蘇科版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專練習(xí)2.15有理數(shù)的混合運(yùn)算(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.15有理數(shù)的混合運(yùn)算（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的混合運(yùn)算一、理解運(yùn)算順序有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：①?gòu)母呒?jí)到低級(jí)：先算乘方，再算乘除，最后算加減；②從內(nèi)向外：如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的.③從左向右：同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行（或應(yīng)用分配律、結(jié)合律）；二、應(yīng)用四個(gè)原則：1、整體性原則：乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計(jì)算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開(kāi)，分別統(tǒng)一計(jì)算。2、簡(jiǎn)明性原則：計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡(jiǎn)明，能夠一步計(jì)算出來(lái)的就同時(shí)算出來(lái)；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡(jiǎn)便方法，如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。3、口算原則：在每一步的計(jì)算中，都盡量運(yùn)用口算，口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一，習(xí)慣于口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。分段同時(shí)性原則：對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算。如何分段呢?主要有：(1)運(yùn)算符號(hào)分段法。有理數(shù)的基本運(yùn)算有五種：加、減、乘、除和乘方，其中加減為第一級(jí)運(yùn)算，乘除為第二級(jí)運(yùn)算，乘方為第三級(jí)運(yùn)算。在運(yùn)算中，低級(jí)運(yùn)算把高級(jí)運(yùn)算分成若干段。一般以加號(hào)、減號(hào)把整個(gè)算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的結(jié)果先計(jì)算出來(lái)，最后再算出這幾個(gè)加數(shù)的和．(2)括號(hào)分段法，有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的。在實(shí)施時(shí)可同時(shí)分別對(duì)括號(hào)內(nèi)外的算式進(jìn)行運(yùn)算。(3)絕對(duì)值符號(hào)分段法。絕對(duì)值符號(hào)除了本身的作用外，還具有括號(hào)的作用，從運(yùn)算順序的角度來(lái)說(shuō)，先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)里面的，因此絕對(duì)值符號(hào)也可以把算式分成幾段，同時(shí)進(jìn)行計(jì)算．(4)分?jǐn)?shù)線分段法，分?jǐn)?shù)線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時(shí)分別運(yùn)算。說(shuō)明：本題以加號(hào)、減號(hào)為界把整個(gè)算式分成三段，這三段分別計(jì)算出來(lái)的結(jié)果再相加。三、掌握運(yùn)算技巧（1）歸類組合：將不同類數(shù)(如分母相同或易于通分的數(shù))分別組合；將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計(jì)算。（2）湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消。（3）分解：將一個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式。（4）約簡(jiǎn)：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡(jiǎn)。（5）倒序相加：利用運(yùn)算律，改變運(yùn)算順序,簡(jiǎn)化計(jì)算。（6）正逆用運(yùn)算律：正難則反,逆用運(yùn)算定律以簡(jiǎn)化計(jì)算。（7）絕對(duì)值和偶次冪的非負(fù)性。四、理解轉(zhuǎn)化的思想方法有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是確定符號(hào)和絕對(duì)值的問(wèn)題。因此在運(yùn)算時(shí)應(yīng)把握“遇減化加．遇除變乘，乘方化乘”，這樣可避免因記憶量太大帶來(lái)的一些混亂，同時(shí)也有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)問(wèn)題。把所學(xué)的有理數(shù)運(yùn)算概括起來(lái)?？蓺w納為三個(gè)轉(zhuǎn)化：一是通過(guò)絕對(duì)值將加法、乘法在先確定符號(hào)的前提下，轉(zhuǎn)化為小學(xué)里學(xué)的算術(shù)數(shù)的加法、乘法；二是通過(guò)相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法；三是將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為積的形式．若掌握了有理數(shù)的符號(hào)法則和轉(zhuǎn)化手段，有理數(shù)的運(yùn)算就能準(zhǔn)確、快速地解決了．五、會(huì)用三個(gè)概念的性質(zhì)如果a．b互為相反數(shù)，那么a+b=O，a=-b；如果c，d互為倒數(shù)，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的四則混合運(yùn)算【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【變式1】（22-23六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）若規(guī)定，例，則．【變式2】（23-24七年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)），括號(hào)里應(yīng)該填（

