2023年高考數(shù)學一輪復習（全國版文） 第4章 §47 正弦定理、余弦定理

§4.7正弦定理、余弦定理

【考試要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單

的三角形度量問題.

■落實主干知識

【知識梳理】

I.正弦定理與余弦定理

定理正弦定理余弦定理

。2=6+修一23CCOSA；

.=上=3=2/?

內容尼=c2+°2-2c4cos8：

sinAsinBsinC

。=42+1—'々AosC

(l)a=2RsinA,

l=22sinB,分+c2-

cosA—2bc；

c=2/?sinC；

/+蘇一力2

變形(2)asinB=bs\nA,COSB-加：

方sinC=csinB,a24-^2—c2

cose-

asinC=csinA2ab

2.三角形中常用的面積公式

(1)5=棗也(心表示邊a上的高)；

(2)S=；absinC=；acsinB=^bcsinA；

(3)S=；r(a+A+c)(r為三角形的內切圓半徑).

【常用結論】

在△A8C中，常有以下結論：

(1)NA+N8+NC=TT.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)a>爾，QBOsinA>sinB,cosA<cosB.

A+BCA+

(4)sin(A+5)=sinC；cos(A+fi)=~cosC：tan(A+B)=-tanC；sin-"=cosy；cos-y

sinf

(5)三角形中的射影定理

在△4BC中，a=bcosC+ccosB：b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比.(X)

(2)在△A5C中，若sinA>sinB,A>B.(J)

(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.(X)

(4)當攵+/—〃>0時，/XABC為銳角三角形.(X)

【教材改編題】

1.在△ABC中，48=5,AC=3,BC=7,則NBAC等于()

n八兀

A6B3

-2兒?5兀

CTD.y

答案c

解析因為在ZVIBC中，

設4B=c=5,AC=b=3,BC=a=l,

所以由余弦定理得

一+」一岸9+25-491

cosNB4C=-詆-=-=一2,

因為N84C為5c的內角，

所以N8AC=爭.

2.在△ABC中，若4=60。，°=46，b=4吸,則6=.

答案450

解析由正弦定理知癮=磊，

加inA4淄X號小

則sinB=^~=^^~=2?

又cob,則A>3,所以8為銳角，故8=45。.

3.在△ABC中，a=2,b=3,C=60°,則c=,△A8C的面積=

答案巾乎

解析易知

△ABC的面積等于Sx2X3X^=歲.

■探究核心題型

題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1(12分)(2021?新高考全國I)汜△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知〃=

ac,點、D在邊AC.E,BDsinZABC=as\nC.

(1)證明：3。=〃,?［切入點：角轉化為邊］

(2)若AO=2OC,求cos/ABC［關鍵點：N8D4和/BOC互補］

思路分析由定理邊角轉化一用6表示ADQC-求出角的余弦一由條件列等式一對解進行討論一結論

答題得分模板規(guī)范答題不丟分

(1)證明由正弦定理知.____〃=____L____=2R

sinABCsinZ^ACB'

..b=2RsinZ-ABC,c=2Rsin4ACS,?［2分］?-①處邊角進行轉化

vb2=ac,/.b?2RsinZ.ABC=a,2RsinZ.ACB,

即〃sinZ.A8C=asinC,②3分］<②處尋求與條件的聯(lián)系

/BDs\nLABC=asinC./.BD=b.［5分］

(2)解由(1)知8O=b,.AD=2OC,..Aojb,OC=",③［6分卜③處用b表示AO.DC

在aAB。中，由余弦定理知，

/停)-2④!

13分-9〃

-=歿也叨3④處用余弦定理表示48OA

2BD?AD2b?梟12〃1

在△C8。中，由余弦定理知，

：分］

BD2+CD2-BC2=［7

cosZ.BDC=

6爐

2BD?CD2b

?J

Z.BDA+LBDC=ir,cosLBDA+。05/.8。。=0.(5；［8分］?⑤處利用兩角關系列式

13b2-9c210Z>2-9a2

即=0,得1162=3"+6”2,

12b26b2

〃=ac,J.3"-1lac+6a2=0,c=3a或c='a$［10分］?--⑥處解出兩種情況

在△A8C中,由余弦定理知,cos乙A8C=a"：5

2ac2ac

當c=3a時，cosZ.A8C=g>l(舍)；⑦⑦處對各種情況討論

6

當c］”時.cosZ-ABC=-^r;

?11/

綜上所述，cos/A8C=§"［12分］，⑧處給出結論

【高考改編】

在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知加inC+asinA=bsinB+csinC.

