2023年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6講：函數(shù)的概念及其表示

2023年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6講：函數(shù)的概念及其表示

【教材回扣】

1.函數(shù)的概念

(1)A,3是兩個(gè).

(2)對(duì)于A中的一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f在8中都有

的數(shù))，和它對(duì)應(yīng).

(3)的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域.

(4)函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.

2.函數(shù)的三種常用表示法：、、列表法.

3.分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x取值的不同區(qū)間，有不同的,

這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段定義域的,值域是各段值域

的.

【題組練透】

題組一判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“x”)

1.若4=11,8={小>0},/：X一丁=㈤，其對(duì)應(yīng)是從A到8的函數(shù).()

2.對(duì)于函數(shù)/：A-8,其底域就是集合5.()

3.若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等.()

4.函數(shù)y=/(x)的圖象可以是一條封閉的曲線.()

題組二教材改編

1.下列函數(shù)火力與g(x)是同一個(gè)函數(shù)的是()

X2

A.J(x)=x-\,g(x)=~\

B.,g(x)=(、6)4

c.y(x)=x2,g(x)=47

D.J(x)=x,g(x)=Q

2.(多選題)下列函數(shù)的自變量范圍表述正確的是()

A.4幻=營(yíng)J(x#4)

B./(x)—

C..%)=.—；(+2(沖1且xN2)

D..x)=烏:(%W4)

(x+l)2,xW—1,

3.已知函數(shù)外)=—+1，—1<XW0,則用(-2))=.

。+1)2,x>0,

題組三易錯(cuò)自糾

1.已知函數(shù)?r)=**若4。)+41)=0,則實(shí)數(shù)。的值等于()

1,xWO,

A.—3B.—1C.-1或一3D.3

2.函數(shù)?屈5的定義域是______.

3.函數(shù)y=#+后M的值域是.

第1頁(yè)共9頁(yè)

⑥題型講解

題型一求函數(shù)的定義域

[例1]求下列函數(shù)的定義域：

⑴產(chǎn)也十^/^;

(2)y=-Iog2（4—X2）.

[聽(tīng)課記錄](méi)

類題通法

(1)給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域的依據(jù)是使解析式有意義，如分式的分母不等

于零，偶次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，零指數(shù)解的底數(shù)不為零，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零且底數(shù)為

不等于1的正數(shù)等.

(2)求函數(shù)的定義域往往歸結(jié)為解不等式組的問(wèn)題.在解不等式組時(shí)要細(xì)心，取交集時(shí)

可借助數(shù)軸，并且要注意端點(diǎn)值或邊界值.

鞏固訓(xùn)練1：(1)函數(shù)4x)=d—f+9x+10-]Mx_i)的定義域?yàn)?)

A.[1,10]B.[l,2)U(2,10]

C.(1,10]D.(l,2)U(2,10]

(2)函數(shù)共幻=4+111%的定義域是.題型二求函數(shù)的解析式

角度-三||利用待定系數(shù)法求解析我

[例2](1)已知一次函數(shù)兀0滿足火/(x))=4x+6,則九I)的解析式為.

(2)已知二次函數(shù)./(x)滿足10)=1,>/(1)=2,./(2)=5,則該二次函數(shù)的解析式為.

[聽(tīng)課記錄](méi)

類題通法

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的技巧

若已知函數(shù)類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法求解，例如，二次函數(shù)可

設(shè)為40=加+云+，3工0),其中a,b,c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出

a,b,c即可.

鞏固訓(xùn)練2：已知貝x)是二次函數(shù)且直0)=2,兀i+l)-/U)=x-l,則火x)=

角度-三||利用換元法求函數(shù)的解病]

[例3](1)已知人而+1)=X+2、/L則氏r)的解析式為.

第2頁(yè)共9頁(yè)

(2)已知函數(shù)/(x+D^-Zr,則兀i)的解析式為

［聽(tīng)課記錄］

類題通法

換元法求函數(shù)解析式的技巧

主要解決已知復(fù)合函數(shù)遂以初的解析式求解函數(shù)代v)的解析式的問(wèn)題，先令g(x)="解

出凡即用I表示x,然后代入大式工))中即可求得大。，從而求得式x).要注意新元的取值范

圍.