）A． B．0 C．1 D．【題型2】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；【變式1】（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算的結(jié)果是．【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列式子計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．【題型3】用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算【例3】（23-24七年級(jí)上·河南平頂山·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算后，王老師給同學(xué)們出了這樣一道題：計(jì)算，看誰(shuí)算得又對(duì)又快．下面是兩位同學(xué)給出的不同解法．小強(qiáng)：原式小莉：原式．（1）以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法比較簡(jiǎn)便？（2）你還有其他解法嗎？如果有，請(qǐng)你寫出解答過(guò)程；（3）你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算嗎？如果能，請(qǐng)你寫出解答過(guò)程．【變式1】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）甲、乙兩人用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程如下所示，下列判斷正確的是（）甲：乙：A．甲、乙都正確 B．甲、乙都不正確 C．只有甲正確 D．只有乙正確【變式2】（2021·安徽宣城·一模）讀一讀：式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長(zhǎng)，書(shū)寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們將其表示為n，這里“∑”是求和符號(hào)，通過(guò)對(duì)以上材料的閱讀，計(jì)算．【題型4】有理數(shù)混合運(yùn)算與程序流程圖和算24點(diǎn)【例4】（23-24七年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）按下列程序計(jì)算，把答案填寫在表格內(nèi)，然后觀察有什么規(guī)律，想一想：為什么會(huì)有這個(gè)規(guī)律？（1）填寫表內(nèi)空格：輸入0…輸出答案91（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：輸入數(shù)據(jù)x，則輸出的答案是_____．（3）請(qǐng)驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）嘉嘉和琪琪在玩24點(diǎn)游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，任意抽取4張牌，把牌面上的數(shù)運(yùn)用你所學(xué)過(guò)的運(yùn)算（可以使用括號(hào)）得出24．每張牌都必須使用一次，但不能重復(fù)使用．嘉嘉抽到的四張牌如下，請(qǐng)幫他寫出一個(gè)計(jì)算結(jié)果為24的算式．【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）按如圖所示的步驟操作，若輸入的數(shù)為，則輸出的數(shù)為（

）A． B． C． D．【題型5】有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例5】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，七年（2）班的平均分為87分，把高于平均分的部分記作正數(shù)，低于平均分的部分記作負(fù)數(shù)，下表是該班一個(gè)小組10名同學(xué)的成績(jī)變化情況：學(xué)生序號(hào)12345678910成績(jī)變化0（1）該小組10名同學(xué)的成績(jī)最低分是多少？最高分是多少？（2）最高分比最低分高多少？（3）該組10名同學(xué)的成績(jī)總分是多少？（4）若該組10名同學(xué)的成績(jī)平均分不低于87分，將得到獎(jiǎng)勵(lì)，每高一分，每人獎(jiǎng)勵(lì)2個(gè)本，否則不獎(jiǎng)勵(lì)，那么該組10名同學(xué)是否受到獎(jiǎng)勵(lì)？若獎(jiǎng)勵(lì)，共獎(jiǎng)勵(lì)多少個(gè)本？【變式1】（2024·四川達(dá)州·三模）在我國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來(lái)記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【變式2】（22-23七年級(jí)上·福建福州·階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，b，6，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對(duì)齊刻度，點(diǎn)C對(duì)齊刻度．則數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．【例2】（2021·山東日照·中考真題）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)小于的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．6 C．4 D．22、拓展延伸【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的計(jì)算．逆用乘法分配律解題我們知道，乘法分配律是，反過(guò)來(lái)．這就是說(shuō)，當(dāng)中有相同的a時(shí)，我們可以逆用乘法分配律得到，進(jìn)而可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．例如：計(jì)算，若利用先乘后減顯然很繁瑣，注意到兩項(xiàng)都有，因此逆用乘法分配律可得，這樣計(jì)算就簡(jiǎn)便得多計(jì)算：(1)；(2)；(3)．(4)【例2】．（22-23七年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，厘米，點(diǎn)C在線段上，且厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒時(shí)線段的長(zhǎng)為6厘米．專題2.15有理數(shù)的混合運(yùn)算（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的混合運(yùn)算一、理解運(yùn)算順序有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：①?gòu)母呒?jí)到低級(jí)：先算乘方，再算乘除，最后算加減；②從內(nèi)向外：如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的.