九年級直方圖和表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量一周強化滬教版

直方圖和表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量一周強化

一、一周知識概述

（一）直方圖

1、頻數(shù)分布直方圖：取橫軸表示數(shù)據(jù)，縱軸表示頻數(shù)，用矩形的高代表對應組的頻數(shù)，

這樣的統(tǒng)計圖叫做頻數(shù)分布直方圖.直方圖實際上是用矩形的面積表示頻數(shù)，當矩形的

寬相等時，可以用矩形的高表示頻數(shù).直方圖中各矩形之間沒有空隙.

畫頻數(shù)分布直方圖一般的步驟是：①計算極差；②決定組距與組數(shù)；③決定組限；

④列頻數(shù)分布表；⑤畫頻數(shù)分布直方圖.其中組距和組數(shù)的確定沒有固定的標準，要憑

借經(jīng)驗和研究的具體問題來決定.一般來說，組數(shù)越多當然越好，但實際操作比較麻煩,

當數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，根據(jù)數(shù)據(jù)的區(qū)分通常分成5—12個組.

2、頻率分布直方圖

在頻數(shù)分布直方圖中，各小長方形的高等于頻數(shù)值，這樣就把頻數(shù)分布表中的結(jié)果

直觀形象地表示出來.為了進一步反映數(shù)據(jù)落在各小范圍內(nèi)的比例大小，可以繪制頻率

分布直方圖.

組頻率：如果將每組的頻數(shù)都除以這組數(shù)據(jù)總數(shù)，我們就得到各組數(shù)據(jù)頻數(shù)在數(shù)據(jù)

總數(shù)中所占的比值（或百分比），我們稱這個比值為組頻率，即：

組頻率=組頻數(shù)

觀察數(shù)據(jù)的總數(shù)

（二）表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量

1、方差：設(shè)有n個數(shù)據(jù)xi,X2,…,x?,各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是

（X]-1）2,（工2-于,…-7）2,我們用它們的平均數(shù)即用

S2=-X）2+02-加+…+（X-X）2]

?來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組

數(shù)據(jù)的方差，記作S2.

2、標準差：用方差的正的平方根來衡量這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)程度的大小，把它叫做這

組數(shù)據(jù)的標準差.即

S=J,［（萬-x）?+（萬—X）2+…+（O—工尸］_

一組數(shù)據(jù)的標準差計算公式是'閥，其中X為

n個數(shù)據(jù)K,X2,...,X“的平均數(shù).

_x-x

3、標準分：標準分z一一T（s是標準差）

4、變異系數(shù)：標準差與平均數(shù)的相對比值叫做變異比值V,即才巴XxlOO%叫做變異

系數(shù).

二、重點難點疑點突破

1、頻數(shù)分布直方圖與條形圖的異同點

相同點：

（1）橫軸、縱軸表示的意義相同；

（2）都是用矩形高表示數(shù)據(jù)的個數(shù)；

（3）都易于比較各組頻數(shù)或數(shù)據(jù)之間的差別.

不同點：

（1）頻數(shù)分布直方圖各矩形之間沒有空隙，而條形圖各矩形之間可以有空隙；

（2）頻數(shù)分布直方圖能夠顯示頻數(shù)分布的情況，而條形圖只能顯示每組中的具體

數(shù)據(jù)；

（3）頻數(shù)分布直方圖一般只描述一種統(tǒng)計對象，而條形圖有時可同時描述兩個或

多個統(tǒng)計對象.

2、用方差（或標準差）刻畫數(shù)據(jù)的波動情況：

（1）方差（或標準差）越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差（或標準差）越小，數(shù)據(jù)的

波動越小.

（2）顯然，方差（或標準差）是非負數(shù)，當方差（或標準差）為0時，表明這組

數(shù)據(jù)不波動，即這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都相同.