鞏固訓(xùn)練3：若0=舌，則當(dāng)xWO,且時(shí)，犬x)等于()

角度-二|國(guó)詢呈組法求函數(shù)解麻

［例4］(1)已知函數(shù)九I)滿足或%)+次3=x,則函數(shù)4幻的解析式為

(2)已知次r)+y(一勸=加，其中aH±l,則函數(shù)凡r)的解析式為.

［聽(tīng)課記錄］

類題通法

方程組法求解函數(shù)解析式的技巧

已知人幻滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除人處是未知量外，還有其他未知量，如O,犬一X)

等，可令“為士一x等，得到另一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求出於).此外，也可利用賦予特

殊值的方法求出這個(gè)等式中的有關(guān)量，從而求得大X).在求解過(guò)程中注意分類討論與整合、

等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸等教學(xué)思想的靈活應(yīng)用.

鞏固訓(xùn)練4：若7W對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有"幻一賀一幻=5工+1,則yu)=.

題型三分段函數(shù)高頻考點(diǎn)

角度||分段函數(shù)求值

［3x4-1?x<2t2

［例5］(1)(一題兩空)已知函數(shù)危)=若火/「))=一6,則實(shí)數(shù)a的值為

(AICLX,X22,，

，12)=.

co券，xWO,

(2)已知凡6=12則人2)=.

、/(x—1)+1,x>0,

［聽(tīng)課記錄］

類題通法

在求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),一定要先判斷自變量屬于定義域的哪個(gè)子集,再代入相應(yīng)的

第3頁(yè)共9頁(yè)

關(guān)系式.若涉及復(fù)合函藪求值，則從內(nèi)到外逐層計(jì)算，當(dāng)自變量的值不確定時(shí)，要分類討論.

［1+1。&2(2—x).r<1.

鞏固訓(xùn)練5：設(shè)函數(shù)?r)=,則4-2)+川og212)=()

⑵,,后1,

A.3B.6

C.9D.12

角度||分段函數(shù)與不標(biāo)］

f2\xWO,1

［例6］設(shè)函數(shù)段)=",八則使於層的工的集合為_(kāi)________________.

l|log2X|，X>0,N

［聽(tīng)課記錄I

lofftr,x>0i

變式探究：將本例中的條件改為“4x)=J叼，且五砂片”，則實(shí)數(shù)。的取值

(2\x<0

范圍是.

類題通法

解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式，從而求得自變量或參數(shù)的取值(范圍)時(shí)，應(yīng)根據(jù)每

一段的解析式分別求解，解得值(范圍)后一定要檢驗(yàn)其是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

fj—2,

鞏固訓(xùn)練6：已知函數(shù)yu)=二八則不等式M/U-DVIO的解集是

I—2,x<2,

［預(yù)測(cè)1］核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象

如圖為一木制框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別是x,M單位：m)的矩形，上部是等腰直角

三角形，要求框架圍成的總面積為4m2,若用x表示y的表達(dá)式為_(kāi)/U),則兀0的解析式為

［預(yù)測(cè)2］新題型——一題兩空

2

xd----3,

已知函數(shù)X則歡-3))=,?r)的最小值是

.IgCr+l),x<l,

狀元筆記

一、抽象函數(shù)的定義域

求抽象函數(shù)的定義域必須明確以下幾點(diǎn):

第4頁(yè)共9頁(yè)

(1)函數(shù)f(x)的定義域是指X的取值范圍所組成的集合.

(2)函數(shù)f((p(x))的定義域是指x的取值范圍，而不是<p(x)的取值范圍.

(3)f(t),f((p(x)),f(h(x))=.個(gè)函數(shù)中的t.(p(x),h(x)在對(duì)應(yīng)關(guān)系f下的范闈相同.