③從左向右：同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行（或應(yīng)用分配律、結(jié)合律）；二、應(yīng)用四個(gè)原則：1、整體性原則：乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計(jì)算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開(kāi)，分別統(tǒng)一計(jì)算。2、簡(jiǎn)明性原則：計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡(jiǎn)明，能夠一步計(jì)算出來(lái)的就同時(shí)算出來(lái)；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡(jiǎn)便方法，如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。3、口算原則：在每一步的計(jì)算中，都盡量運(yùn)用口算，口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一，習(xí)慣于口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。分段同時(shí)性原則：對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算。如何分段呢?主要有：(1)運(yùn)算符號(hào)分段法。有理數(shù)的基本運(yùn)算有五種：加、減、乘、除和乘方，其中加減為第一級(jí)運(yùn)算，乘除為第二級(jí)運(yùn)算，乘方為第三級(jí)運(yùn)算。在運(yùn)算中，低級(jí)運(yùn)算把高級(jí)運(yùn)算分成若干段。一般以加號(hào)、減號(hào)把整個(gè)算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的結(jié)果先計(jì)算出來(lái)，最后再算出這幾個(gè)加數(shù)的和．(2)括號(hào)分段法，有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的。在實(shí)施時(shí)可同時(shí)分別對(duì)括號(hào)內(nèi)外的算式進(jìn)行運(yùn)算。(3)絕對(duì)值符號(hào)分段法。絕對(duì)值符號(hào)除了本身的作用外，還具有括號(hào)的作用，從運(yùn)算順序的角度來(lái)說(shuō)，先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)里面的，因此絕對(duì)值符號(hào)也可以把算式分成幾段，同時(shí)進(jìn)行計(jì)算．(4)分?jǐn)?shù)線分段法，分?jǐn)?shù)線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時(shí)分別運(yùn)算。說(shuō)明：本題以加號(hào)、減號(hào)為界把整個(gè)算式分成三段，這三段分別計(jì)算出來(lái)的結(jié)果再相加。三、掌握運(yùn)算技巧（1）歸類組合：將不同類數(shù)(如分母相同或易于通分的數(shù))分別組合；將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計(jì)算。（2）湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消。（3）分解：將一個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式。（4）約簡(jiǎn)：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡(jiǎn)。（5）倒序相加：利用運(yùn)算律，改變運(yùn)算順序,簡(jiǎn)化計(jì)算。（6）正逆用運(yùn)算律：正難則反,逆用運(yùn)算定律以簡(jiǎn)化計(jì)算。（7）絕對(duì)值和偶次冪的非負(fù)性。四、理解轉(zhuǎn)化的思想方法有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是確定符號(hào)和絕對(duì)值的問(wèn)題。因此在運(yùn)算時(shí)應(yīng)把握“遇減化加．遇除變乘，乘方化乘”，這樣可避免因記憶量太大帶來(lái)的一些混亂，同時(shí)也有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)問(wèn)題。把所學(xué)的有理數(shù)運(yùn)算概括起來(lái)。可歸納為三個(gè)轉(zhuǎn)化：一是通過(guò)絕對(duì)值將加法、乘法在先確定符號(hào)的前提下，轉(zhuǎn)化為小學(xué)里學(xué)的算術(shù)數(shù)的加法、乘法；二是通過(guò)相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法；三是將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為積的形式．若掌握了有理數(shù)的符號(hào)法則和轉(zhuǎn)化手段，有理數(shù)的運(yùn)算就能準(zhǔn)確、快速地解決了．五、會(huì)用三個(gè)概念的性質(zhì)如果a．b互為相反數(shù)，那么a+b=O，a=-b；如果c，d互為倒數(shù)，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的四則混合運(yùn)算【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了有理數(shù)的乘法與除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算括號(hào)中的運(yùn)算，以及除法化為乘法運(yùn)算，約分即可得到結(jié)果；（2）原式先將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果．解：（1）；（2）．【變式1】（22-23六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）若規(guī)定，例，則．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意列得算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式列式計(jì)算可得答案．解：，故答案為：．