⑴求A;

(2)設。是線段8C的中點，若c=2,>40=713,求4

解(1)根據(jù)正弦定理，

由Z>sinC+asinA=6sinB+csinC,

可得歷+。2=從+〃，

212

即bc=b+c-at

岳+/一/1

由余弦定理可得，cos4=；人=果

因為A為三角形內角，

所以4=].

(2)因為O是線段8c的中點，c=2,AO=，13,

所以N4QB+ZADC=n,

則cosZ4D5+cosZ4DC=0,

心十協(xié)一十談心+0c2-3

所以2ADBD-+2ADDC-=°'

22

13+彳a一2?13+a彳一按

即---------+----------=0,

2-713-22-\fi3-2

整理得出=2/>2—44,

又理=/+/—2/?ccos4=〃+4—2仇

所以拄+4—2。=2乂-44,

解得力=6或8=一8(舍)，

因此岸=26-44=28,

所以4=2巾.

思維升華解三角形問題的技巧

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理：如果式子中含

有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理

都有可能用到.

(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解?是唯一的；已知兩邊

和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進

行判斷.

跟蹤訓練1(2021?北京)已知在△4BC中，c=2bcosB,C=y.

⑴求5的大??；

(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求出8C邊上的中線

的長度.

①②周長為4+2??；③面積為8c=乎.

解(l)：c=2Aos6,

則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

sin2B=sin,=當，?:C=專，

???B￡(0,28￡(0,空)，

/.2B=^,解得3=聿.

(2)若選擇①：由正弦定理結合(1)可得

近

￡=皿=2=小

bsin5\_3，

2

與。=0匕才盾，故這樣的△ABC不存在;

若選擇②：由⑴可得A=/

設AABC的外接圓半徑為R,

則由正弦定理可得a=b=2Rsin*=凡

27r

c=2Rsin￡=小/?,

則周長為a+b+c=2R+，5R=4+2小，

解得R=2,則。=2,c=2小，

由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為

若選擇③：由⑴可得A=，即〃=瓦

2

則SAA8c=%bsinC=pX^=-^,

解得a=y[3,

則由余弦定理可得8C邊上的中線的長度為

題型二正弦定理、余弦定理的簡單應用

命題點1三角形形狀判斷

例2在△ABC中，望=sii?笈b,c分別為角A,B,C的對邊)，則△48C的形狀為()

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由cos1—2sin2-2，

.B1—COSB

7(導sin222，

所以就=匕誓，

即cos

+^2-6a

方法一由余弦定理得2：=3

即〃+/—尻=勿2,

所以屋+拄=。2.所以△ASC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=黑，

又sin4=sin(8+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosfisinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin8WO,

所以cosC=0,又角C為三角形的內角，

所以C==,所以△45C為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

延伸探究將“與望=sin號”改為“鬻=￡(b+c+a)(b+c-a)=3加"，試判斷△ABC的

/c/sinAJC

形狀.

解因為

所以稱=務所以b=C.

又S+c+〃)(b+c—a)=3bc,

212

所以b+c—a=bcf

所以cos4--荻一一詆一下

因為4￡(0,兀)，所以A=1,

所以△ABC是等邊三角形.

思維升華判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應用A

+B+C=?r這個結論.

命題點2三角形的面積

例3(2022?滄州模擬)在①sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列；②a：力：c=4：3：2；③AosA

=1這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積

的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a(sinA-sinB)+/?sin

B=csinC,c=L?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解因為。(sinA-sinB)+bsin8=csinC,

由正弦定理得4(4一力)+從=/,

即屋+力2—/=Q6

2

匕匕八？八二+加一C1

所以cosC=2ab=2,

又C￡(0,71),

所以c=$

選擇①：

因為sin4,sinC,sinB成等差數(shù)列，

所以sin4+sin8=2sinC,即a+b=2c=2,

由a2-^-b2-c1=a1+b1—1=ab,

得(a+b)2—3ab=l,所以ab=1,

故存在滿足題意的△ABC,

Sz^Bc=2^sinC=5X1Xsin

選擇②：

因為a：b：c=4：3：2,

所以A>B>C=^,

這與A+6+C—兀矛盾，所以6c不存在.

