利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點講義 解析版

也即關(guān)于x的方程b=-有3個根.令則直線y=b與g(x)=-的圖象有3個交點.由g′(x)<0解得0<x<2；由g′(x)>0解得x<0或x>2，.2.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+，m∈R，討論函數(shù)g(x)=f′(x)-零點的個數(shù).g(x)=f′(x)-=--(x>0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x>0).設(shè)φ(x)=-x3+x(x>0)，則φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).∴φ(x)的最大值為結(jié)合y=φ(x)的圖象(如圖)可知，①當(dāng)m>時，函數(shù)g(x)無零點；④當(dāng)m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點.當(dāng)m=或m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；3.已知函數(shù)f(x)=(2a+1)x2-2x2lnx-(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(1)解：∵f(x)=(2a+1)x2-2x2lnx-4，∴f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=4x(a-lnx).∴f(x)在(0，ea)上單調(diào)遞增；∴f(x)在(ea，+∞)上單調(diào)遞減.(2)證明先證充分性.a即f(x)的最大值為f(ea)=e2a-4.由f(x)有兩個零點，得e2a-4>0，解得a>ln2.∴a>ln2.再證必要性.∴f(ea)=e2a-4>0.∴f(e-a)=e-2a(4a+1)-4=-4<-4=-2<-2=-2<0.∵f(ea+1)=-e2a+2-4<0，a+1)，f(x2)=0.x≠x2，易得f(x)≠0.4.(2022·全國乙卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ax--(a+1)lnx，若f(x)恰有一個零點，求a的取值范圍.解：由f(x)=ax--(a+1)lnx(x>0)，得f′(x)=a+-=(x>0).①當(dāng)a=0時，f(x)=--lnx，f′(x)=，f′(x)>0；所以f(x)≤f(1)=-1<0，所以f(x)不存在零點；f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；所以f(x)max=f(1)=a-1<0，所以f(x)不存在零點；x2③當(dāng)a>0時，f′(x)=a(x-x2f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，因為f(1)=a-1=0，所以函數(shù)f(x)恰有一個零點；因為f(1)=a-1>0，所以f>f(1)>0，+所以a>1滿足條件；因為f(1)=a-1<0，所以f<f(1)<0，5.已知函數(shù)f(x)=ex-1+ax(a∈R).x+a.若a<-1，令f′(x)<0，得x<ln(-a)，∴f(x)在(0，ln(-a))上單調(diào)遞減，得ex-a=lnx+a.∴x+lnx=t+lnt.則原問題可轉(zhuǎn)化為方程a=x-lnx有兩個不同的實數(shù)解.令φ(x)=x-lnx(x>0)，則φ′(x)=，令g(x)=x-lnx-a(a>1)，令h(a)=ea-2a，即g(ea)=ea-2a>0，a)上有一個零點.即xex=ea+lnx(lnx+a).令u(x)=xex，則有u(x)=u(a+lnx).下同法一.6.(2021·全國甲卷節(jié)選)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)=(x>0).若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有即方程=有兩個不同的解.設(shè)g(x)=(x>0)，則g′(x)=(x>0)，故g(x)max=g(e)=，∴h(x)max=h(1)=.當(dāng)a>時，f(x)在R上無零點；當(dāng)0<a<時，f(x)在R上有兩個零點.∴f(x)max=f(e)=.(2)證明f′(x)==，故f(x)在(e，+∞)上無零點；∵f=a-e<0，f(e)=a+>0，且f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，9.(2024·太原模擬節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=xex-x-1，討論方程f(x)=lnx+m-2的實根個數(shù).解；由f(x)=lnx+m-2，得xex-x-lnx+1=m，x>0，令h(x)=xex-x-lnx+1，則h′(x)=ex+xex-1-=(x>0)，令m(x)=xex-1(x>0)，則m′(x)=(x+1)·ex>0，又m=-1<0，m(1)=e-1>0，(x0=0=-x0.0)則h(x)單調(diào)遞減；則h(x)單調(diào)遞增；∴h(x)min=h(x0)=x0ex0-x0-lnx0+1=x0·-x0+x0+1=2，+∴當(dāng)m<2時，方程f(x)=lnx+m-2沒有實根；當(dāng)m=2時，方程f(x)=lnx+m-2有1個實根；當(dāng)m>2時，方程f(x)=lnx+m-2有2個實根.10.(2024·鄭州模擬節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x+1，g(x)=aex-x+lna，若函數(shù)F(x)=f(x)-解：函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有兩個零點，即f(x)=g(x)有兩個實根，即ln(x+1)-x+1=aex-x+lna有兩個實根，x+lna+x+lna=ln(x+1)+x+1有兩個實根，x+lna+x+lna=eln(x+1)+ln(x+1)有兩個實根.設(shè)函數(shù)h(x)=ex+x，則ex+lna+x+lna=eln(x+1)+ln(x+1)?h(x+lna)=h(ln(x+1)).所以h(x)=ex+x在R上單調(diào)遞增，所以x+lna=ln(x+1)，x>-1，所以要使F(x)有兩個零點，只需lna=ln(x+1)-x有兩個實根.設(shè)M(x)=ln(x+1)-x，則M′(x)