蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊1.2 一元二次方程（專項練習）（含答案）

專題1.2一元二次方程（專項練習）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（22-23八年級下·重慶·期中）下列方程為一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．（2024·湖南常德·一模）一元二次方程的一次項系數(shù)為（

）A． B． C．3 D．63．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）若是關(guān)于的方程的一個根，則的值是（

）A．2026 B．2025 C．2023 D．20224．（23-24九年級上·河南周口·階段練習）根據(jù)下表中的對應(yīng)值，判斷下列數(shù)中與方程的一個解最接近的是（）－－－A．0 B．1 C．1.5 D．25．（22-23八年級下·山東淄博·期中）已知關(guān)于的方程（為常數(shù)，）的解是，，那么方程的解為（）A． B．C． D．6．（2023·貴州黔東南·二模）若，（）是關(guān)于的一元二次方程的兩實根，且，則a，b，m，n的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）已知，則（

）A． B． C． D．8．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）關(guān)于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．或 B．或1 C．1或3 D．或9．（23-24九年級上·遼寧鞍山·階段練習）已知實數(shù)是一元二次方程的根，求代數(shù)式的值為（

）A．1 B． C．2 D．10．（23-24八年級上·湖北荊州·期末）《周髀算經(jīng)》中有一種幾何方法可以用來解形如的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個長為，寬為x的長方形紙片（面積均為10）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為，邊長為，故得的正數(shù)解為.小智按此方法解關(guān)于x的方程時，構(gòu)造出類似的圖形.已知大正方形的面積為40，小正方形的面積為16，則m和n的值分別是（

）

A． B．C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則．12．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，將其化成二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項是．13．（23-24九年級上·山東棗莊·階段練習）根據(jù)下表：x…456135…5確定方程的解的取值范圍是．14．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為．15．（23-24八年級下·山東東營·期中）已知是一元二次方程的一個根，則的值為．16．（2023·江蘇常州·模擬預(yù)測）若是方程的解，則的值為．17．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）一元二次方程的一個根是1，且滿足，則，，．18．（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知是方程的一個根，則=．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（22-23九年級上·廣東惠州·階段練習）把方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．20．（8分）（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）已知關(guān)于x的方程．（1）當m為何值時，此方程是一元一次方程？（2）當m為何值時，此方程是一元二次方程？21．（10分）（23-24九年級下·廣東廣州·階段練習）（1）化簡T；（2）若a是方程的一個根，求T的值．22．（10分）（2023九年級上·江蘇·專題練習）已知x是一元二次方程的實數(shù)根，求代數(shù)式的值．23．（10分）（23-24九年級上·廣西欽州·階段練習）【閱讀材料】【問題】已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡，得，故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：【類比探究】（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為_______；【拓展運用】（2）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．24．（12分）（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是和的邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

