計數(shù)原理與概率統(tǒng)計題型專練 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

計數(shù)原理與概率統(tǒng)計1.某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，隨機(jī)抽查了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），將所得到的數(shù)據(jù)分成7組：，，，，，，（棉花纖維的長度均在內(nèi)），繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計棉花纖維的長度的眾數(shù)和平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；(2)估計棉花纖維的長度的分位數(shù).2.某學(xué)校高一新生體檢，校醫(yī)室為了解新生的身高情況，隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)(單位：cm)，制作成頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這100名同學(xué)的平均身高的估計值(同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作為代表)；（2）用分層抽樣的方法從，，中抽出一個容量為17的樣本，如果樣本按比例分配，則各區(qū)間應(yīng)抽取多少人；（3）估計這100名同學(xué)身高的上四分位數(shù).3.國家發(fā)改委和住建部等六部門發(fā)布通知，提到：2025年，農(nóng)村生活垃圾無害化處理水平將明顯提升.現(xiàn)階段我國生活垃圾有填埋?焚燒?堆肥等三種處理方式，隨著我國生態(tài)文明建設(shè)的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主要方式.根據(jù)國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，對2013-2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)y（單位：座）進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)y166188220249286331389463(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（精確到0.01）；(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)；(3)對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，還能用（2）所求的經(jīng)驗回歸方程預(yù)測嗎？請簡要說明理由.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，參考數(shù)據(jù)：，，，，，，4.某市為了解車主用車的能源類型與對該市交通擁堵感受的關(guān)系，共調(diào)查了100名車主，并得到如下的列聯(lián)表：覺得交通擁堵覺得交通不擁堵合計燃油車車主302050新能源車車主252550合計5545100（1）將頻率估計為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機(jī)抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件，“抽取到新能源車車主”為事件，“抽取到的車主覺得交通擁堵”為事件，“抽取到的車主覺得交通不擁堵”為事件，計算，，比較它們的大小，并說明其意義；（2）是否有的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與對該市交通擁堵的感受有關(guān)?將分析結(jié)果與（1）中結(jié)論進(jìn)行比較，并作出解釋.附表及公式：0.1000.0100.0012.7066.63510.828，.5.有6名同學(xué)站成一排.(1)甲不站排頭也不站排尾，則不同的排法種數(shù)為？(2)甲、乙不相鄰，則不同的排法種數(shù)為？(3)甲、乙相鄰，且甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為？6.電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起.（列出算式，并計算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？7.現(xiàn)有9件產(chǎn)品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，從中抽取3件產(chǎn)品.(1)試問共有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種?(3)抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品的抽法共有多少種?8.一個袋子中有7個大小相同的球，其中有2個紅球，2個藍(lán)球，3個黑球，從中隨機(jī)取出3個球.(1)求至少取到2個黑球的概率；(2)設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個藍(lán)球得1分，取到一個黑球得0分，記總得分為X，求X的分布列和均值.9.已知的二項展開式中，前三項的二項式系數(shù)的和為46.(1)求展開式中所有項的系數(shù)的和：(2)求展開式中的常數(shù)項.10.某場知識競賽比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是，若各家庭回答是否正確互不影響.(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.11.甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平.假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立.（1）求第三局結(jié)束時乙獲勝的概率；（2）求甲獲勝的概率.12.為普及防火救災(zāi)知識，某學(xué)校組織防火救災(zāi)知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手在第一輪比賽勝出后才能進(jìn)入第二輪比賽.若其在兩輪比賽中均勝出，則贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，，甲，乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響，（1）比較甲?乙兩人誰贏得比賽的概率大；（2）求甲贏得比賽且乙沒贏得比賽的概率.13.進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類知識，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為q（），且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響已知每題甲，乙同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為.(1)求p和q的值；(2)試求兩人共答對至少3道題的概率.14.為了解某品牌A型號空調(diào)的質(zhì)量，某商場對購買該型號的顧客進(jìn)行了產(chǎn)品滿意度的問卷調(diào)查.隨機(jī)抽取了100位顧客的問卷進(jìn)行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，.(1)求a的值；(2)求這100位顧客問卷評分的平均數(shù)；(3)若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在和內(nèi)的居民中共抽取7戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這7戶居民中選取2戶進(jìn)行專項調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評分在內(nèi)的概率.15.某高新技術(shù)企業(yè)新研發(fā)出了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品由三個電子元件組裝而成，這三個電子元件在生產(chǎn)過程中的次品率均為.組裝過程中不會造成電子元件的損壞，當(dāng)且僅當(dāng)三個電子元件都不是次品時，產(chǎn)品能正常工作，否則該產(chǎn)品為次品.（1）設(shè)一件產(chǎn)品中所含電子元件為次品的個數(shù)為X，求X的分布列和期望；（2）設(shè)“任取一件產(chǎn)品為次品”，“該產(chǎn)品僅有一個電子元件是次品”，求；（3）安排質(zhì)檢員對這批產(chǎn)品進(jìn)行逐一檢查，確保沒有次品流入市場.現(xiàn)有兩種方案，方案一：安排三個質(zhì)檢員先行檢測這三個元件，次品不進(jìn)入組裝生產(chǎn)線；方案二：安排一個質(zhì)檢員檢測成品，若發(fā)現(xiàn)次品，則進(jìn)行電子元件的更換，保證產(chǎn)品能正常工作.更換電子元件的費(fèi)用為15元/個.已知每位質(zhì)檢員的月工資為3000元，該企業(yè)每月生產(chǎn)該產(chǎn)品800件，請從企業(yè)獲益的角度考慮，應(yīng)該選擇哪種方案?