(4)已知f(x)的定義域?yàn)锳,求f((p(x))的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知(p(x)的取值范圍為A,求

出x的取值范圍.

(5)已知f((p(x))的定義域?yàn)锽,求f(x)的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知f((p(x))中的x的取值范圍

為B,求出(p(x)的取值范圍(值域)，此取值范圍就是f(x)的定義域.

［典例1］(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一1,2),則函數(shù)f(2x+l)的定義域?yàn)?

(2)若函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?一1,2),則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?

(3)若函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?一1,2),則函數(shù)f(x—1)的定義域?yàn)開(kāi)_______.

【解析】⑴由一l<2x+l<2,得一，f(2x+l)的定義域?yàn)?一1,

(2)V-l<x<2,.,.-l<2x+l<5,；?f(x)的定義域?yàn)?一1,5).

(3)由f(2x+l)的定義域?yàn)?一1,2),得f(x)的定義域?yàn)?-1,5),由一1VX—K5得(Kxv6,

???f(x—l)的定義域?yàn)?0,6).

【答案】(1)(一1，號(hào)⑵(T，5)(3)(0,6)

二、抽象函數(shù)的解析式

當(dāng)所給的函數(shù)中含有兩個(gè)變量時(shí)，可對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入，或使這兩個(gè)變量

相等代入，再根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式.具體取什么特殊值，要根據(jù)題目特征而定.

［典例2］設(shè)f(x)是R上的函數(shù)，且滿足區(qū)0)=1,并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有人x-y)

=/(x)-><2x-y+l),則危)的解析式為.

【解析】方法一由已知條件得?0)=1,

又4工一力=/)一可級(jí)一y+1),

設(shè)丁=占則於一)，)=<0)=yU)-x(2x-x+l),

所以兀+x+L

方法二令％=0,得<0—〉)=/(0)一)(一丁+1),

則/(—y)=扁"—y用工代換，

得1上)=/+%+1.

【客案】y(x)=x24-x+1

第5頁(yè)共9頁(yè)

2023年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6講：函數(shù)的概念及其表示答

案

［教材回扣］

□非空實(shí)數(shù)集E任意□唯一確定

SxS解析法0圖象法0對(duì)應(yīng)關(guān)系

國(guó)并集回并集

［題組練透］

題組一

1.X2.x3.x4.X

題組二

1.解析：A中，f(x)定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|xW0},定義域不同，，/(工)

與g(x)不是同一函數(shù)；B中，定義域?yàn)镽,gQ)定義域?yàn)閧加20},定義域不同，

.*./(,X)與g(x)不是同一函數(shù)；C中，f(%)與g(x)定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，；j(x)

與g(x)是同一函數(shù)；D中，f(x)與g(x)定義域都是R,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，???/(外與

gQ)不是同一函數(shù).故選C.

答案：C

2.解析：A正確；B中，xGR,B錯(cuò)；C中，f-3x+2W0,解得且xW2,C正

4—x20,

確；D中，彳口八解得xW4且燈勺，口錯(cuò)?

X—1W0,

答案：AC

3.解析：?"(-2)=(-2+1)2=1

/./(/(-2))=/(1)=(1+1)2=4.

答案：4

題組三

I.解析：."(a)+f(1)=0,?"(〃)=-/(1)=一2,

當(dāng)〃>0時(shí)，2。=一2,：,a=-\(舍去)，

當(dāng)aWO時(shí)，。+1=—2,?'?a=-3.故選A.

答案：A

x—220.

2.解析：由題意知???x22.故函數(shù)的定義域是［2,+8).

A+2^0,

答案：［2,+8)

3.解析：令，=正幣,貝！，20,且4=三一.

尸一11.

故尸2(/+1)1,/E［0,+0°).

:.函數(shù)y=x+、2x+l的值域?yàn)椋垡?+8).

答案：+8)

課堂題型講解

題型一

第6頁(yè)共9頁(yè)

2一|才#0,

例1解析：(1)由

f-120,

人#±2,

得所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xW—1或且xH±2}.

xW—1或

1

(2)由<得一2<工<0或1Wx<2.

x#0,

、4一/>0.