【變式2】（23-24七年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)），括號(hào)里應(yīng)該填（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算的理解，理解和，積，商的含義是解本題的關(guān)鍵，先計(jì)算，，從而可得答案．解：∵，，而，∴括號(hào)內(nèi)填的是；故選A【題型2】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，先運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算，同時(shí)運(yùn)算除法，然后進(jìn)行加減即可解題．（2）熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序“先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算”是解題的關(guān)鍵．（1）解：；（2）解：．【變式1】（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】36【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．先算乘方，再算乘除，最后算加減．解：，故答案為：36．【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列式子計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得出答案，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．解：A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．【題型3】用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算【例3】（23-24七年級(jí)上·河南平頂山·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算后，王老師給同學(xué)們出了這樣一道題：計(jì)算，看誰(shuí)算得又對(duì)又快．下面是兩位同學(xué)給出的不同解法．小強(qiáng)：原式小莉：原式．(1)以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法比較簡(jiǎn)便？(2)你還有其他解法嗎？如果有，請(qǐng)你寫出解答過(guò)程；(3)你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算嗎？如果能，請(qǐng)你寫出解答過(guò)程．【答案】(1)小莉(2)有，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）對(duì)比二者的運(yùn)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度即可判斷；（2）將原數(shù)化為，用乘法分配律即可求解；（3）將原數(shù)化為，用乘法分配律即可求解．解：（1）解：由題意得小強(qiáng)沒(méi)有進(jìn)行約分計(jì)算，導(dǎo)致數(shù)字偏大，運(yùn)算量大；小莉?qū)⒃瓟?shù)拆分后利用乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算，簡(jiǎn)化了運(yùn)算；故小莉的解法比較簡(jiǎn)便；（2）解：還有其他的解法；原式；（3）解：能；原式．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，乘法分配律，會(huì)利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）甲、乙兩人用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程如下所示，下列判斷正確的是（）甲：乙：A．甲、乙都正確 B．甲、乙都不正確 C．只有甲正確 D．只有乙正確【答案】A【分析】先把減法轉(zhuǎn)化成加法，再利用加法的運(yùn)算律求解；解：甲：原式乙：原式故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵【變式2】（2021·安徽宣城·一模）讀一讀：式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長(zhǎng)，書(shū)寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們將其表示為n，這里“∑”是求和符號(hào)，通過(guò)對(duì)以上材料的閱讀，計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)求和公式寫出分?jǐn)?shù)的和的形式，根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)計(jì)算即可．解：由題意得，＝1＝1，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的變化類問(wèn)題，根據(jù)題意寫出分?jǐn)?shù)的和的形式、并正確進(jìn)行分解是解題的關(guān)鍵．【題型4】有理數(shù)混合運(yùn)算與程序流程圖和算24點(diǎn)【例4】（23-24七年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）按下列程序計(jì)算，把答案填寫在表格內(nèi)，然后觀察有什么規(guī)律，想一想：為什么會(huì)有這個(gè)規(guī)律？(1)填寫表內(nèi)空格：輸入0…輸出答案91(2)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：輸入數(shù)據(jù)x，則輸出的答案是_____．(3)請(qǐng)驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）把輸入行的數(shù)分別代入程序中計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)程序得出一般性規(guī)律，寫出即可；（3）由題中給出的式子我們可得出（1）解：填表如下：輸入0…輸出答案9410…（2）解：輸入數(shù)據(jù)x，則輸出的答案是．（3）解：【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）嘉嘉和琪琪在玩24點(diǎn)游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，任意抽取4張牌，把牌面上的數(shù)運(yùn)用你所學(xué)過(guò)的運(yùn)算（可以使用括號(hào)）得出24．每張牌都必須使用一次，但不能重復(fù)使用．嘉嘉抽到的四張牌如下，請(qǐng)幫他寫出一個(gè)計(jì)算結(jié)果為24的算式．【答案】（答案不唯一）【分析】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．