理論力學(xué)-課件第10章

第10章

動(dòng)量矩定理本章內(nèi)容1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理3質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算5剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)微分方程第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理21質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩圖10-1設(shè)質(zhì)點(diǎn)M繞定點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，某瞬時(shí)的動(dòng)量為mv，對(duì)定點(diǎn)O的矢徑為r（見圖10-1），類似于力點(diǎn)之矩，我們把質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv對(duì)O點(diǎn)之矩，稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩，即（10-1）可仿照力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv對(duì)定軸x，y，z之矩的表達(dá)式為（10-2）。由式（10-2）可知，質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩。動(dòng)量矩的量綱為質(zhì)量、速度與長(zhǎng)度的量綱的乘積，即在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位為質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩是矢量，垂直于矢徑r和mv所構(gòu)成的平面，矢量的指向按右手規(guī)則來(lái)確定，它的大小為二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對(duì)定點(diǎn)O的矢徑為r，動(dòng)量為mv，其上的作用力為F，如圖10-2所示。則質(zhì)點(diǎn)M對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩為圖10-2將此式對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，有考慮到，另由動(dòng)量定理有因此上式可寫為而，于是得（10-3）式（10-3）就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)該點(diǎn)之矩。將式（10-3）投影于定軸x，y，z，得（10-4）由式（10-4）可知，質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)該軸之矩。下面討論兩種特殊情況由此可知，若作用力對(duì)某定點(diǎn)（或定軸）之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該定點(diǎn)（或定軸）的動(dòng)量矩保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定理。例題解析例10-1如圖10-3所示，一質(zhì)量為m的光滑小球，放在半徑為R的固定圓形管內(nèi)。給小球一初始小擾動(dòng)，試求小球微小運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖10-3小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可通過(guò)小球與圓形管中心O的連線的擺動(dòng)來(lái)描述。它可歸為轉(zhuǎn)動(dòng)類型的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，適合于應(yīng)用動(dòng)量矩定理求解。解

（1）取小球?yàn)檠芯繉?duì)象。（2）受力分析。將小球置于運(yùn)動(dòng)的一般位置，其上作用力有重力mg和管的約束力FN，F(xiàn)N的方向指向中心O。（3）求運(yùn)動(dòng)規(guī)律。應(yīng)用對(duì)O點(diǎn)（即對(duì)通過(guò)O點(diǎn)而垂直于圓形管平面的軸）的動(dòng)量矩定理，有或考慮到，代入上式得或此微分方程的解為可見小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。式中任意常數(shù)

和

可通過(guò)運(yùn)動(dòng)的初始條件來(lái)確定。第二節(jié)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩21一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩的矢量和，即（10-5）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸z動(dòng)量矩的代數(shù)和，即（10-6）利用式（10-2），有因此得（10-7）由式（10-7）可知，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩在通過(guò)該點(diǎn)的軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。圖10-4令

，稱為剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則有（10-8）這就是計(jì)算繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩公式。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算在動(dòng)力學(xué)中是很重要的，我們將在后面詳細(xì)討論。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

（10-9）這樣的方程共有n個(gè)，將n個(gè)式（10-9）相加后，得由于這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)該點(diǎn)的矩的矢量和（或外力對(duì)該點(diǎn)的主矩）。在應(yīng)用時(shí)，取式（10-10）的投影式，即（10-11）由上式可知，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。由動(dòng)量矩定理可知，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力才能使質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化。下面討論兩種特殊情況。由此可知，若作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)某定點(diǎn)（或定軸）的主矩（或力矩的代數(shù)和）恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該定點(diǎn)（或定軸）的動(dòng)量矩保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理。例題解析圖10-5，被提升的例10-2斜面提升裝置如圖10-5所示。已知鼓輪半徑為r，重量為W，對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，作用在鼓輪上的力矩為M。斜面的傾角為為P，設(shè)繩的重量和各處的摩擦忽略不計(jì)。小車重量求小車的加速度。（1）取小車與鼓輪組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。解（4）根據(jù)動(dòng)量矩定理得即例題解析圖10-6（2）受力分析。質(zhì)點(diǎn)系受力如圖10-6所示。作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)O軸的矩為（1）取重物M1，M2和塔輪組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。解例10-3例題解析

