2024-2025學(xué)年廣西南寧三中高三（上）適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣西南寧三中高三（上）適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=i(1?i)，則|z|=(

)A.2 B.2 C.5 D.2.若命題“?x∈R，x2+2x+3>m”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(?∞,2) B.[2,+∞) C.(?∞,2] D.(2,+∞)3.已知向量a,b滿足|a|=2,|a?2bA.1 B.22 C.34.以下命題為假命題的是(

)A.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1?1，2x2?1，2x3?1，2x4?1，2x5?1，2x6?1的方差為8

B.一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，5.動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng)，點(diǎn)M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)A.x2+y2=14 B.6.設(shè)函數(shù)f(x)=2sinπ6x+2ax,g(x)=a(x?2)2+8a，曲線y=f(x)與A.?1 B.0 C.23 D.7.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺(tái).已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，側(cè)棱與底面所成的角為π4，則該四棱臺(tái)的體積是(

)A.76 B.726 C.8.已知a，b∈R，f(x)=ex?ax+b，若f(x)≥1恒成立，則b?aaA.[0,+∞) B.[1,+∞) C.[?2,+∞) D.[?1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于函數(shù)f(x)=sin(12A.f(x)的最小正周期為π B.f(x)關(guān)于直線x=4π3對(duì)稱

C.f(x)在區(qū)間[4π3,8π10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)P到F和到y(tǒng)軸的距離分別為12和10，且點(diǎn)P位于第一象限，以線段PF為直徑的圓記為Ω，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.p=4

B.C的準(zhǔn)線方程為y=?2

C.圓Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?6)2+(y?25)2=36

D.若過(guò)點(diǎn)(0,25)，且與直線OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn)11.已知函數(shù)f(x)=esinx?cosx+eA.f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形 B.f(x)的圖像是軸對(duì)稱圖形

C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)存在最大值與最小值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2+a513.已知tanα，tanβ是方程x2?3x?3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，tan(2α+2β)=14.某盒中有12個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為1，2，?，12，從盒中任取3個(gè)球，記ξ為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，則隨機(jī)變量ξ=2的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c=2b，cosB+2cosC=0．

(1)求cosA；

(2)若D是邊AB上一點(diǎn)，AD=12DB，且CD=16.(本小題15分)

在平行四邊形ABCD中，∠D=60°，CD=1，AC=3.將△ABC沿AC翻折到△APC的位置，使得PD=5．

(1)證明；CD⊥平面APC；

(2)在線段AD上是否存在點(diǎn)M，使得二面角M?PC?A的余弦值為23917.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x+2a2x+alnx(a∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)x∈[e,+∞)時(shí)，曲線y=f(x)在x18.(本小題17分)

為防范火災(zāi)，對(duì)某倉(cāng)庫(kù)的滅火系統(tǒng)的3套噴淋裝置進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)各套裝置能正常工作的概率為34，且每套噴淋裝置能否正常工作是相互獨(dú)立的若有超過(guò)一半的噴淋裝置正常工作，則該倉(cāng)庫(kù)的滅火系統(tǒng)能正常工作，否則就需要維修．

(1)求該倉(cāng)庫(kù)滅火裝置正常工作的個(gè)數(shù)的均值與方差；

(2)系統(tǒng)需要維修的概率；

(3)為提高滅火系統(tǒng)正常工作的概率，在倉(cāng)庫(kù)內(nèi)增加兩套功能完全一樣的其他品牌的噴淋裝置，每套新噴淋裝置正常工作的概率為p(0<p<1)，且新增噴淋裝置后有超過(guò)一半的系統(tǒng)能正常工作，則滅火系統(tǒng)可以正常工作.問(wèn)：p滿足什么條件時(shí)可以提高整個(gè)滅火系統(tǒng)的正常工作概率？19.(本小題17分)

已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為33．

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l與E的右支及漸近線的交點(diǎn)自上而下依次為C、A、B、D，證明：|AC|=|BD|；

(3)求二元二次方程x2?3y2=1的正整數(shù)解Qn(xn,yn)(xn,yn,n∈N?)，可先找到初始解(參考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.B

8.D

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.63

13.24714.185515.解：(1)由cosB+2cosC=0，

由余弦定理可得：a2+c2?b22ac+2?a2+b2?c22ab=0，

將c=2b代入得，a2+4b2?b22a?2b+2?a2+b2?4b22ab=0，

化簡(jiǎn)得5a2=9b2，即a=35516.(1)證明：翻折前，在△ACD中，∠D=60°，AC=3,CD=1，

由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，

所以3sin60°=1sin∠CAD，即sin∠CAD=12，

又AC>CD，所以∠CAD=30°，

所以∠ACD=90°，即CD⊥AC，

因?yàn)镻D=5，PC=2，CD=1，所以PC2+CD2=PD2，即CD⊥PC，

又PC∩AC=C，AC、PC?平面APC，

所以CD⊥平面APC．

(2)解：由(1)知CD⊥平面APC，

因?yàn)镃D?平面ADC，所以平面ADC⊥平面APC，

在平行四邊形ABCD中，BA⊥AC，即PA⊥AC，

又平面ADC∩平面APC=AC，PA?平面APC，

所以PA⊥平面ADC，

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,3,1)，A(0,3,0)，

所以CP=(0,3,1)，AD=(1,?3,0)，CA=(0,3,0)，

設(shè)AM=λAD=λ(1,?3,0)=(λ,?3λ,0)，其中0≤λ≤1，

則CM=CA+AM=(0,3,0)+(λ,?3λ,0)=(λ,17.解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+2x+lnx，x>0，

所以f′(x)=1?2x2+1x，

所以f(1)=3，f′(1)=0，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=3；

(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+2a2x+alnx(a∈R)，

當(dāng)a≥0時(shí)，由x∈[e,+∞)有f(x)>0，故曲線y=f(x)在x軸的上方，

當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)=1?2a2x2+ax=(x?a)(x+2a)x2，

由f′(x)=0可得x=?2a或x=a

(舍去)，

所以當(dāng)x∈(0,?2a)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(?2a,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)?2a≤e，即?e2≤a<0時(shí)，所以f(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增，

則f(x)≥f(e)=e+2a2e+a=2e(a+e4)2+78e>0，即曲線18.解：記X為系統(tǒng)中可以正常工作的噴淋裝置的個(gè)數(shù)．

(1)因?yàn)楦魈籽b置能正常工作的概率為34，且每套噴淋裝置能否正常工作是相互獨(dú)立，

所以X～B(3,34)，

所以該倉(cāng)庫(kù)滅火裝置正常工作的個(gè)數(shù)的均值為E(X)=3×34=94，

方差D(X)=3×34×(1?34)=916；

(2)記事件A為“該倉(cāng)庫(kù)滅火系統(tǒng)需要維修”，

則P(A)=P(X=0)+P(X=1)=C30(1?34)3+C31(34)1(1?34)2=164+964=532．

所以系統(tǒng)需要維修的概率為532．

(3)記事件19.解：(1)由題意aba2+b2=332a=2c2=a2+b2，解得a2=1b2=12，

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2?y212=1；

(2)證明：由題意直線l