3、方差、標準差和變異系數(shù)都反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度，較常用的是方差和標準差.在

比較兩組平均數(shù)相差較大的數(shù)據(jù)的離散程度時，以及在比較單位不同的兩組數(shù)據(jù)的離散

程度時，常用變異系數(shù).

三、解題方法技巧點撥

1、從頻數(shù)分布直方圖中獲取信息

例1、（大連市，2005年）為了了解某初中學業(yè)生的體能情況，抽取若干名學生在單位

時間內(nèi)進行引體向上測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻數(shù)分布直方圖（如圖所示），圖

中從左到右依次為第1、2、3、4、5組.

（1）求抽取多少名學生參加測試？

（2）處于哪個次數(shù)段的學生數(shù)最多？（答出是第幾組即可）

（3）若次數(shù)在5次（含5次）以上為達標，求這次測試的達標率.

分析：

（1）抽取的學生人數(shù)為10+25+35+25+5=100.（2）由圖可直接看出第三組的

學生數(shù)最多.（3）達標人數(shù)為35+25+5=65,可估計這次測試的達標率也是65%.

解：

（1）10+25+35+25+5=100（人）.

答：抽取了10（）名學生參加測試.

（2）由頻數(shù)分布直方圖可以看出第三組的學生最多.

（3）65+100=65%.

所以這次測試的達標率為65%.

點撥：由頻數(shù)分布直方圖還可讀出很多信息，同學們不妨試一試.

2、畫頻數(shù)分布直方（折線）圖

例2、某班一次數(shù)學測驗成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?3,84,91,53,69,81,61,69,

91,78,75,81,80,67,76,81,79,94,61,69,89,70,70,87,81,86,90,

88,85,67,71,82,87,75,87,95,53,65,74,77.

大部分同學處于哪個分數(shù)段？成績的整體分布情況怎樣？將成績按10分的組距分

段，統(tǒng)計每個分數(shù)段學生出現(xiàn)的頻數(shù)，列出頻數(shù)分布表，并畫出頻數(shù)分布直方圖和折線

圖.

解：

（1）計算最大值和最小值的差：95-53=42.

絲-42

（2）確定組距與組數(shù)：己知組距為10,則組數(shù)1。，因此定為5組.

（3）決定分點：49.5?59.5,59.5?69.5,69.5?79579.5?89.5,89.5-99.5.

（4）列頻數(shù)分布表.

分組劃記頻數(shù)

49.5?59.5T2

59.5?69.5正7F9

69.5?79.5正正10

79.5?89.5正正7F14

89.5?99.5正5

（5）畫頻數(shù)分布直方圖.如圖所示.

(6)畫頻數(shù)折線圖，如圖所示.

學生數(shù)

最大值-最小值

點評：當組距確定后，估計組數(shù)=組而，組數(shù)取整數(shù)，畫直方圖中的各

個小長方形之間沒有空隙.畫頻數(shù)折線圖時，要注意折線圖左右兩個端點的畫法，不要

忘記畫出兩個端點.

例3、抽樣檢查40個工件的長度，收集如下一組數(shù)據(jù)(單位：cm)：

23.2623.2723.5223.5123.4323.4223.5423.5523.6623.67

2331233023.2723.2S23.4123.4023.5523.5623.4423.43

23.3823.3923.6323.6423.5423.5623.4623.4423.4823.46

23.5023.5323.5523.4623.4423.4523.4723.4923.5023.46

試列出這組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表，畫出頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖.

解:

列頻數(shù)分布表:

長度組別頻數(shù)

23.255?23.3055

23.305?23.3551

23.355?23.4053

23.405?23.4558

23.455?23.5059

23.505?23.5558

23.555?23.6052

23.605?23.6552

23.655?23.7052

根據(jù)上表，畫出頻數(shù)分布直方圖，連接各小長方形上面一條邊的中點得頻數(shù)折線圖

（如圖）.

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O

點評：分組時，一般要使每組的端點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，第一組的起點比數(shù)據(jù)中的

最小值再小一點.

