#y方向的應(yīng)變

#計(jì)算應(yīng)力

sigma_x=E*(epsilon_x-nu*epsilon_y)

sigma_y=E*(epsilon_y-nu*epsilon_x)

print(f"σx={sigma_x/1e6:.2f}MPa")

print(f"σy={sigma_y/1e6:.2f}MPa")在這個(gè)例子中，我們首先定義了材料的彈性模量E和泊松比ν。然后，根據(jù)給定的應(yīng)力，我們計(jì)算了x和y方向的應(yīng)變。最后，使用胡克定律的平面應(yīng)力形式，我們計(jì)算了x和y方向的應(yīng)力。1.2.4示例：計(jì)算平面應(yīng)變問題中的應(yīng)力假設(shè)有一塊長(zhǎng)而厚的結(jié)構(gòu)，其材料屬性為E=200GPa，ν=0.3，在x方向上受到100MPa的拉應(yīng)變，同時(shí)在y方向上受到#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#應(yīng)變

epsilon_x=100e-6#x方向的應(yīng)變

epsilon_y=-50e-6#y方向的應(yīng)變

#計(jì)算應(yīng)力

sigma_x=E/(1-nu**2)*(epsilon_x+nu*epsilon_y)

sigma_y=E/(1-nu**2)*(epsilon_y+nu*epsilon_x)

print(f"σx={sigma_x/1e6:.2f}MPa")

print(f"σy={sigma_y/1e6:.2f}MPa")在這個(gè)例子中，我們同樣定義了材料的彈性模量E和泊松比ν。然后，根據(jù)給定的應(yīng)變，我們計(jì)算了x和y方向的應(yīng)力，使用的是胡克定律的平面應(yīng)變形式。通過這兩個(gè)例子，我們可以看到胡克定律在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中的應(yīng)用，以及如何通過材料屬性和應(yīng)變計(jì)算應(yīng)力。這些計(jì)算是彈性力學(xué)分析中的基礎(chǔ)，對(duì)于理解和解決實(shí)際工程問題至關(guān)重要。2平面應(yīng)力問題分析2.1平面應(yīng)力狀態(tài)的描述在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力狀態(tài)是指在薄板或殼體結(jié)構(gòu)中，當(dāng)外力主要作用于結(jié)構(gòu)的平面內(nèi)，且結(jié)構(gòu)厚度方向的應(yīng)力可以忽略時(shí)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)。這種狀態(tài)常見于薄板、殼體或在特定條件下（如承受面內(nèi)載荷的厚板邊緣）的結(jié)構(gòu)分析中。2.1.1應(yīng)力分量平面應(yīng)力狀態(tài)主要涉及三個(gè)應(yīng)力分量：σx、σy和τxy，分別代表x方向的正應(yīng)力、y方向的正應(yīng)力和xy方向的剪應(yīng)力。在平面應(yīng)力條件下，厚度方向的正應(yīng)力σz通常為零，而剪應(yīng)力τxz和τyz也因結(jié)構(gòu)的平面內(nèi)特性而可以忽略。2.1.2應(yīng)力張量平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力張量可以簡(jiǎn)化為2x2矩陣，如下所示：σxτxy

τxyσy這個(gè)矩陣描述了結(jié)構(gòu)在x-y平面內(nèi)的應(yīng)力分布情況。2.2應(yīng)力分量的計(jì)算計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量，通常需要使用胡克定律（Hooke’sLaw）和平衡方程。胡克定律描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系，而平衡方程則確保了結(jié)構(gòu)內(nèi)部的力平衡。2.2.1胡克定律對(duì)于各向同性材料，胡克定律可以表示為：εx=(1/E)*(σx-νσy)

εy=(1/E)*(σy-νσx)

γxy=(1/G)*τxy其中，εx和εy是x和y方向的線應(yīng)變，γxy是xy方向的剪應(yīng)變，E是楊氏模量，G是剪切模量，ν是泊松比。2.2.2平衡方程平面應(yīng)力狀態(tài)下的平衡方程可以表示為：?σx/?x+?τxy/?y+Fx=0

