1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（教學(xué)課件）高二數(shù)學(xué)選擇性高效課堂（人教A版2019）

1學(xué)習(xí)目標(biāo)了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示。23（一）課程標(biāo)準(zhǔn)要求1學(xué)習(xí)目標(biāo)23（二）課時(shí)目標(biāo)要求4理解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性.借助空間直角坐標(biāo)系理解空間中點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)的概念及坐標(biāo)表示.會(huì)用坐標(biāo)表示空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算.會(huì)利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.引入新知我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問(wèn)題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡(jiǎn)單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)排除了數(shù)量關(guān)系……對(duì)于集合,對(duì)于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過(guò)數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法……”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問(wèn)題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算.引入新知情境二情境Ⅰ:如圖,數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn).情境Ⅱ:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P,Q的位置如圖所示.【思考】(1)情境Ⅰ中如何表示A,B兩點(diǎn)的位置?(2)情境Ⅱ中如何表示P,Q兩點(diǎn)的位置?(3)對(duì)于情境Ⅲ,空間中如何表示板凳和氣球的位置?情境Ⅲ:一個(gè)房間的示意圖如圖所示,我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢?新課探究問(wèn)題1我們是如何建立平面向量的坐標(biāo)表示的?你能類比平面直角坐標(biāo)系與平面向量單位正交基的關(guān)系，你能利用空間向量單位正交基底概念構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系嗎?xyOij新課探究新課探究在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

新課探究問(wèn)題2在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)和向量都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示.對(duì)空間直角坐標(biāo)系中的每一個(gè)點(diǎn)和向量,是否也有類似的表示呢?xyOijAa新課探究追問(wèn)1：在空間直角坐標(biāo)系中如何定義的坐標(biāo)呢？xyOijaA平面直角坐標(biāo)系內(nèi)空間直角坐標(biāo)系內(nèi)取與

軸、

軸方向相同的兩個(gè)單位向量

，

為基底，由平面向量基本定理，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

，

，使得.我們把有序數(shù)對(duì)

，

叫做

的坐標(biāo)，記作

，.取與軸、軸、軸方向相同的單位向量，，為基底，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得新課探究定義：在單位正交基底，

，下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，，，叫做點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作,,，

其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)

的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)

的豎坐標(biāo).新課探究追問(wèn)2：對(duì)于給定的向量

又該如何定義它的坐標(biāo)呢？我們?cè)诳臻g直角坐標(biāo)系中可以作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使

有序?qū)崝?shù)組，

，叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記為，，新課探究問(wèn)題3在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任意一點(diǎn)，或任意一個(gè)向量，你能借助幾何直觀確定它們的坐標(biāo)，，嗎？過(guò)點(diǎn)分別作垂直于軸、

軸和軸的平面依次交軸、

軸和

軸于點(diǎn)

，

和.即點(diǎn)或者向量的坐標(biāo)就是

，，.可以證明在軸、軸、軸上的投影向量分別為，

，.

新課探究問(wèn)題4有了空間向量的坐標(biāo)表示,你能類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示并給出證明嗎?請(qǐng)同學(xué)們類比平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示研究空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，獨(dú)立完成下列表格，并進(jìn)行小組交流新課探究設(shè)

設(shè)設(shè)

設(shè)加法運(yùn)算減法運(yùn)算平面向量坐標(biāo)運(yùn)算空間向量坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算有向線段的向量坐標(biāo)表示線性運(yùn)算新課探究下面我們證明空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示.請(qǐng)同學(xué)們證明剩下運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)為空間的一個(gè)單位正交基底，則所以因?yàn)樗?/p>

新課探究問(wèn)題5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以幫助我們解決平行、垂直等位置關(guān)系以及距離，角度等度量問(wèn)題.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是否仍然可以幫助我們解決這些問(wèn)題？新課探究yOz平面追問(wèn)1：如何用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算刻畫平面向量的平行和垂直？平面向量的特殊位置關(guān)系平面向量的特殊位置關(guān)系設(shè)當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，設(shè)能否表示為？?新課探究當(dāng)

時(shí)，設(shè)能否表示為？?至少一個(gè)不為0.例如：當(dāng)與平面平行時(shí)，.此時(shí)

無(wú)意義.例如：當(dāng)

與平面平行時(shí)，.此時(shí)無(wú)意義.因此，只有均不為0時(shí)，特殊地，

與任意向量平行.當(dāng)時(shí)，新課探究yOz平面平面向量的特殊位置關(guān)系空間向量的特殊位置關(guān)系設(shè)當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，設(shè)新課探究yOz平面追問(wèn)2：能否用空間向量的坐標(biāo)表示長(zhǎng)度和夾角？平面向量的長(zhǎng)度和夾角空間向量的長(zhǎng)度和夾角你能證明空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎？設(shè)

則設(shè)設(shè)設(shè)

則新課探究你能證明空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎？設(shè)

，

是空間中任意兩點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，于是所以這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.則應(yīng)用新知例1應(yīng)用新知應(yīng)用新知反思感悟1.在空間中根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置的方法根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置,要先確定點(diǎn)(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)(x0,y0,z0)在空間直角坐標(biāo)系中的位置.(1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi);(2)充分利用幾何圖形的特性.一般先找出這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影,確定其兩個(gè)坐標(biāo),再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過(guò)它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正號(hào)或負(fù)號(hào)),確定第三個(gè)坐標(biāo).2.建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循的原則3.求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法應(yīng)用新知變式訓(xùn)練詳解應(yīng)用新知例2應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z例3應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z應(yīng)用新知規(guī)律方法1．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng)．2．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長(zhǎng)度的一般步驟應(yīng)用新知變式訓(xùn)練能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱性問(wèn)題例題能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱性問(wèn)題解析應(yīng)用新知方法總結(jié)yOz平面求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)可按以下規(guī)律寫出：“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，其余的符號(hào)均相反．”在空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(a，b，c)的幾種特殊的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下：對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)原點(diǎn)x軸y軸z軸xOy平面yOz平面xOz平面(a，－b，－c)(－a，b，－c)(－a，－b，c)(a，b，－c)(－a，b，c)(a，－b，c)(－a，－b，－c)P(a，b，c)能力提升方法總結(jié)能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱性問(wèn)題變式訓(xùn)練能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱性問(wèn)題解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例題能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解析應(yīng)用新知方法總結(jié)進(jìn)行空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的技巧應(yīng)用新知方法總結(jié)應(yīng)用新知方法總結(jié)判斷空間向量垂直或平行的步驟能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算變式訓(xùn)練解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算變式訓(xùn)練能力提升題型二空間