蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊2.15正多邊形與圓(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.15正多邊形與圓（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

【要點(diǎn)提示】

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

【知識點(diǎn)二】正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.(4)正ｎ邊形半徑R,邊長a，邊心距r的關(guān)系；(5)正ｎ邊形周長；(6)正ｎ邊形面積；【要點(diǎn)提示】要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

【知識點(diǎn)三】正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

【要點(diǎn)提示】（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.【知識點(diǎn)四】正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計(jì)算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

【要點(diǎn)提示】畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算；【例1】（22-23九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，正方形的外接圓為，點(diǎn)P在劣弧上（不與點(diǎn)C重合）．

(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為8，求正方形的邊長．【變式1】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）如圖，P，Q分別是的內(nèi)接正五邊形的邊，上的點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24九年級上·上海·期中）邊長為3的正六邊形的邊心距為【題型2】正多邊形與圓的有關(guān)的證明；【例2】（2023·上海靜安·二模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的外接圓，交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：．【變式1】（2023九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，是正八邊形的外接圓，則下列結(jié)論：①；②的度數(shù)為；③．其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式2】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接對角線AC，AD，則下列結(jié)論：①BC∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判斷正確的是(填序號)．【題型3】正多邊形的實(shí)際應(yīng)用；【例3】（2023·河北邯鄲·二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個(gè)大圓和六個(gè)全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與l的最大距離為________；②當(dāng)圓心H到l的距離等于時(shí)，求的長；③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，的長為定值，并求出這個(gè)定值．【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測）2024年春節(jié)期間，河南多地大范圍降雪．如圖，將具有“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形）的圖形，放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，某校園內(nèi)有一個(gè)由兩個(gè)相同的邊長為的正六邊形圍成的花壇，現(xiàn)要將這個(gè)花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成一個(gè)菱形花壇，則擴(kuò)建后菱形花壇的周長為．

【題型4】與正多邊形與圓有關(guān)作圖；【例4】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，是中互相垂直的兩條直徑，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，與交于E、F兩點(diǎn)．(1)求證：是正六邊形的一邊；(2)請?jiān)趫D上繼續(xù)畫出這個(gè)正六邊形．【變式1】（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在邊長為4的正五邊形中，按以下步驟作圖：①連接；②以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，③分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F；④作射線交線段于點(diǎn)G；⑤連接；則四邊形的周長為（

）A．12 B．16 C．18 D．20【變式2】（2021九年級·安徽·專題練習(xí)）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于☉O，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，則∠CPE的度數(shù)為．【題型5】正多邊形與圓有關(guān)綜合.【例5】（2023·陜西西安·一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于．(1)若P是上的動點(diǎn)，連接，，求的度數(shù)；(2)已知的面積為，求的面積．【變式1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形內(nèi)接于，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．【變式2】（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，，分別交于點(diǎn)，，若該圓的半徑為12，則線段的長為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，，則的長為（

）A．2 B． C．1 D．【例2】（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

2、拓展延伸【例1】（2024·河北石家莊·一模）如圖，正六邊形為的內(nèi)接正六邊形，過點(diǎn)D作的切線，交的延長線于點(diǎn)P，連接的半徑為6．(1)求的度數(shù)；(2)求線段的長；(3)若點(diǎn)M為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)F，D重合），連接，直接寫出與的面積之和．【例2】（23-24九年級上·江蘇南京·期中）如圖①，，分別是半圓的直徑上的點(diǎn)，點(diǎn)，在上，且四邊形是正方形．

(1)若，則正方形的面積為；(2)如圖②，點(diǎn)，，分別在，，上，連接，，四邊形是正方形，且其面積為16①求的值；②如圖③，點(diǎn)，，分別在，，上，連接，，四邊形是正方形．直接寫出正方形與正方形的面積比．專題2.15正多邊形與圓（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

【要點(diǎn)提示】

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

【知識點(diǎn)二】正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.(4)正ｎ邊形半徑R,邊長a，邊心距r的關(guān)系；(5)正ｎ邊形周長；(6)正ｎ邊形面積；【要點(diǎn)提示】要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

【知識點(diǎn)三】正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

【要點(diǎn)提示】（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.【知識點(diǎn)四】正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計(jì)算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

【要點(diǎn)提示】畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算；【例1】（22-23九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，正方形的外接圓為，點(diǎn)P在劣弧上（不與點(diǎn)C重合）．