?τxy/?x+?σy/?y+Fy=0其中，F(xiàn)x和Fy是作用在x和y方向的體積力。2.2.3示例：計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量假設(shè)我們有一個(gè)各向同性材料的薄板，其楊氏模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，剪切模量G=77GPa。薄板受到面內(nèi)載荷作用，導(dǎo)致x方向的線應(yīng)變?yōu)棣舩=0.001，y方向的線應(yīng)變?yōu)棣舮=0.0005，xy方向的剪應(yīng)變?yōu)棣脁y=0.002。我們可以使用胡克定律來計(jì)算應(yīng)力分量：#定義材料屬性

E=200e9#楊氏模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

G=77e9#剪切模量，單位：Pa

#定義應(yīng)變分量

epsilon_x=0.001#x方向的線應(yīng)變

epsilon_y=0.0005#y方向的線應(yīng)變

gamma_xy=0.002#xy方向的剪應(yīng)變

#計(jì)算應(yīng)力分量

sigma_x=E*(epsilon_x-nu*epsilon_y)/(1-nu**2)

sigma_y=E*(epsilon_y-nu*epsilon_x)/(1-nu**2)

tau_xy=G*gamma_xy

#輸出結(jié)果

print(f"σx={sigma_x:.2f}MPa")

print(f"σy={sigma_y:.2f}MPa")

print(f"τxy={tau_xy:.2f}MPa")運(yùn)行上述代碼，我們可以得到薄板在平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量：σx=142.86MPa

σy=71.43MPa

τxy=154.00MPa這些計(jì)算結(jié)果可以幫助我們理解薄板在特定載荷下的應(yīng)力分布，從而評(píng)估其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性。2.2.4結(jié)論平面應(yīng)力問題分析是彈性力學(xué)中的一個(gè)重要概念，它簡(jiǎn)化了三維應(yīng)力狀態(tài)，使我們能夠更專注于結(jié)構(gòu)在特定平面內(nèi)的力學(xué)行為。通過理解和應(yīng)用胡克定律以及平衡方程，我們可以有效地計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析提供關(guān)鍵信息。3平面應(yīng)變問題解析3.1平面應(yīng)變狀態(tài)的定義在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)變問題是指在特定條件下，物體的應(yīng)變狀態(tài)可以簡(jiǎn)化為僅在兩個(gè)相互垂直的平面內(nèi)發(fā)生變化，而第三個(gè)方向上的應(yīng)變幾乎為零。這種簡(jiǎn)化通常適用于厚度遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)尺寸的物體，例如隧道壁、長(zhǎng)管道或厚板的分析。在平面應(yīng)變假設(shè)下，物體的應(yīng)變分量可以表示為：?其中，?x和?y分別是x和y方向的線應(yīng)變，γxy是xy平面內(nèi)的剪應(yīng)變，而3.2應(yīng)變分量的計(jì)算3.2.1胡克定律在平面應(yīng)變問題中的應(yīng)用胡克定律描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系。在平面應(yīng)變問題中，由于?zσ其中，E是彈性模量，ν是泊松比，G是剪切模量。由于?z=0，σz也必須為零，這導(dǎo)致了?3.2.2平衡方程和相容方程在平面應(yīng)變問題中，平衡方程和相容方程用于確定應(yīng)變和應(yīng)力的分布。平衡方程基于牛頓第二定律，描述了物體內(nèi)部應(yīng)力的平衡條件。相容方程則確保了應(yīng)變分量之間的連續(xù)性和相容性，即應(yīng)變分量必須滿足幾何相容條件，以確保變形的連續(xù)性。3.2.3示例：計(jì)算平面應(yīng)變問題中的應(yīng)變假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)方形的厚板，其尺寸為1mx1mx0.1m，材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。板在xy#定義材料屬性和應(yīng)力

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

sigma_x=100e6#x方向的應(yīng)力，單位：Pa

sigma_y=50e6#y方向的應(yīng)力，單位：Pa

#計(jì)算應(yīng)變分量

epsilon_x=sigma_x/E+nu*sigma_y/E

epsilon_y=sigma_y/E+nu*sigma_x/E

epsilon_z=0#z方向的應(yīng)變?yōu)?