解：本題中設(shè)計(jì)的數(shù)字有：8，4，2，12．根據(jù)題目規(guī)則，可得滿足條件的算式如下：（1）．（2）．（3）．（4）等．故答案為：（答案不唯一）．【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）按如圖所示的步驟操作，若輸入的數(shù)為，則輸出的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算程序直接計(jì)算即可求解，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解：由題意可得，輸出的數(shù)為，故選：．【題型5】有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例5】1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，七年（2）班的平均分為87分，把高于平均分的部分記作正數(shù)，低于平均分的部分記作負(fù)數(shù)，下表是該班一個(gè)小組10名同學(xué)的成績(jī)變化情況：學(xué)生序號(hào)12345678910成績(jī)變化0（1）該小組10名同學(xué)的成績(jī)最低分是多少？最高分是多少？（2）最高分比最低分高多少？（3）該組10名同學(xué)的成績(jī)總分是多少？（4）若該組10名同學(xué)的成績(jī)平均分不低于87分，將得到獎(jiǎng)勵(lì)，每高一分，每人獎(jiǎng)勵(lì)2個(gè)本，否則不獎(jiǎng)勵(lì)，那么該組10名同學(xué)是否受到獎(jiǎng)勵(lì)？若獎(jiǎng)勵(lì)，共獎(jiǎng)勵(lì)多少個(gè)本？【答案】(1)最低分為72分，最高分為100分(2)28分(3)890分(4)是，獎(jiǎng)勵(lì)40個(gè)本【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)．（1）分別求出各同學(xué)的成績(jī)即可；（2）由（1）中同學(xué)的成績(jī)求出最高分與最低分的差即可；（3）根據(jù)10名同學(xué)的平均分為87分，再由這些同學(xué)成績(jī)的變化情況進(jìn)行解答；（4）由該班10名同學(xué)的總分求出其平均分，再根據(jù)若該組10名同學(xué)的成績(jī)平均分不低于87分，將得到獎(jiǎng)勵(lì)，每高一分，每人獎(jiǎng)勵(lì)2個(gè)本，否則不獎(jiǎng)勵(lì)即可得出結(jié)論．（1）解：∵1號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；2號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；3號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；4號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；5號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；6號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；7號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；8號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；9號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分；10號(hào)同學(xué)的成績(jī)：分，∴最低分為72分，最高分為100分；（2）解：∵最低分為72分，最高分為100分，∴分；（3）解：∵七年（2）班的平均分為87分，∴10名同學(xué)的總成績(jī)（分）；（4）解：∵該組10名同學(xué)的總成績(jī)是890分，∴，，∴該組10名同學(xué)受到獎(jiǎng)勵(lì)，共獎(jiǎng)勵(lì)40個(gè)本．【變式1】（2024·四川達(dá)州·三模）在我國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來(lái)記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)計(jì)數(shù)規(guī)則可知，從右邊第1位的計(jì)數(shù)單位為，右邊第2位的計(jì)數(shù)單位為，右邊第3位的計(jì)數(shù)單位為，右邊第4位的計(jì)數(shù)單位為，……，依此類推，可求出結(jié)果．解：根據(jù)題意得：（只），答：他所放牧的羊的只數(shù)是310只．故選：B．【變式2】（22-23七年級(jí)上·福建福州·階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，b，6，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對(duì)齊刻度，點(diǎn)C對(duì)齊刻度．則數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為．【答案】0【分析】本題考查的是數(shù)軸的概念，有理數(shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度等于多少厘米．?dāng)?shù)軸上A、C兩點(diǎn)間的單位長(zhǎng)度是，點(diǎn)C對(duì)齊刻度，所以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是，的長(zhǎng)度是，除以得在數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度．解：∵，∴數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是，∵，∴在數(shù)軸上A，B的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為．故答案為：0．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．【答案】8【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．本題考查了新定義計(jì)算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解：根據(jù)定義，得，故答案為：8．【例2】（2021·山東日照·中考真題）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)小于的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】利用第5次運(yùn)算結(jié)果為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)計(jì)算即可