2024-2025學(xué)年江西省南昌市聚仁高級(jí)中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省南昌市聚仁高級(jí)中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?5<x3<5}，B={?3,?1,0,2,3}，則A∩B=A.{?1,0} B.{2,3} C.{?3,?1,0} D.{?1,0,2}2.若zz?1=1+i，則z=(

)A.?1?i B.?1+i C.1?i D.1+i3.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b?4A.?2 B.?1 C.1 D.24.已知cos(α+β)=m，tanαtanβ=2，則cos(α?β)=(

)A.?3m B.?m3 C.m35.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為(

)A.23π B.33π6.已知函數(shù)為f(x)=?x2?2ax?a,x<0,ex+lnA.(?∞,0] B.[?1,0] C.[?1,1] D.[0,+∞)7.當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin(3x?π6)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.3 B.4 C.6 D.88.已知函數(shù)為f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)>f(x?1)+f(x?2)，且當(dāng)x<3時(shí)，f(x)=x，則下列結(jié)論中一定正確的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值x?=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12)，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(x?A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.810.設(shè)函數(shù)f(x)=(x?1)2(x?4)，則A.x=3是f(x)的極小值點(diǎn)

B.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<f(x2)

C.當(dāng)1<x<2時(shí)，?4<f(2x?1)<0

D.當(dāng)11.造型∝可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線C的一部分，已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于?2，到點(diǎn)F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的距離之積為4，則(

)A.a=?2 B.點(diǎn)(22,0)在C上

C.C在第一象限的縱坐標(biāo)的最大值為1 D.當(dāng)點(diǎn)(x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于y軸的直線交C與13.若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2?c2=2ab．

(1)16.(本小題15分)

已知A(0,3)和P(3,32)為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上兩點(diǎn)．

(1)求C的離心率；

(2)若過P的直線l交17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB，證明：AD//平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A?CP?D的正弦值為42718.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx2?x+ax+b(x?1)3．

(1)若b=0，且f′(x)≥0，求a的最小值；

(2)證明：曲線y=f(x)是中心對(duì)稱圖形；

(3)若f(x)>?2當(dāng)且僅當(dāng)19.(本小題17分)

設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj(i<j)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2…，a4m+2是(i,j)——可分?jǐn)?shù)列．

(1)寫出所有的(i,j)，1≤i<j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是(i,j)——可分?jǐn)?shù)列；

(2)當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是(2,13)——可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j(i<j)，記數(shù)列a參考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.B

6.B

7.C

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.3213.ln2

14.1215.解：(1)因?yàn)閍2+b2?c2=2ab，所以由余弦定理得cosC=a2+b2?c22ab=2ab2ab=22，

而C∈(0,π)，因此C=π4．

又因?yàn)閟inC=2cosB，所以sinπ4=2cosB，即22=2cosB，解得cos16.解：(1)依題意，9b2=19a2+94b2=1，解得a2=12b2=9，

則離心率e=1?b2a2=1?912=12；

(2)由(1)可知，橢圓C的方程為x212+y29=1，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=3，易知此時(shí)B(3,?32)，

點(diǎn)A到直線PB的距離為3，則S△ABP=12×3×3=92，與易知矛盾；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y?32=k(x?3)，即17.(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，

又因?yàn)锳D⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

又AB?平面PAB，所以AD⊥AB，

因?yàn)锳B=3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

于是AD/?/BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC．

所以AD/?/平面PBC．

(2)因?yàn)锳D⊥DC，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，為x，y軸，過點(diǎn)D作PA的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=a>0，則DC=4?a2，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0,4?a2,0)，P(a,0,2)，

設(shè)平面DCP的一個(gè)法向量n1=(x1,y1,z1)，因?yàn)镈C=0,4?a2,0，DP=a,0,2，

所以由DC·n1=0DP·n1=018.解：(1)由x2?x>02?x≠2，解得0<x<2，

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)，

當(dāng)b=0時(shí)，f(x)=lnx2?x+ax，

所以f′(x)=1x+12?x+a≥0，對(duì)?0<x<2恒成立，

又1x+12?x+a=2x(2?x)+a≥2+a，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，

所以只需2+a≥0，即a≥?2，

所以a的最小值為?2．

(2)證明：x∈(0,2)，f(2?x)+f(x)=ln2?xx+a(2?x)+b(1?x)3+lnx2?x+ax+b(x?1)3=2a，

所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,a)中心對(duì)稱．

(3)因?yàn)閒(x)>?2當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2，

所以f(1)=?2，即a=?2，

所以f(x)=lnx2?x?2x+b(x?1)3>?2對(duì)?1<x<2恒成立，

f′(x)=1x+12?x?2+3b(x?1)=2(x?1)2x(2?x)+3b(x?1)2=(x?1)19.解：(1)根據(jù)題意，可得當(dāng)(i,j)取(1,2)時(shí)，可以分為a3，a4，a5，a6一組公差為d的等差數(shù)列，

當(dāng)(i,j)取(1,6)時(shí)，可以分為a2，a3，a4，a5一組公差為d的等差數(shù)列，

當(dāng)(i,j)取(5,6)時(shí)，可以分為a1，a2，a3，a4一組公差為d的等差數(shù)列，

所以(i,j)可以為(1,2)，(1,6)，(5,6)；

(2)證明：當(dāng)m=3時(shí)，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，

可以分為a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14三組公差為3d的等差數(shù)列，

所以m=3時(shí)符合題意；

當(dāng)m>3時(shí)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2去掉