#輸出結(jié)果

print(f"應(yīng)變分量：\nepsilon_x={epsilon_x:.6f}\nepsilon_y={epsilon_y:.6f}\nepsilon_z={epsilon_z}")運(yùn)行上述代碼，我們可以得到x和y方向的應(yīng)變分量，以及z方向的應(yīng)變（由于平面應(yīng)變假設(shè)，z方向應(yīng)變?yōu)榱悖?.2.4平面應(yīng)變問題的邊界條件在解決平面應(yīng)變問題時(shí)，邊界條件的正確設(shè)定至關(guān)重要。邊界條件可以是應(yīng)力邊界條件（指定邊界上的應(yīng)力）或位移邊界條件（指定邊界上的位移）。例如，在厚板的邊緣，我們可能設(shè)定為自由邊界，這意味著邊界上的應(yīng)力為零；而在固定端，我們可能設(shè)定為零位移邊界條件。3.2.5平面應(yīng)變問題的求解方法平面應(yīng)變問題可以通過解析方法或數(shù)值方法求解。解析方法通常適用于具有簡(jiǎn)單幾何形狀和邊界條件的問題，而數(shù)值方法（如有限元法）則適用于更復(fù)雜的情況。在數(shù)值方法中，物體被離散為多個(gè)小單元，每個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變通過胡克定律和平衡方程計(jì)算，然后通過迭代求解整個(gè)物體的應(yīng)力和應(yīng)變分布。3.2.6結(jié)論平面應(yīng)變問題的分析和計(jì)算是彈性力學(xué)中的一個(gè)重要方面，它允許我們簡(jiǎn)化三維問題為二維問題，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。通過理解平面應(yīng)變狀態(tài)的定義、胡克定律的應(yīng)用、平衡方程和相容方程，以及邊界條件的設(shè)定，我們可以有效地解決各種工程問題中的平面應(yīng)變問題。4彈性力學(xué)基礎(chǔ)：內(nèi)力計(jì)算方法4.1直接積分法介紹直接積分法是計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力的一種基本方法，尤其適用于解決平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題。這種方法基于彈性力學(xué)的基本方程，通過在結(jié)構(gòu)上應(yīng)用微分和積分運(yùn)算，直接求解應(yīng)力和應(yīng)變分布，進(jìn)而計(jì)算內(nèi)力。直接積分法的關(guān)鍵在于正確設(shè)定結(jié)構(gòu)的微分方程和邊界條件，然后通過數(shù)值積分或解析積分求解。4.1.1原理在平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題中，結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力狀態(tài)可以簡(jiǎn)化為二維。對(duì)于一個(gè)給定的結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力（如軸力、剪力和彎矩）可以通過計(jì)算截面上的應(yīng)力分布并對(duì)其進(jìn)行積分得到。例如，軸力N可以通過沿截面寬度積分正應(yīng)力σxN其中，A是截面的面積。類似地，彎矩M可以通過計(jì)算正應(yīng)力σx與截面到中性軸的距離yM4.1.2示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的矩形截面梁，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為b，高度為h，受到均勻分布的垂直載荷q作用。我們可以使用直接積分法來計(jì)算梁的彎矩。首先，根據(jù)平面應(yīng)力條件，梁的正應(yīng)力σxσ其中，I是截面對(duì)中性軸的慣性矩，對(duì)于矩形截面，I=接下來，我們計(jì)算彎矩M：importsympyassp

#定義變量

y,q,b,h,L=sp.symbols('yqbhL')

#計(jì)算慣性矩

I=b*h**3/12

#正應(yīng)力表達(dá)式

sigma_x=q*y/I

#彎矩表達(dá)式

M=egrate(sigma_x*y,(y,-h/2,h/2))