（a）

（b）

（c）圖10-7解

這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題也可應(yīng)用動(dòng)量矩定理求解。

（1）取圓盤連同轉(zhuǎn)軸及質(zhì)點(diǎn)M組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。（2）受力分析及受力圖。畫出M在任意位置系統(tǒng)所受的外力的受力圖，如圖10-7（a）所示。例10-4其中，

是初始時(shí)系統(tǒng)對(duì)軸Cz的動(dòng)量矩，

是M點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)對(duì)軸Cz的動(dòng)量矩。（3）運(yùn)動(dòng)分析，計(jì)算動(dòng)量矩。由受力圖可知在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸Cz之矩恒等于零，即因此可應(yīng)用對(duì)Cz的動(dòng)量矩守恒定理，即由圖10-7（b）可知由圖10-7（c）可知（4）根據(jù)動(dòng)量矩定理得解得第三節(jié)

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理前面介紹的動(dòng)量矩定理只適用于慣性參考系（或稱靜坐標(biāo)系），也就是說(shuō)動(dòng)量矩的矩心（或矩軸）是定點(diǎn)（或定軸），質(zhì)點(diǎn)的速度也是對(duì)靜坐標(biāo)系的速度，即絕對(duì)速度。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)心為C，Oxyz為靜坐標(biāo)系

是以質(zhì)心C為原點(diǎn)，并隨質(zhì)心做平動(dòng)的動(dòng)參考系，如圖10-8所示。在坐標(biāo)系Oxyz中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為下面將證明，在隨質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心相對(duì)靜坐標(biāo)系做平動(dòng)的動(dòng)參考系中，仍有與前面形式相同的動(dòng)量矩定理，這時(shí)動(dòng)量矩的矩心為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，質(zhì)點(diǎn)的速度是對(duì)動(dòng)參考系的速度，即相對(duì)速度。圖10-8（10-12）在坐標(biāo)系

中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩為式中，表示對(duì)C點(diǎn)的矢徑；表示質(zhì)點(diǎn)（10-13）由圖10-8可知式中，

是質(zhì)心C對(duì)O點(diǎn)的矢徑，因此（10-14）由于（10-15）式中，M是質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。此外，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)中點(diǎn)的速度合成定理則由質(zhì)心坐標(biāo)公式可知（10-16）式（10-16）表明，在動(dòng)參考系中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。將式（10-15）、式（10-16）代入式（10-14），得質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理為（10-17）將式（10-17）代入上式，并注意到

，得式（10-19）表明，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和（或外力對(duì)質(zhì)心的主矩）?；?/p>

（10-18）這個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。這個(gè)定理在形式上與質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系（慣性參考系）的動(dòng)量矩定理完全相同。最后得到（10-19）回轉(zhuǎn)半徑21簡(jiǎn)單形狀的均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1平行移軸定理第四節(jié)剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算前面給出了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量，它等于剛體內(nèi)每一點(diǎn)的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離平方乘積的總和，以公式表示為（10-20）如果剛體質(zhì)量連續(xù)分布，則此式可寫成（10-21）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是由式（10-21）可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，它的大小取決于剛體質(zhì)量的大小及其分布的情況，而與剛體的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。確定剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用計(jì)算法和實(shí)驗(yàn)法。下面舉例說(shuō)明用公式計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。1．均質(zhì)細(xì)直桿圖12-9將沿桿的直線取為x軸，在其上任取一微段dx，則其質(zhì)量為

