2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.2.1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE九等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.在等比數(shù)列{an}中,公比q=-2,S5=44,則a1= ()A.4 B.-4 C.2【解析】選A.由S5=QUOTE=QUOTE=44,所以a1=4.2.等比數(shù)列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,則公比q等于 ()A.2 B.QUOTE C.4 D.QUOTE【解析】選C.a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式兩邊分別相減得a4-a3=3a3,即a4=4a3,所以q=4.3.已知{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列,a1+a2=3,a3+a4=12,則該數(shù)列的前5項(xiàng)和等于()A.15 B.31 C.63【解析】選B.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),因?yàn)閍1+a2=3,a3+a4=12,即QUOTE,解得a1=1,q=2,所以數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為S5=QUOTE=31.4.在等比數(shù)列{an}中,已知S30=13S10,S10+S30=140,則S20等于 ()A.90 B.70 C.40 【解析】選C.因?yàn)镾30≠3S10,所以q≠1.由QUOTE得QUOTE所以QUOTE所以q20+q10-12=0,所以q10=3,所以S20=S10(1+q10)=10×(1+3)=40.5.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若存在m∈N*,滿意QUOTE=9,QUOTE=QUOTE,則數(shù)列{an}的公比為 ()A.-2 B.2 C.-3 D.3【解析】選B.設(shè)公比為q,若q=1,則QUOTE=2,與題中條件沖突,故q≠1.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=qm+1=9,所以qm=8.所以QUOTE=QUOTE=qm=8=QUOTE,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.6.記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=2,S6=18,則QUOTE等于 ()A.-3 B.5 C.-31【解析】選D.由題意知公比q≠1,QUOTE=QUOTE=1+q3=9,所以q=2,QUOTE=QUOTE=1+q5=1+25=33.二、填空題(每小題5分,共10分)7.等比數(shù)列{an}共2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=________.

【解析】依據(jù)題意得QUOTE所以QUOTE所以q=QUOTE=QUOTE=2.答案:28.已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列{an}是搖擺數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,且QUOTE=5,則數(shù)列QUOTE的前5項(xiàng)和為_(kāi)_______.

【解析】QUOTE=QUOTE=1+q2=5,q=±2.因?yàn)閧an}是搖擺數(shù)列,所以q=-2.所以QUOTE首項(xiàng)為1,公比為-QUOTE,前5項(xiàng)和為QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列{an}是一個(gè)遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn【解析】因?yàn)閧an}是遞增的等比數(shù)列,由a1+a4=9,a2a3=a1a4=8,得a1=1,a4=8,所以q3=QUOTE=8,所以q=2,所以Sn=QUOTE=2n-1.10.已知{an}是以a為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列,Sn為它的前n項(xiàng)和.(1)當(dāng)S1,S3,S4成等差數(shù)列時(shí),求q的值;(2)當(dāng)Sm,Sn,Sl成等差數(shù)列時(shí),求證:對(duì)隨意自然數(shù)k,am+k,an+k,al+k也成等差數(shù)列.【解析】(1)由已知,得an=aQUOTE,因此S1=a,S3=a(1+q+q2),S4=a(1+q+q2+q3).當(dāng)S1,S3,S4成等差數(shù)列時(shí),S4-S3=S3-S1,可得aq3=aq+aq2,化簡(jiǎn)得q2-q-1=0.解得q=QUOTE.(2)若q=1,則{an}的各項(xiàng)均為a,此時(shí)am+k,an+k,al+k明顯成等差數(shù)列.若q≠1,由Sm,Sn,Sl成等差數(shù)列可得Sm+Sl=2Sn,即QUOTE+QUOTE=QUOTE,整理得qm+ql=2qn.因此am+k+al+k=aQUOTE(qm+ql)=2aQUOTE=2an+k,所以am+k,an+k,al+k成等差數(shù)列.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,若QUOTE=7,則QUOTE= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)可知:S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列.設(shè)S3=k,則S6=7k,所以QUOTE=QUOTE=6,所以QUOTE=6,即S9-S6=36k,所以S9=43k,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初日健步不犯難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公細(xì)致算相還”.其大意為:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”.則該人第五天走的路程為()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里【解析】選B.記每天走的路程里數(shù)為{an},由已知{an}是公比為QUOTE的等比數(shù)列,由S6=QUOTE=378,解得a1=192,所以a5=192×QUOTE=12(里).【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·全國(guó)卷Ⅰ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈 ()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞【解析】選B.塔的頂層共有燈x盞,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列,由QUOTE=381,得x=3.3.在等比數(shù)列{an}中,對(duì)隨意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,則QUOTE+QUOTE+…+QUOTE等于()A.(2n-1)2 B.QUOTE C.4n-1 D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閍1+a2+…+an=2n-1,所以a1=21-1=1.因?yàn)閍1+a2=1+a2=22-1=3,所以a2=2,所以{an}的公比為2.所以{QUOTE}的公比為4,首項(xiàng)為QUOTE=1.所以QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n(n∈N*),已知am-1·am+1-2am=0,且T2m-1=128,則m的值為 ()A.4 B.7 C.10 【解析】選A.因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以am-1·am+1=QUOTE,又由am-1am+1-2am=0,可知am=2.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前(2m-1)項(xiàng)積T2m-1=QUOTE,即22m-1=128,故m=4.二、填空題(每小題5分,共20分)5.(2024·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=QUOTE,QUOTE=a6,則S5=__________.