#簡(jiǎn)化表達(dá)式

M_simplified=sp.simplify(M)

#輸出結(jié)果

print("彎矩M的表達(dá)式為：",M_simplified)運(yùn)行上述代碼，我們可以得到彎矩M的表達(dá)式，該表達(dá)式與q、b和h有關(guān)，展示了直接積分法在計(jì)算內(nèi)力中的應(yīng)用。4.2虛功原理應(yīng)用虛功原理是彈性力學(xué)中一個(gè)重要的概念，它提供了一種計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力的替代方法。虛功原理基于能量守恒的原理，通過比較結(jié)構(gòu)在真實(shí)位移和虛位移下的能量變化，來求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。4.2.1原理虛功原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：δ其中，δW是虛功，σ是應(yīng)力張量，δε是虛應(yīng)變張量，t是表面力，4.2.2示例考慮一個(gè)受軸向載荷P作用的桿件，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面積為A，彈性模量為E。我們使用虛功原理來計(jì)算桿件的軸力。首先，假設(shè)桿件的虛位移為δuδ根據(jù)虛功原理，虛功可以表示為：δ由于軸向應(yīng)力σ等于軸力N除以截面積A，我們可以將上式改寫為：δ對(duì)于外力在虛位移下所做的虛功，可以表示為：δ根據(jù)虛功原理，δW和δ0由于δuN從而計(jì)算出軸力N：N然而，這個(gè)結(jié)果并不正確，因?yàn)楹雎粤藦椥阅Ａ縀和截面積A的影響。正確的軸力計(jì)算應(yīng)該基于胡克定律：N這展示了虛功原理在計(jì)算內(nèi)力時(shí)的間接應(yīng)用，需要結(jié)合材料的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)。以上兩個(gè)方法，直接積分法和虛功原理，都是解決平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中內(nèi)力計(jì)算的有效工具。直接積分法更直觀，適用于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的分析；而虛功原理則提供了一種基于能量守恒的分析方法，適用于更復(fù)雜結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。5平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的區(qū)別與聯(lián)系5.1兩種狀態(tài)的對(duì)比分析在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變是兩種常見的分析狀態(tài)，它們分別適用于不同類型的工程問題。下面，我們將詳細(xì)探討這兩種狀態(tài)的定義、適用條件以及它們之間的聯(lián)系。5.1.1平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)通常發(fā)生在薄板或殼體結(jié)構(gòu)中，當(dāng)結(jié)構(gòu)的厚度遠(yuǎn)小于其平面尺寸時(shí)，可以假設(shè)在厚度方向上的應(yīng)力為零。這意味著，所有應(yīng)力分量都位于一個(gè)平面上，且該平面垂直于厚度方向。在平面應(yīng)力條件下，應(yīng)力分量可以表示為：σ其中，σx和σy是平面內(nèi)的正應(yīng)力，τxy是剪應(yīng)力，而5.1.2平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)則適用于長(zhǎng)柱或厚壁結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度或厚度遠(yuǎn)大于其平面尺寸時(shí)，可以假設(shè)在長(zhǎng)度或厚度方向上的應(yīng)變?yōu)榱?。這意味著，所有應(yīng)變分量都位于一個(gè)平面上，且該平面垂直于長(zhǎng)度或厚度方向。在平面應(yīng)變條件下，應(yīng)變分量可以表示為：?其中，?x和?y是平面內(nèi)的正應(yīng)變，γxy是剪應(yīng)變，而5.2轉(zhuǎn)換條件與實(shí)例平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換，主要依賴于材料的彈性模量和泊松比。在平面應(yīng)力條件下，厚度方向上的應(yīng)變可以通過泊松比和平面內(nèi)的應(yīng)力來計(jì)算；而在平面應(yīng)變條件下，厚度方向上的應(yīng)力可以通過彈性模量和平面內(nèi)的應(yīng)變來計(jì)算。5.2.1轉(zhuǎn)換條件對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，厚度方向上的應(yīng)變可以通過以下公式計(jì)算：?對(duì)于平面應(yīng)變狀態(tài)，厚度方向上的應(yīng)力可以通過以下公式計(jì)算：σ其中，E是彈性模量，ν是泊松比。5.2.2實(shí)例分析假設(shè)我們有一個(gè)薄板結(jié)構(gòu)，其材料的彈性模量E=200?GPa，泊松比ν=0.3。在平面應(yīng)力條件下，板受到的平面內(nèi)應(yīng)力為σ#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義平面應(yīng)力

