2024-2025學年江蘇省南通市海安市高三（上）開學數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南通市海安市高三（上）開學數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2>2x}，B={?2,0,1,3}，則A∩B=A.{?2,0,3} B.{?2,3} C.{0,3} D.{3}2.已知命題p：?x>0，3x>1，則￢p(

)A.?x>0，3x≤1 B.?x≤0，3x>1 C.?x>0，3x3.函數y=e?x,e?x≥lnxA.單調遞增 B.單調遞減 C.先增后減 D.先減后增4.已知函數f(x)=(x?1)2?1，則A.f(x?1)=f(1?x) B.f(x?1)=f(x+1)

C.f(1+x)=f(1?x) D.f(1+x)=?f(1?x)5.已知2m=3n=5A.3 B.6 C.8 D.6.設b，c∈R，函數f(x)=x+bx+c，則“關于x的不等式x2+bx+c>0的解集為R”是“f(x)>0A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分不必要7.已知直線y=ax+b與曲線y=x+1x相切，則2a+b的最大值為(

)A.12 B.2 C.52 8.若函數f(x)=x|x?a|?1的3個零點由小到大排列成等差數列，則a=(

)A.2 B.5 C.43二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列曲線平移后可得到曲線y=2x的是(

)A.y=2x+3 B.y=2x?3 10.一般認為，教室的窗戶面積應小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應不小于15%，且這個比值越大，通風效果越好.(

)A.若教室的窗戶面積與地面面積之和為200m2，則窗戶面積至少應該為30m2

B.若窗戶面積和地面面積都增加原來的10%，則教室通風效果不變

C.若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風效果變好

D.若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了11.設函數f(x)的定義域關于原點對稱，且f(x)不恒為0，下列結論正確的是(

)A.若f(x)具有奇偶性，則滿足f(x)=p(x)+q(x)的奇函數p(x)與偶函數q(x)中恰有一個為常函數，其函數值為0

B.若f(x)不具有奇偶性，則滿足f(x)=p(x)+q(x)奇函數p(x)與偶函數q(x)不存在

C.若f(x)為奇函數，則滿足f(x)=p(x)q(x)的奇函數p(x)與偶函數q(x)存在無數對

D.若f(x)為偶函數，則滿足f(x)=q(p(x))的奇函數p(x)與偶函數q(x)存在無數對三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設函數f(x)的圖象上任意兩點處的切線都不相同，則滿足題設的一個f(x)=______．13.已知矩形ABCD(AB>AD)的周長為24，將△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后與DC交于點P.設AB=x，則DP=______(用x表示)，當△ADP的面積最大時，x=______．14.已知a為常數，且a>0.定義在R上的函數f(x)滿足：f(x+a)≤f(x)≤f(x+3a)，且當0≤x≤a時，f(x)=ax2?x，則a=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，E，F，G分別是棱AB，BC，BB1上的動點，且AE=BF=B1G.

(1)求證：16.(本小題15分)

某學習小組研究得到以下兩個公式：

①sin(α+β)?sin(α?β)=sin2α?sin2β；②sin(α+β)?sin(α?β)=cos2β?cos2α.17.(本小題15分)

分別過橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點F1，F2作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點P，Q．

(1)當P為C18.(本小題17分)

已知紅方、藍方發(fā)射炮彈攻擊對方目標擊中的概率均為23，紅方、藍方空中攔截對方炮彈成功的概率分別為12,14.現紅方、藍方進行模擬對抗訓練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對方目標，另一方再進行空中攔截，輪流進行，各攻擊對方目標一次為1輪對抗.經過數輪對抗后，當一方比另一方多擊中對方目標兩次時，訓練結束.假定紅方、藍方互不影響，各輪結果也互不影響.記在1輪對抗中，紅方擊中藍方目標為事件A，藍方擊中紅方目標為事件B.求：

(1)概率P(A)，P(B)；

(2)經過1輪對抗，紅方與藍方擊中對方目標次數之差X的概率分布及數學期望；

19.(本小題17分)

(1)函數y=2x與y=log2x的圖象有怎樣的關系？請證明；

(2)是否存在正數c，對任意的x>c，總有2x>x2>log2x參考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.D

