九年級(jí)直方圖和表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量一周強(qiáng)化滬教版

直方圖和表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量一周強(qiáng)化

一、一周知識(shí)概述

（一）直方圖

1、頻數(shù)分布直方圖：取橫軸表示數(shù)據(jù)，縱軸表示頻數(shù)，用矩形的高代表對(duì)應(yīng)組的頻數(shù)，

這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做頻數(shù)分布直方圖.直方圖實(shí)際上是用矩形的面積表示頻數(shù)，當(dāng)矩形的

寬相等時(shí)，可以用矩形的高表示頻數(shù).直方圖中各矩形之間沒(méi)有空隙.

畫(huà)頻數(shù)分布直方圖一般的步驟是：①計(jì)算極差；②決定組距與組數(shù)；③決定組限；

④列頻數(shù)分布表；⑤畫(huà)頻數(shù)分布直方圖.其中組距和組數(shù)的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)，要憑

借經(jīng)驗(yàn)和研究的具體問(wèn)題來(lái)決定.一般來(lái)說(shuō)，組數(shù)越多當(dāng)然越好，但實(shí)際操作比較麻煩,

當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)的區(qū)分通常分成5—12個(gè)組.

2、頻率分布直方圖

在頻數(shù)分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的高等于頻數(shù)值，這樣就把頻數(shù)分布表中的結(jié)果

直觀形象地表示出來(lái).為了進(jìn)一步反映數(shù)據(jù)落在各小范圍內(nèi)的比例大小，可以繪制頻率

分布直方圖.

組頻率：如果將每組的頻數(shù)都除以這組數(shù)據(jù)總數(shù)，我們就得到各組數(shù)據(jù)頻數(shù)在數(shù)據(jù)

總數(shù)中所占的比值（或百分比），我們稱這個(gè)比值為組頻率，即：

組頻率=組頻數(shù)

觀察數(shù)據(jù)的總數(shù)

（二）表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量

1、方差：設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)xi,X2,…,x?,各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是

（X]-1）2,（工2-于,…-7）2,我們用它們的平均數(shù)即用

S2=-X）2+02-加+…+（X-X）2]

?來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組

數(shù)據(jù)的方差，記作S2.

2、標(biāo)準(zhǔn)差：用方差的正的平方根來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)程度的大小，把它叫做這

組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.即

S=J,［（萬(wàn)-x）?+（萬(wàn)—X）2+…+（O—工尸］_

一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式是'閥，其中X為

n個(gè)數(shù)據(jù)K,X2,...,X“的平均數(shù).

_x-x

3、標(biāo)準(zhǔn)分：標(biāo)準(zhǔn)分z一一T（s是標(biāo)準(zhǔn)差）

4、變異系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的相對(duì)比值叫做變異比值V,即才巴XxlOO%叫做變異

系數(shù).

二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破

1、頻數(shù)分布直方圖與條形圖的異同點(diǎn)

相同點(diǎn)：

（1）橫軸、縱軸表示的意義相同；

（2）都是用矩形高表示數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；

（3）都易于比較各組頻數(shù)或數(shù)據(jù)之間的差別.

不同點(diǎn)：

（1）頻數(shù)分布直方圖各矩形之間沒(méi)有空隙，而條形圖各矩形之間可以有空隙；

（2）頻數(shù)分布直方圖能夠顯示頻數(shù)分布的情況，而條形圖只能顯示每組中的具體

數(shù)據(jù)；

（3）頻數(shù)分布直方圖一般只描述一種統(tǒng)計(jì)對(duì)象，而條形圖有時(shí)可同時(shí)描述兩個(gè)或

多個(gè)統(tǒng)計(jì)對(duì)象.

2、用方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）刻畫(huà)數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況：

（1）方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）越小，數(shù)據(jù)的

波動(dòng)越小.

（2）顯然，方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）是非負(fù)數(shù)，當(dāng)方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）為0時(shí)，表明這組

數(shù)據(jù)不波動(dòng)，即這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都相同.

3、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)都反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度，較常用的是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.在

比較兩組平均數(shù)相差較大的數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，以及在比較單位不同的兩組數(shù)據(jù)的離散

程度時(shí)，常用變異系數(shù).