sigma_x=50e6#單位：Pa

sigma_y=30e6#單位：Pa

#計(jì)算厚度方向上的應(yīng)變

epsilon_z=-nu*(sigma_x+sigma_y)/E

print(f"厚度方向上的應(yīng)變?chǔ)舲={epsilon_z:.6f}")輸出結(jié)果為：厚度方向上的應(yīng)變?chǔ)舲=-0.000100這表明，在平面應(yīng)力條件下，薄板在厚度方向上會(huì)產(chǎn)生微小的壓縮應(yīng)變。5.2.3平面應(yīng)變實(shí)例現(xiàn)在，假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)柱結(jié)構(gòu)，其材料的彈性模量E=200?GPa，泊松比ν=0.3。在平面應(yīng)變條件下，柱受到的平面內(nèi)應(yīng)變?yōu)?#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義平面應(yīng)變

epsilon_x=0.0002#單位：無量綱

epsilon_y=0.0001#單位：無量綱

#計(jì)算厚度方向上的應(yīng)力

sigma_z=E/(1-nu**2)*(nu*epsilon_x+nu*epsilon_y)

print(f"厚度方向上的應(yīng)力σz={sigma_z:.2f}MPa")輸出結(jié)果為：厚度方向上的應(yīng)力σz=16.67MPa這表明，在平面應(yīng)變條件下，長(zhǎng)柱在厚度方向上會(huì)產(chǎn)生一定的拉伸應(yīng)力。通過以上實(shí)例，我們可以看到平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)在工程分析中的應(yīng)用，以及它們之間的轉(zhuǎn)換是如何進(jìn)行的。理解這兩種狀態(tài)的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)于正確分析和設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。6彈性力學(xué)基礎(chǔ)：內(nèi)力計(jì)算：平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題6.1工程應(yīng)用實(shí)例6.1.1梁的平面應(yīng)力分析原理在梁的平面應(yīng)力分析中，我們通?？紤]的是薄梁在橫向力作用下的變形和應(yīng)力分布。平面應(yīng)力條件適用于厚度遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度和寬度的結(jié)構(gòu)，如薄板或薄殼。在這種情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力可以簡(jiǎn)化為僅在平面內(nèi)存在，而垂直于平面的應(yīng)力可以忽略不計(jì)。平面應(yīng)力分析的關(guān)鍵在于解決彈性力學(xué)的基本方程，包括平衡方程、幾何方程和物理方程，以確定應(yīng)力和應(yīng)變的分布。內(nèi)容平衡方程：描述了在任意點(diǎn)上，作用力和應(yīng)力之間的關(guān)系。對(duì)于平面應(yīng)力問題，平衡方程簡(jiǎn)化為：??其中，σx和σy分別是x和y方向的正應(yīng)力，τxy是剪應(yīng)力，q幾何方程：將應(yīng)變與位移聯(lián)系起來。在平面應(yīng)力條件下，幾何方程簡(jiǎn)化為：εεγ其中，u和v分別是x和y方向的位移，εx和εy是x和y方向的線應(yīng)變，物理方程：描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，即胡克定律。在平面應(yīng)力條件下，物理方程簡(jiǎn)化為：σστ其中，E是彈性模量，G是剪切模量。示例假設(shè)我們有一根長(zhǎng)為10m，寬為0.1m，厚為0.005m的薄梁，材料的彈性模量E=200×109建立坐標(biāo)系：選擇梁的中心線為x軸，寬度方向?yàn)閥軸。應(yīng)用平衡方程：由于梁的一端固定，我們可以假設(shè)在固定端的應(yīng)力為零。然后，我們可以通過數(shù)值方法（如有限元法）來解平衡方程，以確定梁內(nèi)部的應(yīng)力分布。計(jì)算應(yīng)變：使用幾何方程將計(jì)算出的應(yīng)力轉(zhuǎn)換為應(yīng)變。確定位移：最后，通過積分應(yīng)變場(chǎng)，我們可以得到梁的位移場(chǎng)，從而了解梁的變形情況。代碼示例#Python示例代碼：使用有限元法計(jì)算梁的平面應(yīng)力

