高中數(shù)學：教學設(shè)計：導數(shù)及其應用

導數(shù)及其應用復習

【知能目標】

1.了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度，加速度、光滑曲線切線的斜

率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導數(shù)的概念。

2、熟記基本導數(shù)公式：x"（m為有理數(shù)）、sinx、cosx、e\a\lnx>logax

的導數(shù)；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則和復合函數(shù)的求導法則，會求

某些簡單函數(shù)的導數(shù)。

3、理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系；了解可導函數(shù)在某點取得極值

的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側(cè)異號）；會求一些實際問題（一般指單

峰函數(shù)）的最大值和最小值。

［教學方法］

1.采用“學案導學”方式進行教學。

2.討論法、啟發(fā)式、自主學習、合作探究式教學方法的綜合運用。

［教學流程］:獨立完成基礎(chǔ)回顧，合作交流糾錯，老師點評；然后通過題目落實

雙基，根據(jù)學生出現(xiàn)的問題有針對性的講評.

［教學重點和難點］

教學重點：導數(shù)的概念、四則運算、常用函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的應用理解運動和物

質(zhì)的關(guān)系。

教學難點：導數(shù)的定義，導數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、證明中的應用。

【綜合脈絡(luò)】

1.知識網(wǎng)絡(luò)

基本求四則運算復合函數(shù)

導公式求導法則求導法則

求簡單函數(shù)的導數(shù)

導數(shù)的應用

判斷函數(shù)求函數(shù)的求函數(shù)的

的單調(diào)性極大(小)值最大(小)值

2.考點綜述

有關(guān)導數(shù)的內(nèi)容，在2000年開始的新課程試卷命題時，其考試要求都是很

基本的，以后逐漸加深，考查的基本原則是重點考查導數(shù)的概念和計算，力求結(jié)

合應用問題，不過多地涉及理論探討和嚴格的邏輯證明。本部分的要求一般有三

個層次：第一層次是主要考查導數(shù)的概念，求導的公式和求導法則；第二層次是

導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的增減性等；第三層

次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)

的單調(diào)性等有機地結(jié)合在一起，設(shè)計綜合題，通過將新課程內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容相結(jié)

合，加強了能力考察力度，使試題具有更廣泛的實際意義，更體現(xiàn)了導數(shù)作為工

具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的方法，這類問題用傳統(tǒng)教材是無法解決的。

［教學過程］

一、目標導航：1.復習鞏固導數(shù)的概念、四則運算、常用函數(shù)的導數(shù)

2.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值

二、基礎(chǔ)回顧

第一步：自主復習，學生用6分鐘時間利用《學案》將以下基礎(chǔ)知識填完

1.導數(shù)的概念：對于函數(shù)y=f(x),如果自變量x在X。處有增量△*,那么函數(shù)y相應

的有增量=；比值叫做函數(shù)y=f(x)在X。到Xo+Ax之間

的________，當△x-0時，有極限，就說y=f(x)在點xo處________，并把這

Z_AX

個極限叫做f(x)在點X0的導數(shù)(瞬時變化率)，記作或,

當X變化時，〃僅)便是X的一個函數(shù)，稱之為f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，記

limf(x+Ax)—f(x)

f'(x)=y'=

△x-*0Ax

2.用定義求導數(shù)的一般步驟：(1)求函數(shù)的增量Ay=(2)求平均變

Ay

化率?

△x

lim△、

(3)取極限，得導數(shù)f，(x)=

△x-0Ax

3.導數(shù)的幾何意義：f，(xo)是曲線y=f(x)在點P(xo,f(x0))處的切線的即—

4.幾種常見函數(shù)的導數(shù)(xn)(sinx)'=(cosx)

xz

(e)=(a,'=(Inx)'=(logax)'=

5.導數(shù)的四則運算若y=f(x),y=g(x)的導數(shù)存在,則

,「f(x)

了僅)±g(x)「=［f(x)g(x)/=__________--g(xj^=

6.復合函數(shù)y=*g(x))(其中u=g(x))的導數(shù)yj=

7.函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負如下關(guān)系：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果,

那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)，

反之？

求可導函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求可(x)(2)解不等式「(x)>0(或「

(x)<0)

(3)確認并寫出單調(diào)區(qū)間

8.極值：設(shè)函數(shù)f(x)在附近有定義，如果對X。附近所有的x都有,則稱

f(xo)是f(x)的一個極大值；如果對X0附近所有的X都有,則稱f(X。)是f(x)

的一個極小值。

可導函數(shù)點X0處的導數(shù)為0是f(x)在X。處取得極值的條件

9.求函數(shù)y=f(x)極值的步驟：

(1)確定函數(shù)的定義域(2)求方程「僅)=0

(3)解不等式f，(x)>0(或「(x)<0)順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間

(4)判斷f，(x)=O的根的兩側(cè)f，(x)的符號，確定是否為極大值、極小值。

10.在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)的函數(shù)f(x)必有和

求在閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)最值的步驟：(1)

(2)_____________________

第二步：合作學習，分組交流，解決知識漏洞及疑難點(老師注意發(fā)現(xiàn)學生的問

題)

第三步：老師點評：老師根據(jù)情況有重點的進行知識講評(大屏幕顯示)

三、鞏固練習

"3-rnlimf(1-Ax)—f(x)

1、函數(shù)可刈可導'則ril△x-o―近一=——

2、已知f(x)=x2+2xf，(O),貝If，(2)=

3、函數(shù)f(x)=x3-2X2+X一6的單調(diào)區(qū)間為

4、求導①(一*卜②(3?=③(tanx/=

1

④[sin3(x+—)]'=⑤[cos(l—2x)lnx上

x

5、函數(shù)f(x)=ax3+x—2在(-8,+oo)上為單調(diào)函數(shù)，則aS

四、探究提高：(兩個學生上黑板板書，其他同學做在學案上)

1.當常數(shù)k為何值時，直線y=x才能與函數(shù)y=x2+k相切？并求出切點。

2.已知x>l,求證:x>ln(l+x)

針對學生出現(xiàn)問題老師講評(大屏幕給出答案)

五、歸納總結(jié)，引導學生給出本節(jié)知識總結(jié)

六、應用拓展(課后完成)

1、已知函數(shù)/(x)=2ax—x3,xw(O,l],a>0

⑴若f(x)在xw(O,l]上是增函數(shù)，求a的取值范圍;

⑵求f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值

2

2、已知f(xhx'+ax'+bx+c在x=l與x=一可時，都取得極值.

(1)求a,b的