(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為8，求正方形的邊長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查圓與正多邊形，圓周角定理：（1）連接，根據(jù)中心角的計(jì)算公式求出的度數(shù)，圓周角定理，求出的度數(shù)即可；（2）勾股定理求出的長即可．解：（1）連接，

由題意得：，∴；（2）由（1）知：，又∵，∴，即正方形的邊長為：．【變式1】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）如圖，P，Q分別是的內(nèi)接正五邊形的邊，上的點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正多邊形和圓、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正多邊形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．連接、、，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形計(jì)算即可．解：連接、、，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，，，，，在和中，，，，，，，，，．故選：．【變式2】（23-24九年級上·上?！て谥校┻呴L為3的正六邊形的邊心距為【答案】【分析】此題考查了正多邊形和圓，在正六邊形中，連接，作于點(diǎn)M，證明是等邊三角形，則，由得到，利用勾股定理即可求出答案．解：在正六邊形中，連接，作于點(diǎn)M，∵正六邊形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：即邊長為3的正六邊形的邊心距為，故答案為：【題型2】正多邊形與圓的有關(guān)的證明；【例2】（2023·上海靜安·二模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的外接圓，交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段中點(diǎn)的定義得到三角形全等的條件，則，根據(jù)“全等三角形的對應(yīng)邊相等”得到（2）連接，并延長PO交AD于點(diǎn)M，先證明，再根據(jù)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”得到為等邊三角形，然后根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得到，則，最后根據(jù)“在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等”得到．解：（1）四邊形是矩形，且點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，在和中，，∴；（2）證明：如圖，連接，并延長交于點(diǎn)，四邊形是矩形，∴∵，，∴點(diǎn)、都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，，是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊，由正六邊形性質(zhì)可得∶，∵，是等邊三角形，又，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定以及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，是正八邊形的外接圓，則下列結(jié)論：①；②的度數(shù)為；③．其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D解：連接，，求出正八邊形的中心角，得到，根據(jù)這條弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)可得到②正確；由勾股定理求得，可得①正確；由于，可得，于是得到③正確．解：連接，，如圖所示：

∵，∴，∴的度數(shù)為，故②正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，故③正確；綜上分析可知，正確的是①②③．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正多邊形和圓，勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握正多邊形的中心角和邊數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接對角線AC，AD，則下列結(jié)論：①BC∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判斷正確的是(填序號)．【答案】①②③【分析】①分別求出∠BCD和∠ADC的度數(shù)，得到∠BCD+∠ADC=180°，判斷出BC∥AD；②計(jì)算出∠BAE的度數(shù)和∠CAD的度數(shù)，判斷出∠BAE=3∠CAD；③根據(jù)AB=CB，AE=DE，AC=AD，判斷出△BAC≌△EAD；④根據(jù)“三角形的兩邊之和大于第三邊”和“正五邊形的各邊相等”解答．解：①在正五邊形ABCDE中，，故本選項(xiàng)正確；②∴∠BAE=3∠CAD，故本選項(xiàng)正確；③在△BAC和△EAD中,，，故本選項(xiàng)正確；④∵AB+BC>AC，，∴2CD>AC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故答案為①②③．【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形和圓，熟悉正多邊形的性質(zhì)和正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型3】正多邊形的實(shí)際應(yīng)用；【例3】（2023·河北邯鄲·二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個(gè)大圓和六個(gè)全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與l的最大距離為________；②當(dāng)圓心H到l的距離等于時(shí)，求的長；③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，的長為定值，并求出這個(gè)定值．【答案】(1)60(2)①25；②；③的長為定值，定值為10．【分析】（1）將平均分6份即可；（2）①當(dāng)圓心M在的延長線上時(shí)，圓心M與l有最大距離，據(jù)此即可求解；②設(shè)的掛點(diǎn)為K，過點(diǎn)H作于點(diǎn)T，先證四邊形是矩形，再用勾股定理解即可；③先證是等邊三角形，再證是平行四邊形，可得．解：（1）解：，故答案為：60；（2）解：①當(dāng)圓心M在的延長線上時(shí)，圓心M與l有最大距離，最大距離為，故答案為：25；②如圖，設(shè)的掛點(diǎn)為K，過點(diǎn)H作于點(diǎn)T，

∵掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，∴K，H，T在同一直線上，∵圓心H到l的距離等于，∴，∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴；③證明：如圖所示，連接，，