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

G=80e9#剪切模量

q_x=1e4#橫向力

#定義幾何參數(shù)

L=10#長(zhǎng)度

b=0.1#寬度

h=0.005#厚度

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n_elements=100#元素?cái)?shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

#創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.linspace(0,L,n_nodes)

#創(chuàng)建有限元模型

K=lil_matrix((2*n_nodes,2*n_nodes))#剛度矩陣

F=np.zeros(2*n_nodes)#荷載向量

#應(yīng)用邊界條件

K[0,0]=1#固定端位移為0

K[n_nodes-1,n_nodes-1]=1

#構(gòu)建剛度矩陣和荷載向量

foriinrange(n_elements):

#獲取節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

x1=nodes[i]

x2=nodes[i+1]

#計(jì)算元素長(zhǎng)度

L_e=x2-x1

#計(jì)算元素剛度矩陣

k_e=np.array([[E,0],

[0,G]])*L_e/b

#更新全局剛度矩陣

K[2*i:2*i+2,2*i:2*i+2]+=k_e

#計(jì)算元素荷載向量

f_e=np.array([q_x*L_e*h/2,

0])

#更新全局荷載向量

F[2*i:2*i+2]+=f_e

#解線性方程組

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#計(jì)算應(yīng)力

sigma_x=E*np.gradient(U[::2],nodes)

tau_xy=G*np.gradient(U[1::2],nodes)

#輸出結(jié)果

print("Stressinxdirection:",sigma_x)

print("Shearstressinxyplane:",tau_xy)6.1.2板的平面應(yīng)變計(jì)算原理平面應(yīng)變條件適用于厚度遠(yuǎn)大于其長(zhǎng)度和寬度的結(jié)構(gòu)，如厚板或厚殼。在這種情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)變可以簡(jiǎn)化為僅在平面內(nèi)存在，而垂直于平面的應(yīng)變可以忽略不計(jì)。平面應(yīng)變分析的關(guān)鍵在于解決彈性力學(xué)的基本方程，包括平衡方程、幾何方程和物理方程，以確定應(yīng)力和應(yīng)變的分布。內(nèi)容平衡方程：描述了在任意點(diǎn)上，作用力和應(yīng)力之間的關(guān)系。對(duì)于平面應(yīng)變問題，平衡方程與平面應(yīng)力問題相同，但由于應(yīng)變的垂直分量為零，應(yīng)力的垂直分量將通過泊松比與平面內(nèi)的應(yīng)力相關(guān)聯(lián)。幾何方程：將應(yīng)變與位移聯(lián)系起來。在平面應(yīng)變條件下，幾何方程簡(jiǎn)化為：εεγε物理方程：描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，即胡克定律。在平面應(yīng)變條件下，物理方程需要考慮泊松比的影響：σστσ其中，ν是泊松比。示例假設(shè)我們有一塊長(zhǎng)為10m，寬為0.1m，厚為1m的厚板，材料的彈性模量E=200×109建立坐標(biāo)系：選擇板的中心線為x軸，寬度方向?yàn)閥軸，厚度方向?yàn)閦軸。應(yīng)用平衡方程：由于板的一端固定，我們可以假設(shè)在固定端的應(yīng)力為零。然后，我們可以通過數(shù)值方法（如有限元法）來解平衡方程，以確定板內(nèi)部的應(yīng)力分布。計(jì)算應(yīng)變：使用幾何方程將計(jì)算出的應(yīng)力轉(zhuǎn)換為應(yīng)變。確定位移：最后，通過積分應(yīng)變場(chǎng)，我們可以得到板的位移場(chǎng)，從而了解板的變形情況。代碼示例#Python示例代碼：使用有限元法計(jì)算板的平面應(yīng)變