三、解題方法技巧點(diǎn)撥

1、從頻數(shù)分布直方圖中獲取信息

例1、（大連市，2005年）為了了解某初中學(xué)業(yè)生的體能情況，抽取若干名學(xué)生在單位

時(shí)間內(nèi)進(jìn)行引體向上測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻數(shù)分布直方圖（如圖所示），圖

中從左到右依次為第1、2、3、4、5組.

（1）求抽取多少名學(xué)生參加測(cè)試？

（2）處于哪個(gè)次數(shù)段的學(xué)生數(shù)最多？（答出是第幾組即可）

（3）若次數(shù)在5次（含5次）以上為達(dá)標(biāo)，求這次測(cè)試的達(dá)標(biāo)率.

分析：

（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為10+25+35+25+5=100.（2）由圖可直接看出第三組的

學(xué)生數(shù)最多.（3）達(dá)標(biāo)人數(shù)為35+25+5=65,可估計(jì)這次測(cè)試的達(dá)標(biāo)率也是65%.

解：

（1）10+25+35+25+5=100（人）.

答：抽取了10（）名學(xué)生參加測(cè)試.

（2）由頻數(shù)分布直方圖可以看出第三組的學(xué)生最多.

（3）65+100=65%.

所以這次測(cè)試的達(dá)標(biāo)率為65%.

點(diǎn)撥：由頻數(shù)分布直方圖還可讀出很多信息，同學(xué)們不妨試一試.

2、畫(huà)頻數(shù)分布直方（折線）圖

例2、某班一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?3,84,91,53,69,81,61,69,

91,78,75,81,80,67,76,81,79,94,61,69,89,70,70,87,81,86,90,

88,85,67,71,82,87,75,87,95,53,65,74,77.

大部分同學(xué)處于哪個(gè)分?jǐn)?shù)段？成績(jī)的整體分布情況怎樣？將成績(jī)按10分的組距分

段，統(tǒng)計(jì)每個(gè)分?jǐn)?shù)段學(xué)生出現(xiàn)的頻數(shù)，列出頻數(shù)分布表，并畫(huà)出頻數(shù)分布直方圖和折線

圖.

解：

（1）計(jì)算最大值和最小值的差：95-53=42.

絲-42

（2）確定組距與組數(shù)：己知組距為10,則組數(shù)1。，因此定為5組.

（3）決定分點(diǎn)：49.5?59.5,59.5?69.5,69.5?79579.5?89.5,89.5-99.5.

（4）列頻數(shù)分布表.

分組劃記頻數(shù)

49.5?59.5T2

59.5?69.5正7F9

69.5?79.5正正10

79.5?89.5正正7F14

89.5?99.5正5

（5）畫(huà)頻數(shù)分布直方圖.如圖所示.

(6)畫(huà)頻數(shù)折線圖，如圖所示.

學(xué)生數(shù)

最大值-最小值

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)組距確定后，估計(jì)組數(shù)=組而，組數(shù)取整數(shù)，畫(huà)直方圖中的各

個(gè)小長(zhǎng)方形之間沒(méi)有空隙.畫(huà)頻數(shù)折線圖時(shí)，要注意折線圖左右兩個(gè)端點(diǎn)的畫(huà)法，不要

忘記畫(huà)出兩個(gè)端點(diǎn).

例3、抽樣檢查40個(gè)工件的長(zhǎng)度，收集如下一組數(shù)據(jù)(單位：cm)：

23.2623.2723.5223.5123.4323.4223.5423.5523.6623.67

2331233023.2723.2S23.4123.4023.5523.5623.4423.43

23.3823.3923.6323.6423.5423.5623.4623.4423.4823.46

23.5023.5323.5523.4623.4423.4523.4723.4923.5023.46

試列出這組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表，畫(huà)出頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖.

解:

列頻數(shù)分布表:

長(zhǎng)度組別頻數(shù)

23.255?23.3055

23.305?23.3551

23.355?23.4053

23.405?23.4558

23.455?23.5059

23.505?23.5558

23.555?23.6052

23.605?23.6552

23.655?23.7052

根據(jù)上表，畫(huà)出頻數(shù)分布直方圖，連接各小長(zhǎng)方形上面一條邊的中點(diǎn)得頻數(shù)折線圖

（如圖）.

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O

點(diǎn)評(píng)：分組時(shí)，一般要使每組的端點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，第一組的起點(diǎn)比數(shù)據(jù)中的

最小值再小一點(diǎn).