選擇③：

因為bcosA=l,

―按+1一4

所以"蘇=]，

得b2=\+a2=c2-^a2,

所以B=],此時△ABC存在.

又C=：,所以A哼

所以4=1乂匕吟=乎，

所以S^ABC=2^C=~^.

思維升華三角形面積公式的應用原則

(1)對于面積公式S=；absinC=^acsinB=^bcs\nAt一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.

(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化.

命題點3與平面幾何有關的問題

例4如圖，在平面四邊形ABCO中，已知4=看8=與，AB=6.在四邊上取點E,使得

BE=\f連接EC,ED.若NCED=3,EC=yp.

BEA

⑴求sin/BCE的值；

⑵求CO的長.

解（1）在△BEC中，由正弦定理,

今BECE

知sin/8CE=^T^

VB=y,BE=\yCE=巾,

亞L

..-sin82舊

..sinZBCE-CE一幣-i4?

（2Y：ZCED=B=y,

:?/DEA=NBCE,

/.cosZDEA=AJ1—sin2ZDE4

=3-sin?NBCE=N1-&

???△AE￡＞為直角三角形，又AE=5,

'ED=cos方以=盍=2幣.

在ACED中，

CD2=CE2+OE2—2CEDEcosZCED

=7+28-2義巾X2市X(-$49.

：.CD=1.

思維升華平面幾何圖膨中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題，

通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題

時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再

利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.

跟蹤訓練2(1)在△ABC中，內角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,若c-acos8=(2?—

份cosA,則△ABC的形狀為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

答案D

解析因為c—acos8=(%一6)cos4,

C=L(A+5),

所以由正弦定理得sinC-sinAcosB

=2sinAcosA—sin8cosA,

所以sinAcosB+cosAsin8—sinAcosB

=2sinAcos4—sinBcosA,

所以cosA(sinB—sinA)=0,

所以cosA=0或sin8=sinA,

所以A=1或B=A或B=TC—A(舍去),

所以△ABC為等腰或直角三角形.

2

(2)(2022?鄭州模擬)如圖，在AABC中，AB=9,cosB=§,點。在5C邊上，入。=7,ZADB

為銳角.

①求BD；

②若NBAO=ND4C,求sinC的值及CO的長.

解①在△45。中，由余弦定理得

AB2^-BD2-2ABBDcos

整理得fiZ)2-12SD+32=0,

所以8。=8或80=4.

16+49-812

當BD—4時，cos/AOB

2X4X7T

則NAO時，不符合題意，舍去;

644-49-812

當BD=8時，cosZADB=

2X8X7T

則NAOBg,符合題意，所以87)=8.

②在△ABO中，

"2+AD2-3D2

cosZBAD=2ABAD

92+72—8211

―2X9X7=亓

所以sinZBAD=^|^,

又sinZ.ADB=^~^~y

所以sinC=sin(ZADB-ZCAD)

=sin(ZADB-ZBAD)

=sinZADBcosZBAD—cosNAOBsinNBA。

3小、」12、,8小17^/5

=7X2i-7X21=147，

在48中，由正弦定理得

即但給MC但在又好答

147

課時精練

E基礎保分練

辟十房一/

1.AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若AABC的面積為---------,則C等于（）

兀c兀

A2B3

C.47D76

答案C

解析根據(jù)題意及三角形的面積公式知

1,.a*12-\-b2—c2

2〃0sinC4，

4+從一d

所以sinC=---2^---=cosC,

所以在△ABC中，C=：.

2.（2022?北京西城區(qū)模擬）在△ABC中，C=60。，a+2b=8,sinA=6sinB,則c等于（）

A.^35B.^/31C.6D.5

答案B

解析因為sin4=6sinB,

由正弦定理可得a=6b,

又a+26=8,所以。=6,b=1,

因為C=60。，

所以c2=a2+Z?2—2abcosC,

即C2=62+12-2X1X6XI

解得c=，5T.

