2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系1

高中數(shù)學(xué)B版2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系（1）教學(xué)課時：第1課時教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生在初中已經(jīng)掌握解一元二次方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化對配方法的理解；2.通過對一元二次方程實(shí)根個數(shù)的討論，進(jìn)一步深入理解分類討論的數(shù)學(xué)思想；3.引入換元法解一元二次方程的思想，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中化繁為簡解決問題的基本方法；4.結(jié)合具體的實(shí)際應(yīng)用問題，讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為方程求解問題進(jìn)行求解運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：配方法求解一元二次方程，結(jié)合配方法深化對判別式研究一元二次方程根的判別.教學(xué)難點(diǎn)：對于通過換元可以化為一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的換元轉(zhuǎn)化.教學(xué)過程：一、提出問題：《九章算術(shù)》第九章“勾股”問題二十：今有邑方不知大小，各中開門.出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木.問邑方幾何.問題二十的譯文：今有正方形小城，其邊長是未知數(shù)，城墻各邊正中都開有一門.出北門，20步處有一棵樹，出南門14步，轉(zhuǎn)向西走1775步恰好能看見那棵樹.求正方形小城的邊長是多少.

【設(shè)計意圖】1.以《九章算術(shù)》中的例子作為一元二次方程的引入，意在展示我國古代數(shù)學(xué)成就和我國數(shù)學(xué)文化悠久的歷史，引導(dǎo)師生共同學(xué)習(xí)祖先留給我們的珍貴文化遺產(chǎn)，并激勵學(xué)生將有關(guān)數(shù)學(xué)文化發(fā)揚(yáng)光大.附《九章算術(shù)》，我國古代數(shù)學(xué)專著，是《算術(shù)十書》（唐漢之間出現(xiàn)的十部算書）中最重要的一部，其作者已不可考，一般認(rèn)為它是經(jīng)過歷代各家的增補(bǔ)修訂而逐漸發(fā)展成為現(xiàn)今定本的.魏晉是劉徽為《九章算術(shù)》作注時說：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”，又說“漢北平侯張蒼，大思農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世.蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補(bǔ)，故校其目則與古或異，而所論多近語也”.可見《九章算術(shù)》上承先秦數(shù)學(xué)發(fā)展之源流，入漢之后又經(jīng)許多學(xué)者的刪補(bǔ)方才最后成書的，它的出現(xiàn)，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成.2.學(xué)生對于實(shí)際問題抽象得到的方程用上節(jié)課復(fù)習(xí)的十字相乘法求解有一定的困難，這就為引入配方法做好了準(zhǔn)備.二、自主探索面對我們用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程，我們該如何下手去研究呢？提出問題：你認(rèn)為最簡單的一元二次方程具有什么樣的形式？可以怎樣得到這種方程的解集？【設(shè)計意圖】從最簡單的、容易得到解集的一元二次方程出發(fā)，逐步一般化，引出配方法.注意我們所想解決的是一類問題，而不是一個具體問題，所以我們首先研究的是可以化為x2=t的形式的一元二次方程的解集，其中為常數(shù).【學(xué)生活動1】1.獨(dú)立完成P48的第一個探索與發(fā)現(xiàn)；2.學(xué)生獨(dú)立完成后相互交流下各自的答案.

【設(shè)計意圖】對于大部分學(xué)生而言，答案不是問題，能否真的懂得“嘗試與發(fā)現(xiàn)”想得到的內(nèi)容才是關(guān)鍵，還有就是在發(fā)現(xiàn)過程中所蘊(yùn)含的從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法.書上之所以分成兩個“嘗試與發(fā)現(xiàn)”想必原因如此，交流過程中教師一定要幫助學(xué)生梳理下這類問題的研究方法：從特殊問題入手研究一類問題，然后適度放開限制條件，嘗試把問題向已經(jīng)掌握的特殊問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后徹底放開，結(jié)合前面的經(jīng)驗(yàn)，把一般問題都轉(zhuǎn)化為特殊問題進(jìn)行解決.切忌不要變成背默填空的形式.【學(xué)生活動2】3.結(jié)合前面教師的講解，學(xué)生嘗試獨(dú)立完成第二部分的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”；4.相互交流，談?wù)劇皣L試與探究”的結(jié)果與初中所學(xué)的公式法求解的關(guān)系以及判別式研究方程根的情況的異同.

【設(shè)計意圖】本課時的主旨內(nèi)容在此，數(shù)學(xué)探索過程遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)求解過程重要的多，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最想帶給學(xué)生的最核心的“知識”，經(jīng)歷探索過程，體會數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中從特殊到一般的研究方式和數(shù)學(xué)問題間相互轉(zhuǎn)化的研究方法.

三、例題講解【設(shè)計意圖】對于初中掌握的比較好的同學(xué)，這個問題初三就可以解決，這里提出這個問題我想是基于兩方面的考慮（如果學(xué)生沒有想到，不建議講方法二），一個是突出換元法，另一個是關(guān)注使用換元法的限制條件（講方法二的時候雖然不是換元法，但也要關(guān)注限制條件）.數(shù)學(xué)是一門追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，對于可能遇到的問題，尤其是變形中遇到的問題，一定要做好預(yù)案，這個預(yù)案可以是方式方法上的，如書上所強(qiáng)調(diào)的更換字母同時提出限制條件，也可以是思想上的，比如不更換字母，那么我們需要在一開始就想好我們對求解的未知數(shù)的限制.四、課堂練習(xí)