答案以及解析1.答案：(1)，眾數(shù)為，平均數(shù)；(2)解析：(1)由頻率分布直方圖知，解得.最高小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，可得眾數(shù)為.平均(2)設(shè)棉花纖維的長度的分位數(shù)為，所以，解得.2.答案：（1）（2）答案見解析（3）176.25解析：（1）第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.35，第三組的頻率為，第四組的頻率為0.20，第五組的頻率為0.10，故平均數(shù).（2）根據(jù)題意，第組有人，第組有人，所以第3組選人.（3）因為前3組的頻率和為0.7，前4組的頻率和為0.9，所以第75百分位數(shù)在第四組，不妨設(shè)為x，則，解得，即第75百分位數(shù)約為176.25；3.答案：(1)答案見解析；(2)，513；(3)答案見解析解析：（1），相關(guān)系數(shù)因為y與x的相關(guān)系數(shù)，接近1，所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.（2）所以y與x的線性回歸方程為又2022年對應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時，，所以預(yù)測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)為513.（3）對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，不能由（2）所求的線性回歸方程預(yù)測，理由如下（說出一點(diǎn)即可）：①線性回歸方程具有時效性，不能預(yù)測較遠(yuǎn)情況；②全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)有可能達(dá)到上限，一段時間內(nèi)不再新建；③受國家政策的影響，可能產(chǎn)生新的生活垃圾無害化處理方式.4.答案：（1），，，答案見解析（2）沒有，答案見解析解析：（1）由題意得，，，說明從抽樣情況來看，燃油車車主覺得交通擁堵的比例比新能源車車主覺得交通擁堵的比例更高（2），因此沒有90%的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵有關(guān)，說明調(diào)查人數(shù)太少，（1）中的結(jié)論不具有說服力，需要調(diào)查更多車主.5.答案：(1)480(2)480(3)144解析：(1)甲不站排頭也不站排尾，則先排其余5人，有種排法，甲插空，有種，故共有種不同排法.(2)甲、乙不相鄰，則先排其余4人，有種不同排法，甲乙兩人再插空，有種，故共有種不同排法.(3)甲、乙相鄰，且甲、乙均不與丙相鄰，則甲乙捆綁在一起，有種排法，先排列其余3人，有種，甲乙與丙再插空，有種排法，故共有種不同排法.6.答案：(1)576(2)144(3)960解析：(1)先將4名女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，再與3名男生進(jìn)行排列，共有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；(2)先將3名男生排好，共有種排法，在這3名男生中間以及兩邊的4個空位中插入4名女生，共有種排法，再由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；(3)先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，由于甲乙相鄰，則有種排法，最后將排好的甲乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空隙中，共有種排法，由分步計數(shù)原理，共有種排法.7.答案：(1)84(2)24(3)64解析：(1)從9件產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品共有種；(2)從9件產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品，其中一等品、二等品、三等品各1件有種；(3)“抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品”的對立事件是“抽取的3件產(chǎn)品沒有一件二等品”，因此抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品共有種.8.答案：(1)；(2)分布列見解析，解析：（1）記“至少取到2個黑球”，事件A包含：①取到2個黑球，1個紅球或藍(lán)球；②取到3個黑球.所以，故至少取到2個黑球的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5.即取到2個紅球，1個藍(lán)球，則；即取到1個紅球，2個藍(lán)球，或取到2個紅球，1個黑球，則；即取到1個紅球，1個藍(lán)球，1個黑球，則；即取到1個紅球，2個黑球，或取到2個藍(lán)球，1個黑球，則；即取到1個藍(lán)球，2個黑球，則；即取到3個黑球，則.所以的分布列為X012345P所以.9.答案：(1)-1(2)2304解析：(1)因為的二項展開式中前三項的二項式系數(shù)的和為46，所以，即，，解得或（舍）.令，則，所以展開式中所有項的系數(shù)的和為-1.(2)由(1)知二項式為，所以二項展開式的通項為，，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為.10.答案：(1)，；(2)解析：（1）設(shè)甲、乙、丙家庭回答正確分別為事件A、B、C，根據(jù)題意，則有，則，又，所以，即，又，所以.所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為和.（2）設(shè)甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題為事件D，則有，所以甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率為.11.答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為.若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝).故（2）設(shè)事件B為“甲獲勝”.若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時的概率.若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝).此時的概率.若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情況：(勝，平，平，勝)，(平，勝，平，勝)，(平，平，勝，勝)，(勝，平，負(fù)，勝)，(勝，負(fù)，平，勝)，(平，勝，負(fù)，勝)，(負(fù)，勝，平，勝)，(平，負(fù)，勝，勝)，(負(fù)，平，勝，勝).此時的概率若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則乙的積分為0分，總共有4種情況：(勝，平，平，平)，(平，勝，平，平)，(平，平，勝，平)，(平，平，平，勝).此時的概率，故12.答案：（1）甲贏得比賽的概率大（2）解析：（1）設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，，“乙贏得比賽”，.因為，所以甲贏得比賽的概率大.（2）設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，由（1）知，，所以甲贏得比賽且乙沒贏得比賽的概率為.13.答案：(1)，；(2)解析：（1）設(shè){甲