6.C

7.C

8.B

9.AB

10.BCD

11.ACD

12.x2(答案不唯一13.12?72x

14.1

15.解：(1)證明：因為B1B⊥平面ABC，AB，BC?平面ABC，

所以B1B⊥AB，B1B⊥BC，又∠ABC=90°，

故B?1B，AB，BC兩兩垂直，

以B為坐標原點，BA，BB1，BC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

因為AB=BC=BB1=1，AE=BF=B1G，

設AE=BF=B1G=m，0≤m≤1，

所以A1(1,1,0)，F(0,0,m)，C1(0,1,1)，G(0,1?m,0)，

則A1F=(0,0,m)?(1,1,0)=(?1,?1,m)，

C1G=(0,1?m,0)?(0,1,1)=(0,?m,?1)，

則A1F?C1G=(?1,?1,m)?(0,?m,?1)=m?m=0，

故A?1F⊥C1G；

(2)因為E(1?m,0,0)，則EG=(0,1?m,0)?(1?m,0,0)=(m?1,1?m,0)，

則A1F?EG=(?1,?1,m)?(m?1,1?m,0)=1?m+m?1=0，

則A1F⊥EG，又C1G∩EG=G，C16.解：(1)證明：若選①：sin(α+β)?sin(α?β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ?cosαsinβ)

=sinαcos2β?cos2αsinβ=sinα(1?sinβ)?(1?sinα)sin2β=sin2α?sin2β；

若選②：sin(α+β)?sin(α?β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ?cosαsinβ)

=sinαcos2β?cos2αsin2β=(1?cos2α)cos2β?cos2α(1?cos2β)=cos2β?cos2α；

(2)因為sinCsin(A?B)=sinBsin(C?A)，

所以sinC(sinAcosB?cosAsinB)=sinB(sinCcosA?cosCsinA)，

即sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA，

即sinAsin(C+B)=2sinBsinCcosA17.解：(1)由C：x24+y23=1可知F1(?1,0)，F2(1,0)，橢圓上頂點為(0,3)，即P(0,3)，

直線PF1的斜率為3，則直線QF2的方程為：y=3(x?1)，

聯(lián)立y=3(x?1)x24+y23=1，消去y并整理得5x2?8x=0，

解得x=0或x=85，因點Q在x軸上方，故得點Q(85,335)，

于是直線PQ的斜率為：kPQ=3?335?85=?34；

(2)如圖，設過點F1，F2的兩條平行線分別交橢圓于點P，R和Q，S，

利用對稱性可知，四邊形PRSQ是平行四邊形，且四邊形PF1F2Q的面積是?PRSQ面積的一半．

顯然這兩條平行線的斜率不可能是0(否則不能構成構成四邊形)，可設直線PR的方程為l：x=my?1，

代入C：x24+y23=1，整理得：(318.解：(1)P(A)=23×34=12，P(B)=23×12=13；

(2)X的可能取值為?1，0X?1

0

1

P

1

11所以E(X)=?16+0+13=16；

(3)若藍方擊中0次，則紅方比藍方多擊中對方目標兩次的概率為(23)4×C42×(119.證明：(1)函數y=2x與y=log2x互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱，

令(a,b)為函數y=2x圖象上任意一點，即b=2a，

則a=log2b，因此點(b,a)在函數y=log2x的圖象上，

反之亦然，而點(a,b)與(b,a)關于直線y=x對稱，

所以函數y=2x與y=log2x的圖象關于直線y=x對稱；

解：(2)存在正數c=4，對任意的x>4，2x>x2>log2x恒成立，

令f(x)=2x?x2，顯然f(2)=f(4)=0，

根據指數函數與冪函數的增長特征，在x∈(2,4)上恒有f(x)<0，

當x>4時，求導得f′(x)=2xln2?2x，令F(x)=2xln2?2x，x>4，

求導得F′(x)=2x(ln2)2?2，函數F′(x)在(4,+∞)上單調遞增，F′(x)>F′(4)=(4ln2)2?2>0，

函數F(x)在(4,+∞)上單調遞增，F(4)=16ln2?8=8(ln4?1)>0，函數f(x)在(4,+∞)上單調遞增，

因此?x∈(4,+∞)，f(x)>f(4)=0；

令φ(x)=x2?log2x，x>4，求導得φ′(x)=2x?1xln2，函數φ′(x)在(4,+∞)上單調遞增，

φ′(x)>φ′(4)=8?14ln2>0，因此函數φ(x)在(4,+∞)上單調遞增，φ(x)>φ(4)=14>0，

所以存在正數c，對任意的x>c，總有2x>x2>log2x，cmin=4；

證明：(3)a>1，不妨令x>1，則不等式ax>xa?xlna>alnx?lnxx<lnaa，

令g(x)=lnx