2.2從函數(shù)觀點看一元二次方程湘教版新教材必修第一冊解析版

一、單項選擇題。本大題共8小題，每題只有一個選項符合題意。1．假設(shè)冪函數(shù)f〔x〕的圖象過點〔64，2〕，那么f〔x〕＜f〔x2〕的解集為〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔0，1〕C．〔1，+∞〕D．〔0，1〕∪〔1，+∞〕【答案】C【解析】解：設(shè)冪函數(shù)f〔x〕＝xα，由于它的圖象過點〔64，2〕，∴2＝64α，∴α＝，f〔x〕＝．那么f〔x〕＜f〔x2〕，即，∴0≤x＜x2，∴x＞1，故原不等式的解集為〔1，+∞〕，應(yīng)選：C．2．一元二次方程的根的情況是〔〕．A．方程沒有實數(shù)根B．方程有兩個相等的實數(shù)根C．方程有兩個不相等的實數(shù)根D．方程的根是、和【答案】C【解析】∵原方程可化為，∴，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，應(yīng)選：C．3．要使關(guān)于的方程的一根比大且另一根比小，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得，解得.應(yīng)選：B.4．方程，命題甲：是該方程的解；命題乙：是該方程的解，那么命題甲是命題乙的〔〕A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】方程，即，解得或，令可得，此時方程的另外一根為，令時，此時方程的另外一根為；令可得，此時方程的另外一根為，令時，此時方程的另外一根為，根據(jù)充要條件的概念即可判斷，應(yīng)選：C．5．假設(shè)關(guān)于的方程有兩個不同的正根，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】C【分析】由，判別式及根與系數(shù)關(guān)系列出不等式組，即可求出實數(shù)的取值范圍.【解析】因為關(guān)于的方程有兩個不同的正根，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是.應(yīng)選：C6．關(guān)于x的兩個一元二次不等式的解集分別為A，B，其中為常數(shù)且不為零，那么“〞是“〞〔〕A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次項系數(shù)的符號及相應(yīng)二次方程的解的情況決定，由可知相應(yīng)二次方程的解的情況是一致的，但二次項系數(shù)的符號不一定一致，故由推不出，反之假設(shè)，也推不出，例如，與，解集都為R，但系數(shù)并不成比例.應(yīng)選：D.7．關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，那么所有符合條件的a的值之和是〔〕A．13B．18C．21D．26【答案】C【解析】設(shè)，其圖象為開口向上，對稱軸為的拋物線，根據(jù)題意可得，，解得，因為解集中有且僅有3個整數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可得，即，解得，又所以a=6，7，8，所以符合題意的a的值之和6+7+8=21.應(yīng)選：C8．函數(shù)的定義域為D，假設(shè)滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②區(qū)間，使在上的值域是，那么就稱為“和諧函數(shù)〞，假設(shè)函數(shù)是“和諧函數(shù)〞，那么t的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由題意，因為是“和諧函數(shù)〞，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，且在上的值域是，，即，有兩個不相等的實數(shù)根，即有兩個不相等的實數(shù)根，令，那么，有兩個不相等的正實數(shù)根，，解得．應(yīng)選：D．二、多項選擇題。本大題共4小題，每題有兩項或以上符合題意。9．，關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)，那么a的值可以是〔〕A．5B．6C．7D．9【答案】BC【解析】設(shè)，函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為，因此關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)時，需滿足，即，解得，又因為，所以或或，應(yīng)選：BC.10．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負(fù)根的充分不必要條件是〔〕A．a(chǎn)<0B．a(chǎn)>0C．a(chǎn)<－1D．a(chǎn)=-1【答案】CD【解析】因為一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負(fù)根，所以，解得，結(jié)合選項與充分不必要條件的概念可知選CD，應(yīng)選：CD.11．假設(shè)方程在區(qū)間上有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值可以是〔〕A．B．C．D．1【答案】BC【解析】由題意在上有解．∵，∴，應(yīng)選：BC．12．關(guān)于x的不等式的解集為，那么以下正確的選項是〔〕A．B．關(guān)于x的不等式的解集為C．D．關(guān)于x的不等式的解集為【答案】ACD【解析】A．由可得且是方程的兩根，A正確，B．