3、頻數(shù)與頻率之間的關(guān)系

例4、某班同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，將所得成績(jī)（得分取整數(shù)）進(jìn)行整理后分成五組，并繪制

成頻數(shù)分布直方圖（如圖所示），請(qǐng)結(jié)合直方圖提供的信息，回答下列問(wèn)題

分?jǐn)?shù)

（1）該班共有多少名學(xué)生?

（2）80.5-90.5這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)、頻率分別是多少?

(3)這次成績(jī)，哪一個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)最多?是多少？

(4)從左到右各小組的頻率比是多少？

(5)若這次測(cè)試成績(jī)80分以上(不含80分)為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率不低于多少?

分析：

本題主要考查讀圖能力和通過(guò)讀圖從中獲得信息的能力.

解：

(1)4+10+18+12+6=50(人).

...該班共有50人.

(2)80.5-90.5這一分?jǐn)?shù)段有12人.頻率是12+50=0.24,

.?.80.5?90.5這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)、頻率分別是12,0.24.

(3)這次成績(jī)，70.5?80.5這個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)最多，是18人.

(4)兩種方法：

方法1：4：10：18：12：6=2：5：9：6：3.(直接運(yùn)用人數(shù)比)

4.10.18.12.6

方法2：50505050'50=2：5：9：6：3.(直接運(yùn)用頻率比)

從左到右各小組的頻率比是2：5：9：6：3.

(5)12+6=18,

...18+50=0.36=36%.

優(yōu)秀率不低于90%.

點(diǎn)評(píng)：求頻率之比時(shí)，有兩種方法，一種是直接用各小組的頻數(shù)來(lái)求比.另一種是

分別求出各小組的頻率，再求比值，在計(jì)算時(shí)要靈活運(yùn)用.

4、利用頻率分布直方圖解決問(wèn)題

例5、為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，

共有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成

績(jī)(得分取正整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻

率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)，解答下列問(wèn)題.

分組頻數(shù)頻率

50.5?60.540.08

60.5—70.580.16

70.5~80.5100.20

80.5~90.5160.32

90.5~100.5

；'；.?：；：；：?；*>.：?：■：.?；...?：：：?/.?.

????：??，：?一?■????：???'???????????

陵修紡"修修涔"

合計(jì)??????????

(1)填充頻率分布表中的空格；

(2)補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(3)在該問(wèn)題中，共抽取人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì);

(4)全體參賽學(xué)生中，競(jìng)賽成績(jī)落在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多?(不要求說(shuō)明理由)

(5)若成績(jī)?cè)?0分以上(不含90分)為優(yōu)秀，則該校成績(jī)優(yōu)秀的約為多少人？

解：

(1)由頻率分布表可知，抽樣調(diào)查總數(shù)為：4+0.08=50(人)

，90.5?100.5分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為50-4-8-10-16=12(人)，

這一分?jǐn)?shù)段的頻率為12-50=0.24.

“合計(jì)”中，頻數(shù)是50,頻率是1.00.

(2)如圖所示.

(3)在該問(wèn)題中，共抽取50人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

(4)由頻率分布表可以看到，80.5-90.5這一分?jǐn)?shù)段的人數(shù)最多.

(5)成績(jī)?cè)?0分以上(不含90分)的占0.24,所以，900x0.24=216(A).

該校成績(jī)優(yōu)秀的約為216人.

點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是填充”頻率分布表“，在這一問(wèn)題中，既可以利用某小組的頻

數(shù)和頻率，用“頻數(shù)+頻率=總?cè)藬?shù)”求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出90.5?100.5這一分?jǐn)?shù)段的人

數(shù)，再求出相對(duì)應(yīng)小組和合計(jì)的頻率.

同時(shí)，也可以從頻率著眼，已知各小組的頻率之和為1.00,從而求出90.5?100.5

分?jǐn)?shù)段的頻率，進(jìn)而求出這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù).注意解題的靈活性.例如：求出90.5?100.5

分?jǐn)?shù)段的頻率是0.24,是50.5?60.5分?jǐn)?shù)段的頻率的3倍，故此，90.5?100.5分?jǐn)?shù)段的

頻數(shù)是4x3=12(人)，計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)便.