，由公式（10-21）可知,直桿對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為式中，,是整根直桿的質(zhì)量。一、簡(jiǎn)單形狀的均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算圖10-102．均質(zhì)薄細(xì)圓環(huán)圖12-11圖12-123．均質(zhì)薄圓盤式中，是圓盤單位面積的質(zhì)量。圓環(huán)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圖10-13圖10-14式中

為圓柱體的質(zhì)量；為其半徑。利用均質(zhì)圓盤對(duì)Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，還可求出其對(duì)

軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義可知將均質(zhì)圓柱體分成許多互相平行的薄圓盤，如圖10-14所示，應(yīng)用上面的結(jié)果，則可求出均質(zhì)圓柱對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓盤對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為式中，

是圓盤的質(zhì)量。圖10-15由于對(duì)稱性，有此外還有因此得二、回轉(zhuǎn)半徑表10-1簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑注：圖中C點(diǎn)表示形心的位置，公式中M表示物體的質(zhì)量。三、平行移軸定理平行移軸定理：剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積。（10-23）式中，Cz軸通過(guò)剛體的質(zhì)心；M為剛體的質(zhì)量；d為兩軸之間的距離。圖10-16由平行移軸定理式（10-23）可知，在所有相互平行的各軸中，剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。如果我們已經(jīng)知道了剛體對(duì)某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，根據(jù)平行移軸定理，很容易求出與該軸平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。則考慮到于是得因?yàn)?/p>

軸通過(guò)質(zhì)心，

則，所以例題解析解如圖10-17所示為一均質(zhì)等厚度零件，單位面積的質(zhì)量為ρ，大圓半徑為R，挖去的小圓半徑為r，兩圓心的距離為a，試求通過(guò)O點(diǎn)并垂直于零件平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-17設(shè)大圓與小圓部分分別為Ⅰ，Ⅱ。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，零件對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為應(yīng)用平行移軸定理有于是例10-4剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程21剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第五節(jié)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)微分方程一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程圖10-18

（10-24）或（10-25）與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)一樣，應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可解決轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題，即已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可求作用于剛體上的外力矩或外力；或已知作用于剛體上的外力矩，可求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。但是必須指出，由于軸承約束力都通過(guò)轉(zhuǎn)軸，它們對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩為零，在轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程中不出現(xiàn)，因此不可能通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求出這些軸承約束力。這些約束力的求法將在以后討論。

例題解析解例1為求剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心C的AB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將剛體固定在一個(gè)可以繞定軸DE轉(zhuǎn)動(dòng)的框架上，如圖10-19所示。DE軸平行于AB軸，兩軸之間的距離為h。使剛體繞DE軸微小擺動(dòng)，并測(cè)得其周期為T。設(shè)剛體重量為P，框架的重量略去不計(jì)，試求剛體對(duì)AB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-19框架同剛體固連在一起繞DE軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為這就是剛體繞DE軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。不難求得其解為考慮到很小，sin，則有式中，

是由運(yùn)動(dòng)初始條件決定的常數(shù)。由題可知?jiǎng)傮w做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其圓頻率為圓頻率

與周期T的關(guān)系為因此有或再由平行移軸定理，可得例2（a）

（b）

（c）圖12-20解二、剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程圖10-21式中，M為剛體的質(zhì)量；

為剛體對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將上面第一式寫成投影的形式，并注意到則有這就是剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程，它完整地描述了剛體的平面運(yùn)動(dòng)。利用該方程，可以求解剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題，即已知運(yùn)動(dòng)求力；已知力求運(yùn)動(dòng)。下面舉例說(shuō)明其應(yīng)用。例題解析例10-8圖10-22一均質(zhì)滾子質(zhì)量為m，半徑為R，放在粗糙的水平地板上，在滾子的鼓輪上繞以繩索，其上作用力有常力F1，其方向與水平成α角。鼓輪的半徑為r，滾子對(duì)軸O的回轉(zhuǎn)