3、頻數(shù)與頻率之間的關(guān)系

例4、某班同學進行數(shù)學測驗，將所得成績（得分取整數(shù)）進行整理后分成五組，并繪制

成頻數(shù)分布直方圖（如圖所示），請結(jié)合直方圖提供的信息，回答下列問題

分數(shù)

（1）該班共有多少名學生?

（2）80.5-90.5這一分數(shù)段的頻數(shù)、頻率分別是多少?

(3)這次成績，哪一個分數(shù)段的人數(shù)最多?是多少？

(4)從左到右各小組的頻率比是多少？

(5)若這次測試成績80分以上(不含80分)為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率不低于多少?

分析：

本題主要考查讀圖能力和通過讀圖從中獲得信息的能力.

解：

(1)4+10+18+12+6=50(人).

...該班共有50人.

(2)80.5-90.5這一分數(shù)段有12人.頻率是12+50=0.24,

.?.80.5?90.5這一分數(shù)段的頻數(shù)、頻率分別是12,0.24.

(3)這次成績，70.5?80.5這個分數(shù)段的人數(shù)最多，是18人.

(4)兩種方法：

方法1：4：10：18：12：6=2：5：9：6：3.(直接運用人數(shù)比)

4.10.18.12.6

方法2：50505050'50=2：5：9：6：3.(直接運用頻率比)

從左到右各小組的頻率比是2：5：9：6：3.

(5)12+6=18,

...18+50=0.36=36%.

優(yōu)秀率不低于90%.

點評：求頻率之比時，有兩種方法，一種是直接用各小組的頻數(shù)來求比.另一種是

分別求出各小組的頻率，再求比值，在計算時要靈活運用.

4、利用頻率分布直方圖解決問題

例5、為了讓學生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，

共有900名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成

績(得分取正整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計，請你根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻

率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)，解答下列問題.

分組頻數(shù)頻率

50.5?60.540.08

60.5—70.580.16

70.5~80.5100.20

80.5~90.5160.32

90.5~100.5

；'；.?：；：；：?；*>.：?：■：.?；...?：：：?/.?.

????：??，：?一?■????：???'???????????

陵修紡"修修涔"

合計??????????

(1)填充頻率分布表中的空格；

(2)補全頻率分布直方圖；

(3)在該問題中，共抽取人的成績進行統(tǒng)計;

(4)全體參賽學生中，競賽成績落在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多?(不要求說明理由)

(5)若成績在90分以上(不含90分)為優(yōu)秀，則該校成績優(yōu)秀的約為多少人？

解：

(1)由頻率分布表可知，抽樣調(diào)查總數(shù)為：4+0.08=50(人)

，90.5?100.5分數(shù)段的人數(shù)為50-4-8-10-16=12(人)，

這一分數(shù)段的頻率為12-50=0.24.

“合計”中，頻數(shù)是50,頻率是1.00.

(2)如圖所示.

(3)在該問題中，共抽取50人的成績進行統(tǒng)計.

(4)由頻率分布表可以看到，80.5-90.5這一分數(shù)段的人數(shù)最多.

(5)成績在90分以上(不含90分)的占0.24,所以，900x0.24=216(A).

該校成績優(yōu)秀的約為216人.

點評：解本題的關(guān)鍵是填充”頻率分布表“，在這一問題中，既可以利用某小組的頻

數(shù)和頻率，用“頻數(shù)+頻率=總?cè)藬?shù)”求出總?cè)藬?shù)，進而求出90.5?100.5這一分數(shù)段的人

數(shù)，再求出相對應小組和合計的頻率.

同時，也可以從頻率著眼，已知各小組的頻率之和為1.00,從而求出90.5?100.5

分數(shù)段的頻率，進而求出這一分數(shù)段的頻數(shù).注意解題的靈活性.例如：求出90.5?100.5

分數(shù)段的頻率是0.24,是50.5?60.5分數(shù)段的頻率的3倍，故此，90.5?100.5分數(shù)段的

頻數(shù)是4x3=12(人)，計算起來比較簡便.