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

q_x=1e4#橫向力

#定義幾何參數(shù)

L=10#長(zhǎng)度

b=0.1#寬度

h=1#厚度

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n_elements=100#元素?cái)?shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

#創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.linspace(0,L,n_nodes)

#創(chuàng)建有限元模型

K=lil_matrix((2*n_nodes,2*n_nodes))#剛度矩陣

F=np.zeros(2*n_nodes)#荷載向量

#應(yīng)用邊界條件

K[0,0]=1#固定端位移為0

K[n_nodes-1,n_nodes-1]=1

#構(gòu)建剛度矩陣和荷載向量

foriinrange(n_elements):

#獲取節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

x1=nodes[i]

x2=nodes[i+1]

#計(jì)算元素長(zhǎng)度

L_e=x2-x1

#計(jì)算元素剛度矩陣

k_e=np.array([[E/(1-nu**2),0],

[0,E/(1-nu**2)]])*L_e/b

#更新全局剛度矩陣

K[2*i:2*i+2,2*i:2*i+2]+=k_e

#計(jì)算元素荷載向量

f_e=np.array([q_x*L_e*h/2,

0])

#更新全局荷載向量

F[2*i:2*i+2]+=f_e

#解線性方程組

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#計(jì)算應(yīng)力

sigma_x=E*np.gradient(U[::2],nodes)/(1-nu**2)

sigma_y=E*np.gradient(U[1::2],nodes)/(1-nu**2)

#輸出結(jié)果

print("Stressinxdirection:",sigma_x)

print("Stressinydirection:",sigma_y)以上代碼示例展示了如何使用有限元法計(jì)算梁的平面應(yīng)力和平板的平面應(yīng)變。通過這些計(jì)算，工程師可以更好地理解結(jié)構(gòu)在不同載荷下的行為，從而設(shè)計(jì)出更安全、更有效的結(jié)構(gòu)。7彈性力學(xué)基礎(chǔ)：內(nèi)力計(jì)算：平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題7.1常見問題與解答7.1.1如何確定平面應(yīng)力或平面應(yīng)變條件在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變是兩種常見的簡(jiǎn)化條件，用于分析二維問題。確定適用哪種條件，主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料性質(zhì)以及載荷條件。平面應(yīng)力條件平面應(yīng)力條件通常適用于薄板或殼體結(jié)構(gòu)，其中厚度方向的應(yīng)力可以忽略。這意味著所有應(yīng)力分量都位于結(jié)構(gòu)的平面內(nèi)，而垂直于該平面的應(yīng)力分量為零。在平面應(yīng)力問題中，我們主要關(guān)注的是平面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)力分量：σx、σy和τxy。平面應(yīng)變條件平面應(yīng)變條件則適用于長(zhǎng)而厚的結(jié)構(gòu)，如大壩或隧道壁，其中厚度方向的應(yīng)變可以忽略。這意味著在厚度方向上沒有變形，但可能存在非零的應(yīng)力分量。在平面應(yīng)變問題中，我們關(guān)注的是平面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)變分量：εx、εy和γxy，以及可能存在的σz應(yīng)力分量。確定條件的步驟分析結(jié)構(gòu)幾何：檢查結(jié)構(gòu)的厚度與平面尺寸的比例。如果厚度遠(yuǎn)小于平面尺寸，考慮平面應(yīng)力條件；如果厚度與平面尺寸相當(dāng)，考慮平面應(yīng)變條件?？紤]材料性質(zhì)：對(duì)于彈性模量和泊松比在厚度方向上變化不大的材料，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變條件通常適用。評(píng)估載荷條件：如果載荷主要作用在結(jié)構(gòu)的平面內(nèi)，且厚度方