（1）試判斷方程是否為“勾系一元二次方程”．（2）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求的面積．參考答案：1．A【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程，叫做一元二次方程”，逐項判斷即可，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，是一元二次方程，符合題意；B、，含兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；C、，未知數(shù)的最高次數(shù)不是，不是一元二次方程，不符合題意；D、，可化為，不是一元二次方程，不符合題意．故選：A．2．B【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式，一次項的系數(shù)的含義，原方程化為一般形式為，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴其一次項系數(shù)為；故選B3．D【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代數(shù)式的值，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．把代入，得，然后把所求式子化為代入計算即可作答．【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的一個根，∴，∴，故選：D．4．C【分析】根據(jù)表格中與的值的特征，確定出解的范圍即可．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)表格得：當時，，當時，，∵，∴方程的一個解最接近．故選：C．【點睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．5．D【分析】此題主要考查了方程解的定義，把后面一個方程中的看作整體，相當于前面一個方程中的求解，注意由兩個方程的特點進行簡便計算．【詳解】解：∵關(guān)于的方程（為常數(shù)，）的解是，，∴方程變形為：，即或，解得：或，故選：D．6．D【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，解不等式組，根據(jù)題意可得，則由乘法的性質(zhì)可得或，由，得到或，即方程的兩個根一個大于m，一個小于n，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴或，∵，∴或，∵，（）是關(guān)于的一元二次方程的兩實根，∴，∴，故選：D．7．A【分析】根據(jù)方程判定，再根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以，即可求解．【詳解】解：當時，，方程不成立，∴，方程兩邊同時除以，∴，∴，故選：．【點睛】本題主要考查一元二次方程的變形，等式的性質(zhì)，分式的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】本題考查方程的解．把方程中的看成整體，根據(jù)關(guān)于x的方程的解可得或，求解即可．【詳解】∵關(guān)于x的方程的解是，，∴方程變形為，此方程的中或，解得，，∴方程的解為：，．故選：D9．B【分析】根據(jù)實數(shù)是一元二次方程的根，即得出，．整體代入可得，化簡即可．【詳解】將代入，得：，即，．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的解，代數(shù)式求值．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值和利用整體代入的思想是解題關(guān)鍵．10．C【分析】本題考查了一元二次方程的解，把及圖形按照樣例那樣去分析即可．【詳解】把方程變形得到，如圖，將四個長為，寬為x的長方形紙片（面積均為）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為，解得，小正方形邊長為，故得的正數(shù)解為，即，，故選：C．11．【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的根；根據(jù)一元二次方程的定義可得出；根據(jù)題意將代入方程求出的值，即可求解．【詳解】解：∵該方程是一元二次方程，∴，即；∵關(guān)于的一元二次方程有一個根為，故將代入方程為，整理得：，解得：或（舍去），故答案為：．12．【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握運算的法則是解題的關(guān)鍵．先把化方程為一般式，從而得到常數(shù)項．【詳解】解：，去括號，得，合并，得，所以常數(shù)項是．故答案為：．13．或【分析】觀察已知表格，根據(jù)代數(shù)式的值的變化確定出方程解的范圍即可．【詳解】解：由表格得：時，，時，；時，，時，，可得方程的解取值范圍是或．故答案為：或．【點睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．14．6【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，即，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】解：把代入，得，即，，故答案為6．15．【分析】此題主要考查了一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數(shù)的方程即可求得代數(shù)式的值．將代入到中求得的值，然后求代數(shù)式的值即可．【詳解】解：將代入方程，得，，．故答案為1.16．【分析】本題考查了一元二次方程的解及求代數(shù)式的值，先把代入得，然后利用整體代入求值即可，正確理解一元二次方程的解，熟練掌握運算法則及整體代入是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是方程的解，∴，即，∴原式，故答案為：．17．21【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意義的條件．先根據(jù)二次根式有意義的條件得到，則可計算出，再根據(jù)一元二次方程解的定義得到，然后把a和b的值代入即可求出c的值．【詳解】解：∵a、b滿足，∴，，∴，∴，∵一元二次方程的一個根是1，∴，∴，∴．故答案為：；；18．2026【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及一元二次方程根的定義，由根的定義得到，恒等變形代入代數(shù)式化簡求值即可得到答案．【詳解】解：是方程的一個根，，則，且，，故答案為：2026．19．二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為，，．【分析】先括號、移項、合并、系數(shù)化為1得，然后根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的定義求解．【詳解】去括號，得移項、合并同類項，得二次項系數(shù)化為，得所以二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為，，．【點睛】本題考查了一元二次方程一般式：，a叫二次項系數(shù)，b叫一次項系數(shù)，c叫常數(shù)項．20．(1)(2)且【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義可以解答本題；（2）根據(jù)一元二次方程的定義可以解答本題【詳解】（1）解：，如果此方程是一元一次方程，則，解得：，即時，此方程是一元一次方程；（2）解：，如果此方程是一元二次方程，則，解得，且，即且，方程是一元二次方程．【點睛】本題考查一元二次方程的定義和一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的定義和一元一次方程的定義．21．(1)(2)13【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，整式的混合運算．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．（1）利用乘法公式進行計算即可；（2）把代入已知方程，得到，然后代入化簡后的中求值即可．【詳解】（1）解：；（2）∵a是方程的一個根，∴，即：，∴．22．【分析】利用一元二次方程的解可得出，將其代入的化簡結(jié)果中即可求出答案．【詳解】解：∵x是一元二次方程的實數(shù)根，∴．，∴代數(shù)式的值為．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、分式的化簡等知識，熟練掌握一元二次方程的解的定義和分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．23．類比探究（1）；拓展運用（2）所求方程為【分析】本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，本題是一道材料題，解題時，要提取材料中的關(guān)鍵性信息．（1）利用題中的方法，設(shè)所求方程的根為，則，把代入已知方程得出，即可得解；（2）利用題中的方法，所求方程的根為，則，于是，把代入方程得，化為整式方程即可得出答案．【詳解】解：【類比探究】（1）設(shè)所求方程的根為，則，，把代入方程，得：，故答案為：；【拓展運用】（2）設(shè)所求方程的根為，則，于是，把代入方程，得，