5、利用方差和標準差解決問題

例7、為了從甲、乙兩名學生中選拔一人參加今年六月份的全縣中學生數(shù)學競賽，每個

月對他們的學習水平進行一次測驗，如圖是兩人賽前5次測驗成績的折線統(tǒng)計圖.

刎（分）

（1）分別求出甲、乙兩名學生5次測驗成績的平均數(shù)及方差.

（2）如果你是他們的輔導教師，應選派哪一名學生參加這次數(shù)學競賽.請結(jié)合所

學統(tǒng)計知識說明理由.

分析：

（1）先由圖讀出甲、乙的數(shù)據(jù)，再分別求甲、乙兩名同學5次測驗成績的平均數(shù)

及方差；（2）結(jié)合平均數(shù)、方差及折線圖的走勢綜合分析.

解：

（1）由圖可知：

甲：65,80,80,85,90.

乙：70,90,85,75,80.

—1

'單-5（65+80+80+85+90）=80（分），

牖=g

[(65-80)2+(8()-80尸+(8()-80)2+(85-80)2+(90一80)2]=70(分2),

—1

^7=-

5(70+90+85+75+80)=80(分),

匿=1

5[(70-80)2+(90—80)2+(85—80)2+(75-80)2+(80-80)2]=50(分2).

（2）應派甲參加這次數(shù)學競賽.

理由：（1）甲最近2次時成績不低于乙；

（2）甲最近3次成績直線上升，而乙的成績有所下降，所以應選甲參加數(shù)學競賽.

點撥：（1）第（2）問是開放題，若從平均數(shù)和方差的角度分析，應派乙參加這次

數(shù)學競賽.若這樣答題也算正確，但由于是參加競賽，一般是選擇潛能較大的選手參

賽.（2）方差也應帶單位，其單位是數(shù)據(jù)單位的平方.若選用標準差，則單位與數(shù)據(jù)

單位一致.

例8、為選派一名學生參加全市實踐活動技能競賽，A、B兩位同學在學校實習基地現(xiàn)

場進行加工直徑為20mm的零件的測試，他倆各加工的10個零件的相關(guān)數(shù)據(jù)依次如圖

及表所示（單位：mm）.

平均數(shù)方差完全符合要求個數(shù)

A200.0262

B2045

根據(jù)測試得到的有關(guān)數(shù)據(jù)，試解釋下列問題：

（1）考慮平均數(shù)與完全符合要求的個數(shù)，的成績好些.

（2）計算出的的大小，考慮平均數(shù)與方差，說明誰的成績好些.

(3)考慮圖中折線走勢及競賽中加工零件個數(shù)遠遠超過1()個的實際情況，你認為

委派誰去參賽較合適？說明你的理由.

分析：

(1)A、B平均數(shù)相同，但B完全符合要求的個數(shù)多于A,故B的成績好些；(2)

r?2

用方差公式計算，再與邑1=0.026比較；(3)看折線圖，看誰最后越來越穩(wěn)定.

解：

(1)B.

$2=

(2)510[5x(20-20)2+3x(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,

Q2C*2、c?2

"=0.026,?,?”>必.

在平均數(shù)相同的情況下，B的波動性小，.?.B的成績好些.

(3)從圖中折線走勢可知，盡管A的成績前面起伏較大，但后來逐漸穩(wěn)定，誤差

小，可預測A的潛力較大，可選派A去參賽.

例9、一次期中考試中A、B、C、D、E五位同學的數(shù)學、英語成績等有關(guān)信息如下表

所示：

ABCDE平均分標準差

數(shù)學7172696870

英語888294857685

(1)求這五位同學在本次考試中數(shù)學成績的平均分和英語成績的標準差；

(2)為了比較不同學科考試成績的好與差，采用標準分是一個合理的選擇，標準分的

計算公式是：標準分=(個