3.已知△ABC的內角A,B,。對應的邊分別為a,b,c,a=4,cos2A=一女，則△ABC

外接圓半徑為（）

53

A.5B.3C，2D，2

答案C

7

解析因為cos2A=一天,

7

所以1—2sin2A=一后,

/J

解得sin4=?，

因為A￡（0,兀），

4

-

5

a4

-5

nA-4-

si-

5

所以R=y

4.（2022?河南九師聯(lián)盟聯(lián)考）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2b,sin2A

—3sin2B—^sinAsinC,則角C等于（）

it「兀

A6B-3

_71c2兀

C-2DT

答案B

解析Vsin2A—3sin2B=2sinAsinC,

22

由正弦定理可得a—3b=^act

??Z=2b,

a2——3h2=^a2b=ah,

由余弦定理可得

/+力—2/。2-3力2|

cosC=

~五-=~2^b~=2f

V0<C<Jt,AC=1.

5.（2022?濟南模擬）在△ABC中，帝A,B,C的對邊分別為小b,c,2戾in4=，^acosB,AB

=2,AC=2#,。為BC的中點，E為AC上的點，且8E為/48C的角平分線，下列結論

正確的是（）

A.cos/8AC=—乎B.S^BC=3小

C.BE=2D.AD=2y[5

答案A

解析由正弦定理可知

2sinBsinA=y[5s\nAcosB,

???sinAHO,

2sinB=-\/5cosB.

又sin2B+cos2B=1,

療D

/.sin5=,cos8=’，

在△ABC中，

AG=A82+叱-24B8CcosB,

得BC=6.

A項,

4+24-36

cosZBAC=2ABAC

-2X2X2V6

=一乎，故A正確;

B項，Sa8c=：48BCsinB=Tx2X6X雪=2小，故B錯誤;

ApAR1

c項，由角平分線性質可知等=篋=],

??AE—2.

BE2=AB24-Afi2-2ABAEcosA

=4+》X2X乎X（邛）弋

；?BE=等,故C錯誤；

D項，在△A8O中，

AD2=AB2+BD2~2ABBDcosB

=4+9-2X2X3x|=5,

:,AD=?故D錯誤.

6.（2022?張家口質檢）下列命題中，不正確的是（）

A.在△ABC中，A>B,則sinA>sin8

B.在銳角5c中，不等式sin4>cosB恒成立

C.在△A8C中，若〃cosA=AosB,則△ABC必是等腰直角三角形

D.在△4BC中，若8=60。，b2=ac,則△ABC必是等邊三角形

答案C

解析對于A,由A>8,可得a>瓦

利用正弦定理可得sinA>sin8,正確;

對于B,在銳角△ABC中，A,8￡(0,

：A+轉,

sinA>sin（^—B^=cosB,

工不等式sinA>cos8恒成立，正確;

對于C,在△ABC中，由acosA=〃cos8,

利用正弦定理可得sinAcosA=sin8cos8,

sin2A=sin28,

VA,3u（0,兀），

，2A=28或24=五一2B,

,.A=B或A+B=，，

???△ABC是等腰三角形或直角三角形，

???是假命題，錯誤；

對于D,由8=60°,b2=ac>

利用余弦定理可得l7=ac=a1+c1—ac,

可得(a—c)2=0,解得a=c,

可得A=C=B=60。，故正確.

7.(2022?許昌質檢)已知△A8C的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且方=3,

月=李人必入叱的面積為.

答案呼

解析由余弦定理得。2=護+/—2bccos4,

?；b=3,a—c=2t4=專，

解得c=5,

則△ABC的面積為

S=；bcsinA=gx3X5X乎

8.（2021.全國乙卷）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為由，8=60。,

〃+/=3。。，則b=.

答案2V5

解析由題意得SzsA8C=*csinB=*ac=小,

則ac=4,

所以。2+/=3加=3義4=12,

所以b2=a2+c2—2accosB=12—2X4X^=8,

則6=2啦（負值舍去）.