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a1=QUOTE,QUOTE=a6,所以QUOTE=QUOTEq5,又q≠0,所以q=3,所以S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.數(shù)列{an}滿意:a1=QUOTE,且an+1=QUOTE(n∈N*),則QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=________.

【解析】由題意可知QUOTE=QUOTE+QUOTE·QUOTE,即QUOTE-1=QUOTE,又QUOTE-1=-QUOTE,所以QUOTE=1-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=n-QUOTE=n-QUOTE+QUOTE·QUOTE,則QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=2018-QUOTE+QUOTE×QUOTE=2017QUOTE+QUOTE.答案:2017QUOTE+QUOTE7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3(2n-1),數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=5n-2.數(shù)列{an}和{bn}的全部公共項(xiàng)按從小到大的依次構(gòu)成數(shù)列{cn}.若數(shù)列{cn}的第n項(xiàng)恰為數(shù)列{an}的第kn項(xiàng),則數(shù)列{kn}的前32項(xiàng)的和是________.

【解析】當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3(2n-1)-3(2n-1-1)=3×2n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,所以an=3×2n-1.令at=bs,所以3×2t-1=5s-2,則s=QUOTE.t=1,s=1,符合題意;t=2,s=QUOTE,不合題意;t=3,s=QUOTE,不合題意;t=4,s=QUOTE,不合題意;t=5,s=10,符合題意;…;所以{kn}是以1為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,所以數(shù)列{kn}的前32項(xiàng)之和為32×1+QUOTE×4=2016.答案:20168.已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿意b1=1,b2=QUOTE,anbn+1+bn+1=nbn.則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______;{bn}的前n項(xiàng)和Sn=________.

【解析】由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=QUOTE,得a1=2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=3n-1.結(jié)合anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=QUOTE,因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1,公比為QUOTE的等比數(shù)列.則Sn=QUOTE=QUOTE-QUOTE.答案:an=3n-1(n∈N*)QUOTE-QUOTE(n∈N*)三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知數(shù)列{an}滿意an+1=3an+2(n∈N*),且a1=2.(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)因?yàn)镼UOTE=QUOTE=3,a1+1=3,所以{an+1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)可得an+1=3n,所以an=3n-1.Sn=QUOTE-n=QUOTE-n.10.已知等差數(shù)列{an}滿意a7=4,a11=6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式an.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿意b1=a3,b4=a31,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,可得QUOTE,解得QUOTE,故{an}的通項(xiàng)公式an=1+QUOTE=QUOTE.(2)由(1)得b1=a3=2,b4=a31=16.設(shè){bn}的公比為q,則q3=QUOTE=8,所以q=2,所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n=QUOTE=2n+1-2.11.在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n>1時(shí),2an+anan-1-an-1=0,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.求證:(1)數(shù)列{QUOTE+1}是等比數(shù)列.(2)Sn<2.【證明】(1)方法一(定義法):因?yàn)閍1=1,當(dāng)n>1時(shí),2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,所以an(2+an-1)=an-1,an=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE+1=QUOTE+1=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,又因?yàn)镼UOTE+1=2,所以QUOTE是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.方法二(構(gòu)造新數(shù)列):因?yàn)閍1=1,當(dāng)n>1時(shí),2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,兩邊同時(shí)除以anan-1得QUOTE+1-QUOTE=0,整理得QUOTE-2QUOTE=1,所以QUOTE+1=2QUOTE,即QUOTE=2(常數(shù)),又因?yàn)镼UOTE+1=2,所以{QUOTE+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.方法三(換元法):因?yàn)閍1=1,當(dāng)n>1時(shí),2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,兩邊同時(shí)除以anan