???函數(shù)的定義域?yàn)?-2,0)U[l,2).

一1+9%+1020,—10W1O,

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由，InGT)WO,得一#2,

1>0,x>\,

???1<XW10且xW2.

???定義域?yàn)?1,2)U(2,10],故選D.

x+1WO,

(2)函數(shù)/(x)=幣+lnx的自變量滿足

x>0,

?二。0,即定義域?yàn)?0,+°°).

答案：(1)D(2)(0,+0°)

題型二

例2解析：(1)設(shè)f(x)=ax^b(aWO),

則f(/(x))=/(or+力)=a(oH~b)+b=crx-^ab-\-b=4x-^(i,

6Z2=4,a=2,

于是有解得b=2,或

ab+b=6,b=~6.

所以/(x)=2x+2或/(x)=-2A—6.

(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為/(x)=渥+云+。(aNO),

c=\,a=l,

由題意得a+力+c=2,解得1b=0,

、4a+2b+c=5,k=l,

故f(x)=f+1.

答案：(l)/(x)=2x+2或f(x)=-2x-6(2)/(x)=f+1

鞏固訓(xùn)練2解析：設(shè)f(x)=aF+bx+c(aWO),

由f(0)=2,得c=2,

f(x+1)—f(x)=a(x+1)-~\~b(x+1)+2—ar—Z>A—2=x—1,即2ar+a+b=x

-1,

2a=1,

即

a+b=-1,人=-|.

:J(x)=3A2-x+2.

答案：IX2—1x+2

例3解析：(1)方法一(換元法)令，=m+1,則*=(r—1)2,疹1,所以/⑺

=(/-I)2+2(/-I)=~-1(。1),

所以函數(shù)的解析式為f(x)=f—I(彳21).

方法二(配湊法)f+1)=x-\~2y[x=x+2y[x+1—1=(A/X+1)2—1.

因?yàn)?+121,所以函數(shù)的解析式為/Xx)=f-1(x21).

(2)方法一(換元法)令x+l=1，則X=L1,l￡R,

第7頁(yè)共9頁(yè)

所以f(f)=(r-1)2—2(z-l)=-一4/+3,即f(x)=/—4x+3.

方法二(配湊法)因?yàn)閒—2x=(f+2x+l)-(4x+4)+3=(x+1)2—4(x+1)

+3.

所以/(x+1)=(x+1)2-4(x+l)+3,即/(x)=f-4x+3.

答案：(l)/(x)=x2-1(x21)(2)f(x)=f—4x+3.

鞏固訓(xùn)練3解析：令:=z,則

1

:.f(/)=—eo且F#I)

-7

???/(x)=」7awo且e).

JX—1

答案：B

例4解析：(1)在已知等式中，將工換成:,得)+2f(x)=：,與已知方程

[f(X)+4?)=%，

聯(lián)立，得＜

匕/)+4。)=-

消去fC)?得/(x)=-f+..

(2)在原式中用一工替換k,得5(—x)+/(x)——bxy

曰/{af(x)+/(—X)=bx,

于延得，好*(—x)+/(x)=—bx,

消去了(一X),得f(x)=3.

故/(x)的解析式為/a)=￡y1，4r±1.

x2h

答案：(l)/(x)=一彳+4(2)/(x)=-x,a^±\

鞏固訓(xùn)練4解析：對(duì)Vx￡R恒有"(X)-2/-(-x)=5x+l①

所以有"(一幻-2f(x)=-5x4-1②

由①②解得f(x)=x+l.

答案：x+1

題型三

22

例5解析：(1)由題意得/(§)=3X-+1=3,

2

所以/(/(§))=/(3)=32+3?=-6,

所以°=-5,/(2)=4-5乂2=—6.

(2)/(2)=/(1)+1=/(0)+2=cos吟X0)+2=3.

答案：(1)—5—6(2)3

鞏固訓(xùn)練5解析：由題意知/(-2)=1+Iog2(2+2)=3.

-,

/(lo