由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，解得，那么不等式可化為：，即，所以，B錯誤，C．因為，C正確，D．不等式可化為：，即，解得或，D正確，應(yīng)選：ACD．三、填空題。本大題共4小題。13．一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0，1)內(nèi)，另一個根在(1，2)內(nèi)，那么實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，由題意知，解得－<a<－2.故答案為：.14．關(guān)于的二次方程有一正數(shù)根和一負(fù)數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】由題意知，二次方程有一正根和一負(fù)根，得，解得.故答案為：15．設(shè)集合，，假設(shè)，那么實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】分以下幾種情況討論：〔1〕假設(shè)方程無實根，那么，解得；〔2〕假設(shè)方程有實根，那么，解得或，，那么不是方程的解，假設(shè)方程有唯一的正根，那么，解得；假設(shè)方程有兩根不等的實根，設(shè)這兩個實根分別為、，因為，故方程有兩個不等的正根，所以，，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．函數(shù)f〔x〕=2x，，假設(shè)〔t為實數(shù)〕在〔0，+∞〕上有兩個不同的零點x1、x2，那么x1+x2的取值范圍為_______【答案】【解析】令，那么，即，令，那么，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以與一一對應(yīng)，所以有兩個不相等的實數(shù)根，由韋達(dá)定理知，所以，整理得，因為，所以，所以，令，那么，解得，即，因此.故答案為：.四、解答題。本大題共6小題，解答過程必修有必要的文字說明，公式和解題過程。17．〔1〕關(guān)于的一元二次方程有兩個不等的實根，求的取值范圍；〔2〕，解關(guān)于的不等式.【答案】〔1〕或；〔2〕見解析.【解析】解：〔1〕因為關(guān)于的一元二次方程有兩個不等的實根，所以，解得或；〔2〕由，得，那么對應(yīng)方程的根為，因為，所以，當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為.18．假設(shè)方程的三個根可以作為一個三角形的三條邊的長，那么實數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】方程有三根，，有根，方程的，得，設(shè)的兩根為：，所以，，又原方程有三根，且為三角形的三邊的長．有，，而已成立；當(dāng)時，兩邊平方得：．即：．解得．．19．求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件．【答案】【解析】①當(dāng)時，解得x＝－1，滿足條件；②當(dāng)時，顯然方程沒有零根，由，得設(shè)方程的兩個實數(shù)根為假設(shè)方程有兩異號實根，那么，解得；假設(shè)方程有兩個負(fù)的實根，那么，解得．綜上，假設(shè)方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根，那么．反之，假設(shè)，那么方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根．因此，關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件是．20．函數(shù).〔1〕假設(shè)，求在上的最大值和最小值；〔2〕假設(shè)關(guān)于的方程在上有兩個不相等實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】〔1〕最大值是0，最小值是；〔2〕.【解析】〔1〕當(dāng)時，，因為二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，又因為在上遞減，在上遞增，所以，又，所以；〔2〕因為方程在上有兩個不相等實根，所以方程有兩個不相等正實根，那么，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.21．函數(shù).〔1〕將函數(shù)圖象向右平移一個單位即可得到函數(shù)的圖象，試寫出的解析式及值域；〔2〕關(guān)于x的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；〔3〕對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)x，假設(shè)存在常數(shù)k，m，使得和都成立，那么稱直線為函數(shù)與的“分界線〞.設(shè)，，試探究與是否存在“分界線〞？假設(shè)存在，求出“分界線〞的方程；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔1〕，值域為；〔2〕；〔3〕存在，方程為：.【解析】解：〔1〕，值域為.〔2〕不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，等價于恰有三個整數(shù)解，故，即，，所以，又因為所以，解之得·〔3〕設(shè)，那么.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此時，取得最小值0，那么與的圖象在處有公共點設(shè)與存在“分界線〞，方程為，即，由在恒成立，那么在恒成立.所以成立，因此.下面證明恒成立.設(shè)，那么所以