9.（2022?南平模擬）在①2eos8=2a—Zb②△ABC的面積為坐（標十52一好），③cc^A—cos2c

=sin25—sinAsinB,這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.（如果選擇

多個條件作答，則按所詵的第一個條件給分）

已知5c的內角4,B,C所對的邊分別是小b,a且.

⑴求角C的大??；

（2）若c=2且4sinAsin8=3,求△ABC的面積.

解（1）若選條件①2ccosB=2a-b,

…〃+/一拄

則2c.2"="b.

即c^-^b2—c2=ab,所以cosC=l,

又因為C￡（0,Ji）,所以。=生

若選條件②AABC的面積為坐（標+〃一/）,

則坐（標+按一c2）=5bsinC,

即sinC=*\/3cosC,

所以tanC=y[3,

又因為C￡（0,兀），

所以。=全

若選條件③cos?4—cos2C=sin2B—sinAsinB,

則（1—siMA）—（1—sin2Q=sin2B—sinAsinB,

即sin2A+sin2B—sin2C=sinAsinB,

即cP+b?—d=ab,

所以cosC=1,

又因為C￡(0,北),所以為=字

(2)因為c=2,

所以‘一=」一==一=，一=<-

mkAsinA~sinB~sinC~.兀一S'

s,n3

所以sinA=^a,sinB=~^bt

又因為4sinAsinB=3,所以ab=4,

△ABC的面積為ga加inC=小.

10.(2022?湘攜聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在△48C中，N5=60。，AB=8,AD=7,點。在上,

r1

且cosZADC=ij.

⑴求BDx

⑵若85/。4。=彳A，求△ABC的面積.

解(1)VcosZADB=cos(7t—AADC)

=—cosZADC=—j.

在△ABD中，由余弦定理得

82-5D2+72-25D7COSZADB,

解得BD=3或40=—5(舍).

(2)由已知sin/AOC=^^,sinZCAD=^,

4sA/31113

sinC=sin(ZADC+ZCAD)=_72_X^-4--XZ=VT-

I乙1乙I今

由正弦定理得

1

ADsinZCAD7X249

CD=~^Tc-=_ir=l3,

14

49_88

，8C=3+B=13,

E技能提升練

11.在△ABC中，三個內角A,B,C的對邊分別為小b,c,若△ABC的面積為S,且4s

=3+4—/,則$足e+0等于（）

A.1B.一坐

C坐D坐

答案C

解析因為S=^absinC,

/+抉一C2

cosC=

2ab

所以2S=absinC,a2-\~h2—c2=2ahcosC.

又4s=3+8）2—/=屋+62一^+2時,

所以2absinC=2abcosC+2ab.

因為abWO,所以sinC=cosC+L

因為sin2C+cos2C=1,

所以（cosC+l）2+cos2C=l,

解得cosC=-1（舍去）或cosC=0,

所以sinC=1,

則sine+0=￥（sinC+cosC）=乎.

12.（2022?焦作模擬）在AASC"中，內角A,B,C的對邊a,b,c依次成等差數(shù)列，ZVISC

的周長為15,且（sinA+sinSA+cos2c=l+sinAsin3,則cos8等于（）

13cU

A14B14

C.JD.-1

答案B

解析因為（sinA+sinBA+COS?。

=l+sinAsinB,

所以sin24+sin2B4-2sinAsin8+1—sin2C

=l+sinAsinB,

所以由正弦定理得標+分一/=一仍,

又a,b,。依次成等差數(shù)列，△ABC的周長為15,

即。+c=2A,a+b+c=15,

*+扶一/=一々兒

由"a+c=2b,

a+b+c=15,

a=3,

解得?b=5,

6=7.

屏+〃一/32+72-52]]

COSB=_2ac-=2X3X7=U'

13.（2022?開封模擬）在平面四邊形A8CO中，BCLCD,ZB=y,AB=3巾,AD=2y[10,

若AC=次后，則CO為.

答案1或5

解析因為在△48C中，/8=竽，AB=3yf2f

AC=3小，

由正弦定理可4

x應

?/“R".sinB32小

所以smN4C4—AC一3小一5，

又BCtCD,所以NAC8與NACZ）互余，

因此cosN4C￡>=sin/ACB=坐，

在△ACO中，AD=2yflO