由（1）知，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵小圓的半徑都為1，掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴的長為定值．【點(diǎn)撥】本題考查圓的基本知識，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型．【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測）2024年春節(jié)期間，河南多地大范圍降雪．如圖，將具有“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形）的圖形，放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn)，連接、、，連接交與點(diǎn)，則．利用正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等可求，，證明軸，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求解．解∶設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn)，連接、、，連接交與點(diǎn)，則．正六邊形的邊長為4，，，，，，，，，．，，是等邊三角形，，又軸，軸，．故選∶D．【變式2】（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，某校園內(nèi)有一個(gè)由兩個(gè)相同的邊長為的正六邊形圍成的花壇，現(xiàn)要將這個(gè)花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成一個(gè)菱形花壇，則擴(kuò)建后菱形花壇的周長為．

【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)．注意解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，找出等邊三角形．根據(jù)題意和正六邊形的性質(zhì)得出是等邊三角形，再根據(jù)正六邊形的邊長得出，同理可證出，再根據(jù)，求出，從而得出擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長．解：如解圖，∵花壇是由兩個(gè)相同的正六邊形圍成，

∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，同理可證：，∴，∴擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長為．故答案為：24．【題型4】與正多邊形與圓有關(guān)作圖；【例4】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，是中互相垂直的兩條直徑，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，與交于E、F兩點(diǎn)．(1)求證：是正六邊形的一邊；(2)請?jiān)趫D上繼續(xù)畫出這個(gè)正六邊形．【分析】本題考查了正多邊形和圓，熟悉正六邊形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．（1）連接，得到是等邊三角形，從而得到是正六邊形的一邊；（2）用以的長為圓規(guī)兩腳間的距離，分別在圓上截得相等的弧長．解：（1）證明：連接，如圖．∵，∴是等邊三角形，，∴是正六邊形的一邊；（2）解：如圖所示，用圓規(guī)截去弧的弧長，然后以E點(diǎn)、點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧，與交于G、H兩點(diǎn)，順次將點(diǎn)A、E、G、B、H、F連接起來，就得到正六邊形．【變式1】（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在邊長為4的正五邊形中，按以下步驟作圖：①連接；②以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，③分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F；④作射線交線段于點(diǎn)G；⑤連接；則四邊形的周長為（

）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】先求解正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108度，再求解，證明，可得，同理可得，從而可得答案．解：∵邊長為4的正五邊形，∴，，∴，∴，由作圖可得：，∴，∴，∴，同理：，∴四邊形的周長為；故選B【點(diǎn)撥】本題考查的是作角平分線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，掌握正多邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2021九年級·安徽·專題練習(xí)）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于☉O，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，則∠CPE的度數(shù)為．【答案】．【分析】連接OD,OC,OE,利用正八邊形的中心角的定義，計(jì)算圓心角∠COE，根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理計(jì)算即可．解：連接OD,OC,OE,∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形,∴∠COD=∠DOE==45°,∴∠COE=45°+45°=90°,∴∠CPE=∠COE=45°.故答案為：45°．【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形的中心角，圓心角與圓周角關(guān)系定理，連接半徑，構(gòu)造中心角是解題的關(guān)鍵．【題型5】正多邊形與圓有關(guān)綜合.【例5】（2023·陜西西安·一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于．(1)若P是上的動點(diǎn)，連接，，求的度數(shù)；(2)已知的面積為，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了圓內(nèi)解正六邊形問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)解正六邊形的性質(zhì)及弦和圓周角之間的關(guān)系．（）在取一點(diǎn)，連接，利用弦和圓周角的關(guān)系即可求出的值；（）證明是等邊三角形，利用三角函數(shù)求出，，再根據(jù)的面積為求出圓的半徑，即可求出面積．解：（1）如圖所示，在取一點(diǎn)，連接，∵六邊形是正六邊形，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴是等邊三角形，∴；∴，，∴，∴，即的半徑為．面積為：【變式1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形內(nèi)接于，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；連接，，作于G，證明是等邊三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．解：如圖，連接，，作于G，

∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即它的內(nèi)切圓半徑為，故選：D．【變式2】（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，，分別交于點(diǎn)，，若該圓的半徑為12，則線段的長為．【答案】【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接正六邊形．熟練掌握圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，含的直角三角形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．含的直角三角形性質(zhì)：三邊是的關(guān)系．連接、，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到是等邊三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等邊三角形，即得．解：連接、，∵六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，圓的半徑為12，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，，則的長為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到，得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，判斷出為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．解：∵是正六邊形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，故選：C．【例2】（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，是等邊三角