5、利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差解決問(wèn)題

例7、為了從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加今年六月份的全縣中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每個(gè)

月對(duì)他們的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行一次測(cè)驗(yàn)，如圖是兩人賽前5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖.

刎（分）

（1）分別求出甲、乙兩名學(xué)生5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)及方差.

（2）如果你是他們的輔導(dǎo)教師，應(yīng)選派哪一名學(xué)生參加這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽.請(qǐng)結(jié)合所

學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)說(shuō)明理由.

分析：

（1）先由圖讀出甲、乙的數(shù)據(jù)，再分別求甲、乙兩名同學(xué)5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)

及方差；（2）結(jié)合平均數(shù)、方差及折線圖的走勢(shì)綜合分析.

解：

（1）由圖可知：

甲：65,80,80,85,90.

乙：70,90,85,75,80.

—1

'單-5（65+80+80+85+90）=80（分），

牖=g

[(65-80)2+(8()-80尸+(8()-80)2+(85-80)2+(90一80)2]=70(分2),

—1

^7=-

5(70+90+85+75+80)=80(分),

匿=1

5[(70-80)2+(90—80)2+(85—80)2+(75-80)2+(80-80)2]=50(分2).

（2）應(yīng)派甲參加這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽.

理由：（1）甲最近2次時(shí)成績(jī)不低于乙；

（2）甲最近3次成績(jī)直線上升，而乙的成績(jī)有所下降，所以應(yīng)選甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.

點(diǎn)撥：（1）第（2）問(wèn)是開(kāi)放題，若從平均數(shù)和方差的角度分析，應(yīng)派乙參加這次

數(shù)學(xué)競(jìng)賽.若這樣答題也算正確，但由于是參加競(jìng)賽，一般是選擇潛能較大的選手參

賽.（2）方差也應(yīng)帶單位，其單位是數(shù)據(jù)單位的平方.若選用標(biāo)準(zhǔn)差，則單位與數(shù)據(jù)

單位一致.

例8、為選派一名學(xué)生參加全市實(shí)踐活動(dòng)技能競(jìng)賽，A、B兩位同學(xué)在學(xué)校實(shí)習(xí)基地現(xiàn)

場(chǎng)進(jìn)行加工直徑為20mm的零件的測(cè)試，他倆各加工的10個(gè)零件的相關(guān)數(shù)據(jù)依次如圖

及表所示（單位：mm）.

平均數(shù)方差完全符合要求個(gè)數(shù)

A200.0262

B2045

根據(jù)測(cè)試得到的有關(guān)數(shù)據(jù)，試解釋下列問(wèn)題：

（1）考慮平均數(shù)與完全符合要求的個(gè)數(shù)，的成績(jī)好些.

（2）計(jì)算出的的大小，考慮平均數(shù)與方差，說(shuō)明誰(shuí)的成績(jī)好些.

(3)考慮圖中折線走勢(shì)及競(jìng)賽中加工零件個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)1()個(gè)的實(shí)際情況，你認(rèn)為

委派誰(shuí)去參賽較合適？說(shuō)明你的理由.

分析：

(1)A、B平均數(shù)相同，但B完全符合要求的個(gè)數(shù)多于A,故B的成績(jī)好些；(2)

r?2

用方差公式計(jì)算，再與邑1=0.026比較；(3)看折線圖，看誰(shuí)最后越來(lái)越穩(wěn)定.

解：

(1)B.

$2=

(2)510[5x(20-20)2+3x(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,

Q2C*2、c?2

"=0.026,?,?”>必.

在平均數(shù)相同的情況下，B的波動(dòng)性小，.?.B的成績(jī)好些.

(3)從圖中折線走勢(shì)可知，盡管A的成績(jī)前面起伏較大，但后來(lái)逐漸穩(wěn)定，誤差

小，可預(yù)測(cè)A的潛力較大，可選派A去參賽.

例9、一次期中考試中A、B、C、D、E五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)等有關(guān)信息如下表

所示：

ABCDE平均分標(biāo)準(zhǔn)差

數(shù)學(xué)7172696870

英語(yǔ)888294857685

(1)求這五位同學(xué)在本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和英語(yǔ)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差；

(2)為了比較不同學(xué)科考試成績(jī)的好與差，采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個(gè)合理的選擇，標(biāo)準(zhǔn)分的

計(jì)算公式是：標(biāo)準(zhǔn)分=(個(gè)